等差数列完整版

2.2等差数列(děnɡchāshùliè)第一页，共五十三页。复习(fùxí)回顾:1.数列定义:按照(ànzhào)一定顺序排成的一列数,简记(jiǎnjì)作:{an}2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式3.数列的分类(1)按项数分：有穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，无穷数列摆动数列，常数列。4.数列的实质5.递推公式:

如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.第二页，共五十三页。1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到(dédào)数列：

0，5，10，15，20，…

2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列(shùliè)(单位：kg)：48，53，58，63.第三页，共五十三页。3.水库(shuǐkù)的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库(shuǐkù)中的杂鱼。如果一个水库(shuǐkù)的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：

18，15.5，13，10.5，8，5.5.

第四页，共五十三页。4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算(jìsuàn)下一期的利息。按照单利计算(jìsuàn)本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：10072，10144，10216，10288，10360.

第五页，共五十三页。48,53,58,6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072,10144,10216,10288,10360问题1：观察一下(yīxià)上面的这四个数列：①②③④这些数列(shùliè)有什么共同特点呢？0,5,10,15,20

以上四个数列(shùliè)从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数第六页，共五十三页。1.等差数列：一般地，如果一数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列;

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母(zìmǔ)d表示。二、新课讲解(jiǎngjiě)

2.等差数列定义(dìngyì)的符号语言：

an-an-1=d，(n≥2)，其中d为常数（an+1-an=

d

n∈N+）（一）等差数列的定义：第七页，共五十三页。

如果等差数列的首项是，公差是，那么根据等差数列的定义可以得到以下结论：数列为等差数列第八页，共五十三页。是不是(bùshi)不是(bùshi)

练习判断下列各组数列中哪些是等差数列(děnɡchāshùliè)，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0第九页，共五十三页。

1、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差。不能颠倒。

2、作差的结果要求是同一个常数。可以是整数(zhěngshù)，也可以是０和负数。等差数列(děnɡchāshùliè)你注意(zhùyì)到了吗？第十页，共五十三页。判断题(1)数列(shùliè)a，2a，3a，4a，…是等差数列;(2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列;(3)若an－an+1=3(n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列;(4)若a2－a1=a3－a2,则数列｛an｝是等差数列。已知数列{an}是等差数列，d是公差(gōngchā)，则：当d=0时，{an}为常数列；当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；思考：上述数列的公差与该数列的类型(lèixíng)有关系吗？第十一页，共五十三页。探究(tànjiū)在如下的两个数之间插入(chārù)一个什么数之后这三个数会成为一个等差数列。（1）2，___,8 （2）-6，___,0（3）a,____,b第十二页，共五十三页。等差中项如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b的等差中项。利用等差数列的概念(gàiniàn)可知：

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列(shùliè)的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.第十三页，共五十三页。数列(shùliè)：1，3，5，7，9，11，13…5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.求出下列(xiàliè)等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3,b,c,-9;第十四页，共五十三页。填空题(1)等差数列(děnɡchāshùliè)8，5，2，…，的第5项是_____;(2)已知等差数列-5，-9，-13，…,则d=____;

递推公式是___________;通项公式是_________.(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差(gōngchā)是d，通项公式是___________;-4-4an=-4n-1练习(liànxí)

第十五页，共五十三页。a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d……an=an-1+d=a1+(n-1)d又∵当n=1时，上式也成立(chénglì)∴an=a1+(n-1)d方法1：∵由等差数列(děnɡchāshùliè)的定义可得不完全(wánquán)归纳法∴(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;练习第十六页，共五十三页。a2-a1=da3-a2=da4-a3=d……an-an-1=d(n>1)上述各式两边(liǎngbiān)同时相加，得an-a1=(n-1)d方法(fāngfǎ)2：∵由等差数列的定义可得叠加法又∵当n=1时，上式也成立(chénglì)∴an=a1+(n-1)d(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;练习第十七页，共五十三页。（二）等差数列(děnɡchāshùliè)的通项公式：若等差数列{an}的首项(shǒuxiànɡ)是a1，公差是d，则

an=a1+(n-1)d二、新课讲解(jiǎngjiě)

课本P39.1，2第十八页，共五十三页。例1：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项(shǒuxiànɡ)a1与公差d.这是一个(yīɡè)以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意(tíyì)得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.注:

等差数列的通项公式中，an,a1,n,d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量。学案P66.例1，变式第十九页，共五十三页。三、例题(lìtí)例2.在等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10解：a10=a1+9d=2+9×3=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：∵21=3+(n-1)×2∴n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d

∴d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1解：∵a7=a1+6d8=a1+6×(-1/3)∴a1=10第二十页，共五十三页。例3.(1)等差数列(děnɡchāshùliè)8，5，2,······的第20项是几？

(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？如果是，是第几项？（2）由题意(tíyì)得，a1=-5，d=-4，an=-401

∵an=a1+(n-1)d

∴-401=-5+(n-1)×(-4)∴n=100∴-401是这个数列的第100项解：（1）依题意(tíyì)得，a1=8，d=5-8=-3∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49三、例题第二十一页，共五十三页。例5.某市出租车的计价(jìjià)标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1

=11.2，表示(biǎoshì)4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费

a11=11.2＋(11－1)×1.2=23.2答：需要支付车费23.2元。三、例题(lìtí)第二十二页，共五十三页。解：（1）依题意(tíyì)得

a1+4d=10

a1+11d=31

解得a1=-2,d=3∴a25=a1+24d=-2+24×3=70例4.在等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，a5=10，（1）若a12=31，求a25

；（2）若d=2，求a10；an=am+(n-m)d等差数列通项公式的另一种形式例.a10=a5+

d，a32=a99+

d.5－67二、例题(lìtí)第二十三页，共五十三页。三、新课设{an}是公差为d的等差数列(děnɡchāshùliè)，那么(1)an=am+(n-m)d等差数列(děnɡchāshùliè)的常用性质12.若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，

b3，y各成等差数列，那么练习:1.等差数列{an}中,a2=－5,a6=a3+6,则a1=_______－7第二十四页，共五十三页。练习(liànxí)1.在3与27之间插入(chārù)7个数,使这9个数成等差数列,则插入这7个数中的第4个数的值为______2.若{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q=______3.在等差数列{an}中,已知am+n=A,am-n=B,则a2m=_____150第二十五页，共五十三页。例6已知数列(shùliè){an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q为常数且p≠0，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断．证：取数列(shùliè){an}中的任意相邻两项an与an-1(n≥2)

，则∵p是一个(yīɡè)与n无关的常数∴{an}是一个等差数列3.等差数列{an}的通项公式为an=pn+q的图象的特征是

;数列的公差的几何意义是:

.1.数列{an}是等差数列an=pn+q(p、q是常数)解：数列{an}是一个等差数列2.证明数列{an}是等差数列的方法:

.证明：an+1-an=常数.二、例题各项对应的点在同一条直线上.各项对应的点所在直线的斜率.第二十六页，共五十三页。如何判断一个(yīɡè)数列为等差数列第二十七页，共五十三页。(3)已知数列(shùliè){an}是等差数列，求证：数列{an+an+1}也是等差数列.（4）证明：若数列(shùliè)与是等差数列(shùliè)，是等差数列吗？第二十八页，共五十三页。若是公差为的等差数列,则下列数列:(1)(c为任一常数)是公差为的等差数列(2)(c为任一常数)是公差为的等差数列(3)(k为任一常数,)是公差为的等差数列若分别是公差为的等差数列,则数列(p、q是常数)是公差为的等差数列（4）去掉前几项后余下的数列是等差数列(děnɡchāshùliè)吗？奇数项数列和偶数项数列仍是等差数列(děnɡchāshùliè)吗？等差数列的常用(chánɡyònɡ)性质2第二十九页，共五十三页。第三十页，共五十三页。已知数列为等差数列，那么有若成等差数列(děnɡchāshùliè)，则成等差数列.证明：根据等差数列的定义，即成等差数列.如成等差数列，成等差数列.推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数(jīshù)项，项数是7的倍数的项）等差数列(děnɡchāshùliè)的常用性质2第三十一页，共五十三页。推论(tuīlùn)：已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别(fēnbié)是多少？am+1，am+2，……an是等差数列(děnɡchāshùliè)首项为am+1，公差为d，项数为n-m等差数列的常用性质2第三十二页，共五十三页。等差数列的常用(chánɡyònɡ)性质2已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（2）取出数列(shùliè)中的所有奇数项，组成一个数列(shùliè)，是等差数列(shùliè)吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，……是等差数列(děnɡchāshùliè)首项为a1，公差为2d取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，……是等差数列首项为a2，公差为2d第三十三页，共五十三页。等差数列的常用(chánɡyònɡ)性质2已知一个等差数列的首项(shǒuxiànɡ)为a1，公差为da1，a2，a3，……an（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a7，a14，a21，……是等差数列(děnɡchāshùliè)首项为a7，公差为7d取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，……是等差数列首项为ak，公差为kd第三十四页，共五十三页。等差数列(děnɡchāshùliè)的常用性质2已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（4）数列(shùliè)a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为2d

数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，公差为3d。第三十五页，共五十三页。等差数列的常用(chánɡyònɡ)性质2例：第三十六页，共五十三页。第三十七页，共五十三页。等差数列(děnɡchāshùliè)的常用性质3练习(liànxí).在等差数列{an}中，(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20(2)已知a3+a11=10，求：a6+a7+a8(3)已知a2+a14=10，能求出a16吗？1015例3.在等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，a6＝19,a15=46，求a4+a17的值．(4)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.d=_2a14=_3d=2a14=31或不能注意：逆命题是不一定成立的；第三十八页，共五十三页。与首末(shǒumò)两项“等距离”的两项之和等于首末(shǒumò)两项的和，即等差数列(děnɡchāshùliè)的常用性质3推论判断(pànduàn)：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多√×√√×第三十九页，共五十三页。例4.三数成等差数列(děnɡchāshùliè)，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.解：设这三个数分别(fēnbié)为a-d，a，a+d

则(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12

∴a=4

又∵

(a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12

解得d=±2

∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6

当d=-2时，这三个数分别为6，4，2二、例题(lìtí)练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数学案P69例1第四十页，共五十三页。设项技巧(jìqiǎo)：（1）若有三个数成等差数列(děnɡchāshùliè)，则可设为（2）若有四个数成等差数列(děnɡchāshùliè)，则可设为（3）若有五个数成等差数列，则可设为练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数例4.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.等差数列的常用性质4第四十一页，共五十三页。练习(liànxí)：第四十二页，共五十三页。1.已知，求的值。解:2.在数列(shùliè){an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=7.d=an+1—an=4-35构造(gòuzào)等差数列第四十三页，共五十三页。3、4、构造(gòuzào)等差数列第四十四页，共五十三页。学案(xuéàn)P70例2换元法求通项公式：第四十五页，共五十三页。第四十六页，共五十三页。五、小结(xiǎojié)3