高中数学北师大版选修2-2测评第四章3定积分的简单应用

第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为()A.abf(x)dx B.C.ab|f(x)|dx D.解析当f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,abf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,abf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C答案C2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=ab[f(x)g(x)]dx求出的是(解析定积分S=ab[f(x)g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D答案D3.如图,由函数f(x)=exe的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于()A.e22e1B.e22eC.eD.e22e+1解析由已知得S=12f(x)dx=12(ex=(exe·x)|12=e2答案B4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为()A.28π3 B.32π C.4π3解析所求圆台的体积V=12π·(2x)2dx=π124x2dx=4π·13x3|12答案A5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14 B.15 C.16解析由y=x,y=x则S阴影=01(x=23故所求概率为S阴影答案C6.曲线y=cosxπ2≤x≤3π解析由图可知,曲线y=cosxπ2≤x≤3π2与x轴围成的平面图形的面积S=π23π2答案27.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为.

解析S=1313-1xd=(3xlnx)|=31=4ln3.答案4ln38.计算由y2=x,y=x2所围成图形的面积.解如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组y2=x,y=x2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=01(xx2)dx9.求由曲线y=x2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.解画出草图,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组y=x2+4,y故所求平面图形的面积S=01(x2+45x)dx+14(5xx2=1=13+452+52×4213×43=19310.求抛物线y2=2x与直线y=4x围成的平面图形的面积.解由方程组y2=2x,y=4方法一:选x作为积分变量,由图可得S=SA1+SA2.在A1部分:由于抛物线的上部分方程为y=所以SA1=0=2202x12SA2=28[4=4x所以S=163+38方法二:∵y2=2x,∴x=12y2由y=4x.得x=4y,∴S=-42=4y-1B组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=32,x=2围成的图形面积为S1=1,S2=3,S3=32,则-322f(x)dA.112 B.1C.12 D.解析-322f(x)dx=-32-1f(x)dx+-11f(x)dx+12f(x)dx=S1S2答案C2.设直线y=1与y轴交于点A,与曲线y=x3交于点B,O为原点,记线段OA,AB及曲线y=x3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P取在△OAB内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为(A.13 B.14 C.15解析联立y=1,则曲边梯形OAB的面积为01(1x3)dx=x-14∵在Ω内随机取一个点P,点P取在△OAB内的概率等于23∴点P取在阴影部分的概率等于123∴图中阴影部分的面积为34故选B.答案B3.如图所示,直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,则k的值为.

解析∵抛物线y=xx2与x轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x轴所围成图形的面积为S=01(xx2)dx=x22-x33|01=∴S2=01-k(=1-k2x2又∵S=16∴(1k)3=12∴k=1312=1答案134.由直线y=x和曲线y=x3(x≥0)所围成的平面图形,绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为.

解析由y=x故所求体积V=01πx2dx01πx6dx=π01x2dxπ01x6=π13答案45.已知函数f(x)=x3x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.解∵(1,2)为曲线f(x)=x3x2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×122×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y2=2(x1),即y=2x.∴y=2x与函数g(x)=