5.3.2函数的极值与最大（小）值第1课时课件-高二上学期数学人教A版2019选择性

5.3导数在研究函数中的应用5.3.2.1函数的极值1.了解极大值、极小值的概念；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.会用导数求函数的极大值、极小值．知识点1：函数的极值问题1：观察图象，说说函数h(t)在t=a处时的导数是多少？此点附近的函数图象有什么特点？导数的正负有什么变化规律Oabthh´(a)=0单调递增h´(t)>0单调递减h´(t)<0归纳：（1）在t=a

附近，函数值先增后减；（2）当t

在a

的附近从小到大经过a

时，h′(t)先正后负，且h′(t)连续变化，于是有h´(a)=0.问题2：如图，函数y=f(x)在x=a，b，c，d，e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值f´(x)分别是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？Oabxycedy=f(x)分析：如图，可先分析函数y=f(x)在x=a，b两点的函数值、导数值与这两点附近的点的函数值、导数值，在类比分析其它点即可；

如图，函数f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，且

f´(a)=0；在点x=a附近的左侧f´(x)<0，右侧

f´(x)>0；

类似地，函数f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其它点的函数值都大，且

f´(b)=0；在点x=b附近的左侧f´(x)>0，右侧

f´(x)<0.x=bx=aOabxycedy=f(x)概念讲解极值点与极值（1）函数y=f(x)极值点：a

叫做极小值点，b

叫做极大值点；（2）函数y=f(x)极值：f(a)

叫做极小值，f(b)

叫做极大值；（3）极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.Oabxycedy=f(x)极大值极大值思考：极值点是一个点吗？

典例剖析x(−∞，−2)−2(−2，2)2(2，+∞)f′(x)+0−0+f(x)单调递增

单调递减−单调递增

O–2xy

2函数图象思考：在一个函数中，极大值一定大于极小值吗？Obxycady=f(x)

由概念可知，函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质；

如图，函数y=f(x)的极小值

f(a)

大于极大值f(d)；极大值

f(b)

大于极小值f(c)；即函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系.练一练1.求函数f(x)=6x2–x–2的极值.

x(−∞，)(，+∞)f′(x)–0+f(x)单调递减–

单调递增

思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

导数值为0的点不一定是函数的极值点；例如，在函数f(x)=x3中f′(x)=3x2，虽然f′(0)=0，但无论x>0，还是x<0，恒有f′(x)>0；即函数f′(x)=x3是增函数，所以0不是函数f′(x)=x3的极值点；一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.y

=x3xy归纳小结求函数y=f(x)的极值的方法：解方程f′(x)=0，当f′(x0)=0时：（1）如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.练一练2.函数f(x)的导函数y=f´(x)的图象如图所示，试找出函数f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.Oabxyx1y=f´(x)x2x3x4x5x6判断函数y=f(x)的极值的充要条件：①f′(x0)=0；②f′(x)在

x=x0两侧异号；函数f(x)的极值点有：x2

和x4，其中极大值点为x2，极小值点为x4.注意：虽然f′(x6)=