曲线的参数方程完整版

3/11/2024郑平正(píngzheng)制作一.曲线(qūxiàn)的参数方程高二数学(shùxué)选修4-4高二数学选修4-4

第二讲参数方程第一页，共四十六页。1.参数方程(fāngchéng)的概念第二页，共四十六页。（2）并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么(nàme)方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标(zuòbiāo)间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：

参数是联系变数(biànshù)x,y的桥梁,1、参数方程的概念：

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数1.参数方程中参数可以有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围第三页，共四十六页。例1:已知曲线C的参数方程(fāngchéng)是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,因此(yīncǐ)M1在曲线C上。把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，因此(yīncǐ)M2不在曲线C上。（2）因为M3（6，a)在曲线C上。解得：t=2,a=9∴a=9第四页，共四十六页。2、方程所表示(biǎoshì)的曲线上一点的坐标是（

）A、（2，7）；B、C、D、（1，0）1、曲线与x轴的交点(jiāodiǎn)坐标是()A、（1，4）；B、C、D、BD训练(xùnliàn)1：第五页，共四十六页。已知曲线C的参数方程(fāngchéng)是

点M(5,4)在该曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.解:(1)由题意(tíyì)可知:1+2t=5at2=4解得:a=1t=2∴a=1(2)由已知及(1)可得,曲线(qūxiàn)C的方程为:x=1+2ty=t2由第一个方程得:代入第二个方程得:训练2：第六页，共四十六页。思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别(fēnbié)为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间(shíjiān)为t，依题意，得所以，点M的轨迹(guǐjì)参数方程为参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程第七页，共四十六页。小结(xiǎojié)：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

（2）并且对于(duìyú)t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数(cānshù)方程，系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。第八页，共四十六页。2.圆的参数(cānshù)方程第九页，共四十六页。yxorM(x,y)第十页，共四十六页。圆的参数方程的一般(yībān)形式圆心为原点，半径(bànjìng)为r的圆的参数方程：第十一页，共四十六页。由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们(tāmen)表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。第十二页，共四十六页。x2+y2=r2注：1、参数方程的特点是没有直接体现(tǐxiàn)曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现(tǐxiàn)了点的横、纵坐标与参数之间的关系。2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立(jiànlì)间接的联系。第十三页，共四十六页。例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点(zhōnɡdiǎn)，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ第十四页，共四十六页。3.参数(cānshù)方程和普通方程的互化第十五页，共四十六页。第十六页，共四十六页。3.参数方程(fāngchéng)和普通方程(fāngchéng)的互化：（1）普通方程(fāngchéng)化为参数方程(fāngchéng)需要引入参数如：①直线(zhíxiàn)L的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程（t为参数）②在普通方程xy=1中，令x=tan

,可以化为参数方程

（

为参数）第十七页，共四十六页。（2）参数方程通过(tōngguò)代入消元或加减消元消去参数化为普通方程如：①参数(cānshù)方程消去参数(cānshù)

可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.②参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）注意：

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.第十八页，共四十六页。yxo(1,1)类型一：参数方程(fāngchéng)化为普通方程(fāngchéng)代入消元法第十九页，共四十六页。xoy类型一：参数(cānshù)方程化为普通方程三角(sānjiǎo)变换消元法第二十页，共四十六页。步骤：1、消掉参数(代入消元，三角变形(biànxíng)，配方消元)2、写出定义域（x的范围）参数方程(fāngchéng)化为普通方程(fāngchéng)的步骤在参数(cānshù)方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：第二十一页，共四十六页。练习(liànxí)：参数方程表示(biǎoshì)

（）（A）双曲线的一支(yīzhī)，这支过点（1，）：（B）抛物线的一部分，这部分过（1，）；（C）双曲线的一支，这支过点（–1，）；（D）抛物线的一部分，这部分过（–1，）B第二十二页，共四十六页。分析(fēnxī)一般思路是：化参数(cānshù)方程为普通方程求出范围(fànwéi)、判断。解x2==1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。

，又0<

<2，故应选（B）说明:这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。第二十三页，共四十六页。类型二：普通(pǔtōng)方程化为参数方程第二十四页，共四十六页。第二十五页，共四十六页。注：本题两个参数方程(fāngchéng)和起来才是椭圆的参数方程(fāngchéng)。第二十六页，共四十六页。第二十七页，共四十六页。1.已知圆方程(fāngchéng)x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准(biāozhǔn)方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数(cānshù)方程为(θ为参数)练习：第二十八页，共四十六页。x,y范围(fànwéi)与y=x2中x,y的范围相同，代入y=x2后满足(mǎnzú)该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2、曲线y=x2的一种参数(cānshù)方程是（）.

注意：

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以第二十九页，共四十六页。将下列参数(cānshù)方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤(bùzhòu)：（1）消参；（2）求定义域。练习(liànxí)：第三十页，共四十六页。练习(liànxí)：将下列参数方程(fāngchéng)化为普通方程(fāngchéng)：第三十一页，共四十六页。（）D练习(liànxí)：第三十二页，共四十六页。（2，1）A.36B.6C.26D.25（）A练习(liànxí)：第三十三页，共四十六页。练习(liànxí)：(2,0),(0,2)D第三十四页，共四十六页。-6练习(liànxí)：a>-2第三十五页，共四十六页。例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线(zhíxiàn)x+y-1=0的距离d的最值。解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程(fāngchéng)表示为由于(yóuyú)点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2

=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).(其中tanψ=3/2)∴x2+y2的最大值为14+2，最小值为14-2。第三十六页，共四十六页。(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）∴x+y的最大值为5+，最小值为5-。(3)显然当sin（θ+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线(zhíxiàn)x+y-1=0的距离d的最值。第三十七页，共四十六页。练习(liànxí)：1.填空：已知圆O的参数方程是(0≤＜2)⑴如果圆上点P所对应的参数(cānshù)，则点P的坐标是

第三十八页，共四十六页。A的圆，化为标准(biāozhǔn)方程为（2，-2）1化为参数方程为把圆方程0142)2(22=+-++yxyx第