时商品利润最大问题 完整版

22.3实际问题(wèntí)与二次函数第二十二章二次函数(hánshù)

第2课时(kèshí)商品利润最大问题第一页，共二十一页。学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题(wèntí).（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）第二页，共二十一页。

在日常生活中存在(cúnzài)着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何(rúhé)定价才能使商场获得最大利润呢？导导导第三页，共二十一页。思请同学(tóngxué)们独立完成导学案中思考部分。议请同学们以小组(xiǎozǔ)为单位，交流思考部分的问题，大胆质疑、解惑、创新。第四页，共二十一页。利润问题中的数量关系一

某商品现在(xiànzài)的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是

元，销售利润

元.180006000数量(shùliàng)关系（1）销售额=售价×销售量;（2）单件利润(lìrùn)=售价-进价.（3）总利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;展第五页，共二十一页。

例1

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何(rúhé)定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品(shāngpǐn)的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立(jiànlì)函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.如何定价利润最大二6000展第六页，共二十一页。②自变量x的取值范围如何(rúhé)确定？

营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑(kǎolǜ)销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少(duōshǎo)元时，利润最大，最大利润是多少(duōshǎo)？y=-10x2+100x+6000，当

时,y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定价65元时，最大利润是6250元.展第七页，共二十一页。降价(jiànɡjià)销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+20xy=(20-x)(300+20x)建立(jiànlì)函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.

例1

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查(diàochá)反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000展第八页，共二十一页。综合可知(kězhī)，应定价65元时，才能使利润最大.②自变量x的取值范围如何(rúhé)确定？营销规律(guīlǜ)是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x

≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③降价多少元时，利润最大，是多少？y=-20(x-2.5)2+6125，

即定价57.5元时，最大利润是6150元.即：y=-20x2+100x+6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?展第九页，共二十一页。归纳(guīnà)总结求解(qiújiě)最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格(jiàgé)之间的函数关系式；运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润。可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.展第十页，共二十一页。例2：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同(bùtónɡ).令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.

（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润(lìrùn)最多是多少元？解：由题意(tíyì)得：当40≤x≤50时，Q=60(x－30)=60x－1800∵y=60>0，Q随x的增大而增大∴当x最大=50时，Q最大=1200答：此时每月的总利润最多是1200元.

展第十一页，共二十一页。（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利(huòlì)最大，最大利润是多少元？解：当50≤x≤70时，设y与x函数(hánshù)关系式为y=kx+b,∵线段过(50，60)和(70，20).50k+b=6070k+b=20∴∴y

=－2x+160（50≤x≤70）

解得：k

=－2b=160展第十二页，共二十一页。∴y

=－2x+160（50≤x≤70）

∴Q=(x－30)y

=(x－30)(－2x+160)=－2x2+220x－4800=－2(x－55)2+1250(50≤x≤70)

∵a=－2＜0，图象(túxiànɡ)开口向下，∴当x=55时，Q最大=1250∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.

展第十三页，共二十一页。解：∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218∴售价x应在50~70元之间.

∴令：－2(x－55)2+1250=1218解得：x1=51，x2=59当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160=58(件)当x2=59时，y2=－2x+160=－2×59+160=42(件)∴若4月份(yuèfèn)该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.

（3）若4月份(yuèfèn)该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？展第十四页，共二十一页。最大利润(lìrùn)问题建立(jiànlì)函数关系式总利润(lìrùn)=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.评第十五页，共二十一页。1.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣(chènyī)的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.(以上关系式只列式不化简）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)检第十六页，共二十一页。2

.某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨(shàngzhǎng)1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？检第十七页，共二十一页。①每件商品的销售单价上涨(shàngzhǎng)x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售1018010+x180-10xy=(10+x)(180-10x)1800建立(jiànlì)函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800.检第十八页，共二十一页。营销规律是价格上涨，销量下降，因此(yīncǐ)只要考虑销售量就可以，故180-10x≥0，因此自变量的取值范围是x≤18.③涨价(zhǎnɡjià)多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+80x+1800

=-10(x-4)2+1960.

当x=4时，即销售(xiāoshòu)单价为34元时，y取最大值1960元.

答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.②自变量x的取值范围如何确定？检第十九页，共二十一页。1.课本第51页习题(xítí)22.3的第2和第8题2.基础训练本课时。练第二