广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学

龙岗区20232024学年第一学期高三期末质量监测数学试卷注意事项：1．本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。4．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内。5．考试结束，请将答题卡交回。一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知集合，，则A． B． C． D．2．已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知数列为等差数列，为其前项和，，则A． B． C． D．4．已知，且，则的值为A． B． C． D．5．已知，则A． B．2 C． D．6．过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为A．2 B． C． D．7．已知函数是偶函数，则的值是A．1 B． C．2 D．8．已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．关于二项式的展开式，下列结论正确的是A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项10．已知，是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是A． B．C． D．在上的投影向量为11．下列说法中正确的是A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为3212．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的最小正周期为．14．有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从6人中任选4人承担 这三项任务，则共有种不同的选法．15．已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，，则的离心率为．16．已知函数（且），若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求的面积．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面，，.（1）求证：AB⟂平面PBC；（2）若是的中点，求与平面所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）已知数列满足，且对任意正整数，都有（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．20．（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．21．（本小题满分12分）某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．（1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；（2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．参考数据：．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，且．证明：．高三数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号12345678答案CCBDDBDA二、多项选择题题号9101112答案BCDACDABACD三、填空题题号13141516答案或四、解答题17．（1）法一：因为，所以，整理得，所以，又因为，所以；法二：因，所以，由正弦定理得，整理得，因为，所以，又因为，所以；（2）由余弦定理得，，，所以，所以，或（舍），所以的面积.18．（1）因为平面，平面，所以，又，，所以，在中，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面；（2）（方法一）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，设与平面所成角为，则，，∴，即与平面所成角的余弦值为．（2）（方法二）过点作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，则为与平面所成角的平面角，在中，，在中，，∴在中，，故，即与平面所成角的余弦值为.19．（1）由对任意整数均有，取，得，当时，，当时，，符合上式，所以.（2）当为偶数时，，当为奇数时，若，则，若，则，且当时，满足.综上所述：20．（1）当时，，，可得，由双曲线的定义可知，，两边同时平方可得，，所以①又双曲线的离心率为，所以②由①②可得，，，所以，所以双曲线的标准方程为．（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合，此时，，，所以，，．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由题意知且，将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，则，，．易知点的坐标为，则由，可得，所以，同理可得．所以．综上，为定值．21．（1）由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以，所以，，所以，由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的.（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，7000，则，，所以，若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，8000，则，，所以，所以，则当时，，应先检测乙部件；