第九章信号分析与处理

第七章离散系统的时域分析离散信号及特性离散系统的描述及模拟差分方程的经典解单位函数响应卷积和1第七章第1讲离散系统与连续系统的比较2第七章第1讲§7.1离散信号及其时域特性离散信号的定义离散时间信号可以从两个方面来定义：仅在一些离散时刻k(k=0,±1,±2,…)上才有定义(确定的函数值)的信号称为离散时间信号，简称离散信号，用f(k)表示。连续时间信号经过抽样（即离散化）后所得到的抽样信号通常也称为离散信号，用f(kT)表示，T为抽样周期。f(kT)一般简写为f(k)。3第七章第1讲基本离散信号复指数信号：f

(k)=Ca

ka=|a|ej

,C=|C|

均为复数C和a为实数(实指数序列)|a|>1,指数上升曲线a

为负,

f

(k)的值符号交替变化。

|a|<1,指数衰减曲线a

为正,

f

(k)的值均为正4第七章第1讲正弦序列和指数正弦序列正弦序列：f

(k)=Ca

ka=,C=A

均为复数为正弦序列按指数变化的正弦序列：f

(k)=Ca

ka=|a|,C=A

|a|=1,实部和虚部都是正弦序列；|a|<1,实部和虚部都是指数衰减的正弦序列；|a|>1,实部和虚部都是指数增长的正弦序列；5第七章第1讲数字角频率和模拟角频率的关系数字角频率0与模拟角频率0的关系由于离散信号定义的时间为kT，显然有：

0=0T模拟角频率

0的单位是rad/s，而数字角频率

0的单位为rad。

0表示相邻两个样值间弧度的变化量。

0表示1秒内变化了50个2rad

0表示两个离散值之间的弧度变化量6第七章第1讲正弦序列的周期周期序列的定义：f

(k+N)=f

(k)

式中：N为序列的周期，只能为任意整数。周期N的计算方法：与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取决于比值2/

0是正整数、有理数还是无理数。

是正整数时，则周期为N。因为：

是有理数时，则周期为

为无理数时，正弦序列就不再是周期序列。但包络线仍是正弦函数。7第七章第1讲单位阶跃序列定义延迟的阶跃序列门函数8第七章第1讲单位(冲激)函数定义延迟的(k)门函数9第七章第1讲单位(冲激)函数的主要性质筛选特性：加权特性：(k)与(k)的关系：因此，可以将任意离散信号表示为一系列延时单位函数的加权和，即将左式用n=k-i代换变量：即

i=k-n可得出求和上下限10第七章第1讲离散信号的运算序列的相加：f

(k)=f1(k)+f2(k)序列的相乘：

f

(k)=f1(k)

·f2(k)序列的折叠、尺度变换与位移：与连续信号相同序列的差分：与连续信号中的微分对应的运算

一阶前向差分

f

(k)=f

(k+1)-

f

(k)二阶前向差分

2f

(k)=[

f

(k)]=

f

(k+1)-

f

(k)

=f

(k+2)-2f

(k+1)+f

(k)一阶后向差分

f

(k)=f

(k)-

f

(k-1)二阶后向差分

2f

(k)=[f

(k)]=

f

(k)-

f

(k-1)

=f

(k)-2f

(k-1)+f

(k-2)11第七章第1讲离散信号的运算序列的求和(累加)：与连续信号中的积分对应的运算典型的累加和：有限等比序列求和公式：无穷收敛等比序列求和公式：其中：a1首项，an末项，q等比12第七章第1讲例1下述四个等式中，正确的是______。D13第七章第1讲例2信号f

(-k-

i)表示为_______。(i

0)D(A)信号f

(k)的右移序i(B)信号f

(k)的左移序i(C)信号f

(k)折叠再右移序i(D)信号f

(k)折叠再左移序i14第七章第1讲例3离散时间序列是____(A.周期信号；B.非周期信号)。若是周期信号，则周期N＝______。如果包含有n个不同频率正弦分量的复合信号是一个周期为N的周期信号，则其周期N必为各分量信号周期Ni的整倍数。如有2个分量，即N=m1N1=m2N2,mi为正整数.则周期为：对本题：则周期为：A3015第七章第1讲例4离散时间序列是____(A.周期信号；B.非周期信号)。若是周期信号，则周期N＝______。Bm1=3,m2=6

。可见不是正整数。故此信号是非周期信号。16第七章第1讲例5已知离散信号f

(k)=(k+2)[(k+2)-(k-3)],求:

f

(k+1)+f

(-k+1)=？f

(k+1)+f

(-k+1)=

(k+2)+6

(k+1)+6

(k)+6

(k-1)+

(k-2)17第七章第1讲例6序列y(k)=k2-2k+3,则二阶前向差分

2y(k)=

______。二阶前向差分

2y

(k)=[

y(k)]=

y

(k+1)-

y

(k)

=y

(k+2)-2y

(k+1)+y

(k)

=(k+2)2-2(k+2)+3-2[(k+1)2-2(k+1)+3]+k2-2k+3

=

k2+4k+4-2k-

4+3-2k2-

4k-2+4k+4-6+k2-2k+3=2218第七章第1讲例7已知离散信号f

(k)=(k+2)[(k+2)-(k-4)],试画出f

(k)，

f

(k-3)，f

(-k)，

f

(-k-3)的图形。19第七章第1讲§7.2取样信号与取样定理现实中存在的大多都是连续信号(如速度、温度、压力等)，而计算机处理的则是离散信号。对连续信号进行取样就可得到离散信号。在什么条件下取样信号能够保留原连续信号中的信息量而不受损失。这由取样定理来保证。20第七章第1讲意义电影是连续画面的抽样：电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时，就会感觉到是原来连续活动景象的重现。印刷照片是连续图象的采样：

印刷照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一点就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些采样点足够近的话，这幅印刷照片看起来就是连续的。信号的抽样21第七章第1讲信号的抽样抽样信号抽样器抽样模型22第七章第1讲冲激串抽样

=当时*=当时从频谱图可以看出：要使各频移不重叠，抽样频率

s2m，

m为f(t)的频谱F(j)的最高频率。否则，

s<2m

，抽样信号的频谱会出现混叠。根据频域卷积定理：23第七章第1讲矩形脉冲串抽样

=*=当时根据频域卷积定理：从频谱图可以看出：要使各频移不重叠，抽样频率

s2m，

m为f(t)的频谱F(j)的最高频率。否则，

s<2m

，抽样信号的频谱会出现混叠。24第七章第1讲抽样定理的解释25第七章第1讲时域抽样定理为了能从抽样信号f

s(t)中恢复原信号f

(t)，必须满足两个条件：被抽样的信号f

(t)必须是有限频带信号，其频谱在|

|>

m时为零。抽样频率

s2

m或抽样间隔

。其最低允许抽样频率

f

N=2f

m或

N=2

m称为奈奎斯特频率，其最大允许抽样间隔称为奈奎斯特抽样间隔。这个定理亦称为香农抽样定理。26第七章第1讲例1若电视信号占有的频带为０～６ＭＨz，电视台每秒发送25幅图像，每幅图象又分为625条水平扫描线，则每条水平线至少要有______个抽样点。(Ａ)625(Ｂ)768(Ｃ)1250(Ｄ)15625B27第七章第1讲例2对带宽为20kHz的信号f

(t)进行抽样，其奈奎斯特间隔Ts=______

s；信号f

(2t)的带宽为_______kHz，其奈奎斯特频率f

s=______kHz。对f

(t)：f

m=20kHz,f

s=2f

m=40kHz,对f

(2t)：f

m=2

20=40kHz,f

s=2f

m=80kHz,25408028第七章第1讲例3信号

频谱所占带宽(包括负频率)为______1/s，若将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱不产生混叠，最低抽样频率fs=______Hz，奈奎斯特间隔Ts=______s。200100/

/100根据对称性：令=200有：29第七章第1讲例4H1(j)H2(j)如图所示信号处理系统。(1)画出信号f(t)的频谱图；(2)欲使信号f

s(t)中包含信号f(t)中的全部信息，则

T(t)的最大抽样间隔(即奈奎斯特间隔)TN应为多少？30第七章第1讲例4H1(j)H2(j)(3)分别画出在奈奎斯特角频率

N及2

N时的fs(t)的频谱图；当

N=2m时当2

N=4m时31第七章第1讲理想低通滤波器频谱例4H1(j)H2(j)如图所示信号处理系统。(4)在2

N的抽样频率时，欲使响应信号y(t)=

f(t)，则理想低通滤波器H2(j

)截止频率

c的最小值应为多大？从频谱图可看出：32第七章第1讲例5对周期信号f(t)＝5cos(1000

t)[cos(2000

t)]²每秒抽样4500次，使抽样信号通过截止频率为2600Hz的理想低通滤波器。假定滤波器在通带内有零相移和单位增益，试求输出信号？若要在输出端得到重建的f(t)，问允许信号唯一重建的最小抽样频率是多少？解：周期信号表示式可展开为f(t)＝5cos(1000

t)½(1+cos4000

t)33第七章第1讲4000

例5抽样频率fs=4500Hz,即：

s=2f

s

=9000

。抽样信号的频谱为：理想滤波器的截止频率f

c

=2600Hz,即：

c=2f

c=5200

当抽样信号通过理想低通滤波器后,其输出为：5200

信号f(t)的最高角频率为：

m=5000,fm=2500Hz；所以使信号唯一重建的最小抽样频率为:下一节34第七章第1讲§7.3离散系统的描述及模拟微分方程与差分方程的比较35第七章第1讲差分方程的两种形式n阶前向差分方程式中，f

(k),y(k)分别为激励与响应。前向差分方程多用于状态变量分析法。n阶后向差分方程后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析。差分方程的重要特点是：系统当前的输出（即在k时刻的输出）y(k)，不仅与激励有关，而且与系统过去的输出y(k-1),y(k-2),

y(k-n)有关，即系统具有记忆功能。36第七章第1讲线性时不变离散系统的性质齐次性：Af

(k)

Ay

(k)叠加性：

f1(k)+f2(k)

y1(k)+y2(k)线性性：

A1f1(k)+A2f2(k)

A1

y1(k)+A2y2(k)时不变性(延迟性或移序不变性)：

f

(k-k0)

y

(k-k0)差分性：

f

(k)

y

(k)累加和性：37第七章第1讲线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述的线性时不变（LTI）系统为所有的项都包括了y(k)或f(k)。所有的系数都是常数（而不是y(k)、f(k)或k的函数）。下列因素导致系统差分方程是非线性或时变的：若有任何一项是常数或是y(k)或f(k)的非线性函数，则它是非线性的。若y(k)或f(k)中的任何一项的系数是k的显时函数，则它是时变的。38第七章第1讲离散系统的性质若当k<0时激励f

(k)=0，则当k<0时响应y(k)=0

。因果性也就是说，如果响应y(k)并不依赖于将来的激励[如f

(k+1)]，那么系统就是因果的。造成系统差分方程为非因果的因素：若最小延迟输出项是y(k)且有一输入项为