矩形的性质与判定 省赛一等奖完整版

第一章特殊(tèshū)平行四边形第2节矩形(jǔxíng)的性质与判定（三）第一页，共二十八页。1.如图1，矩形(jǔxíng)ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5cm，则∠DAO=

，AC=

cm，S矩形ABCD=

.复习(fùxí)导入

3005第二页，共二十八页。2.如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件(tiáojiàn)

，可使它成为矩形.复习(fùxí)导入

第三页，共二十八页。例3如图，在矩形(jǔxíng)ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.解：∵四边形ABCD是矩形(jǔxíng),(矩形(jǔxíng)的对角互相平分).∴∠BAD=900(矩形的四个都是直角).AC=BD(矩形的对角线相等).第四页，共二十八页。例3如图，在矩形(jǔxíng)ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.∵ED=3BE,∴BE=OE.又∵AE⊥BD,∴AB=AO.∴AB=AO=BO,即△ABO是等边三角形.∴∠ABO=600.∴∠ADB=900-∠ABO=900-600=300.你还有其他的解法(jiěfǎ)吗？和同伴交流.第五页，共二十八页。例4已知：如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN为△ABC的外角(wàijiǎo)∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.

证明(zhèngmíng)：∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM,∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM.∴∠DAE=∠CAD+∠CAN

=（∠BAC+∠CAM）

=×180°

=90°.第六页，共二十八页。在△ABC中,∵AB=AC，AD平分(píngfēn)∠BAC,∴AD⊥BC.∴∠ADC=900.又∵CE⊥AN,∴∠CEA=900.∴四边形ADCE是矩形(jǔxíng)(有三个角是直角(zhíjiǎo)的四边形是矩形).你还有其他的解法吗？和同伴交流.第七页，共二十八页。在例4中,连接DE,交AC于点F(如图).(1)试判断四边形ABDE的形状，并证明(zhèngmíng)你的结论.想一想(1)四边形ABDE是平行四边形.证明(zhèngmíng)∵四边形ADCE为矩形,∴AE∥DC,AE=DC.在△ABC中,∵AB=AC,AD为∠BAC的平分线,∴BD=DC.∴AE∥BD，AE=BD.∴四边形ABDE为平行四边形.第八页，共二十八页。在例4中,连接DE,交AC于点F(如图).(2)线段DF与AB有怎样的关系(guānxì)？请证明你的结论.想一想(2)DF∥AB,且提示:四边形ABDE是平行四边形,∴DE=AB,DE∥AB.∵四边形ADCE是矩形,第九页，共二十八页。随堂练习(liànxí)1.已知:如图,四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成,M,N分别(fēnbié)是BC和AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形.第十页，共二十八页。提示:∵△ABD和△BCD是两个全等的正三角形,∴AD=BD=CD=BC∠ADB=∠DBC=600.∴DN∥BM.又∵N为AD中点(zhōnɡdiǎn),M为BC中点,∴AD=2DN,BN⊥AD.BC=2BM.∴DN=BM,∠DNB=900.∴四边形BMDN是平行四边形.又∵∠DNB=900,∴平行四边形BMDN是矩形.第十一页，共二十八页。2.如图,矩形(jǔxíng)ABCD的对角线AC,BD相交于O,∠BOC=2∠AOB,若AC=6cm,试求AB的长.提示:∵∠BOC=2∠AOB,∠BOC+∠AOB=1800,∴∠BOC=1200,∠AOB=600.∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO.∴△AOB是正三角形.第十二页，共二十八页。3.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别(fēnbié)分别(fēnbié)平分∠DAB和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q.(1).求证:AP⊥PB;(2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少?△APB的面积是多少?第十三页，共二十八页。提示:(1)∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,∴∠PAB=∠DAB,∠PBA＝∠CBA．又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAB+∠CBA=1800.∴∠PAB+∠PBA=900.∴∠APB=1800-900=900.∴AP⊥PB．第十四页，共二十八页。(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,BC=AD=5.∴∠DPA=∠PAB.又∵AP平分∠DAB,∴∠PAB=∠PAD.∴∠DPA=∠PAD.∴DP=AD=5.同理PC=BC=5.∴AB=DC=DP+PC=10.∴在Rt△APB中,应用勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)得BP=6.∴△APB的面积是24.第十五页，共二十八页。4.已知矩形的一条对角线与一边(yībiān)的夹角是400,则两条对角线所成的锐角的度数是（）A.100°B.90°C.80°D.70°5.矩形(jǔxíng)的一边长为6,各边中点围成的四边形的周长是20,则矩形的对角线长为____,面积为______.6.平行四边形四个内角(nèijiǎo)的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形7.如图,矩形ABCD中,O是对角线的交点,若AE⊥BD于E,且OE∶OD=1∶2，AE=cm,则∠AOD=_____,DE=_____cm.C1048A12003第十六页，共二十八页。8.已知:如图,在□ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.(1)求证：DE＝BF；(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊(tèshū)四边形？并证明你的结论．提示(tíshì):(1)证四边形DEBF是平行四边形,可得DE=BF.(2)先证四边形ADBG是平行四边形,再证∠ADB是直角(zhíjiǎo).第十七页，共二十八页。9.如图,四边形ABCD中,对角线相交于点O,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时,四边形EFGH是矩形(jǔxíng)？并证明你的结论.(1)略；(2)当∠ABC+∠BCD=900时,四边形EFGH是矩形(jǔxíng).理由略.第十八页，共二十八页。10.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交(xiāngjiāo)于点O,∠ACB=300，BD=4,求矩形ABCD的面积.第十九页，共二十八页。11.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线,垂足(chuízú)为E.已知∠EAD=3∠BAE,求∠EAO的度数.450.第二十页，共二十八页。12.已知：如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证(qiúzhèng)：四边形ADCE是矩形.第二十一页，共二十八页。提示:∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．∵AB=AC,D为BC中点(zhōnɡdiǎn)，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．第二十二页，共二十八页。13.如图,在矩形(jǔxíng)纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,将矩形纸片折叠,使点C与点A重合.请在图中画出折痕，并求折痕的长.第二十三页，共二十八页。EF=7.5cm.第二十四页，共二十八页。14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线(chuíxiàn),垂足为E,F.求PE+PF的值.第二十五页，共二十八页。小结：1.说说你的收获(shōuhuò).2.说说你的困惑.3.说说你的方法.作业(zuòyè)：习题1.61、2、3、4、5题.第二十六页，共二十八页。(1)AB=CD(2)AD=BC(3)AB=BC(4)AB∥CD(5)AD∥BC(6)∠BAD=∠BCD(7)∠ABC=∠ADC(8)∠BAD=900(9)OA=OC(10)OB=OD(11)AC⊥BD(12)AC=BD边角对角线4.你能在四边形的基础上,从下列条件中选三个,得到矩形吗?你找到了多少个答案？AB