时勾股定理的逆定理的应用完整版

17.2勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)的逆定理第十七章勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)

优

翼

课

件

导入新课讲授(jiǎngshòu)新课当堂练习课堂小结

八年级数学下（RJ）教学课件第2课时勾股定理的逆定理的应用第一页，共二十八页。学习目标1.灵活应用(yìngyòng)勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.（难点）第二页，共二十八页。导入新课问题(wèntí)

前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?回顾(huígù)与思考a2+b2=c2(a,b为直角(zhíjiǎo)边，c为斜边)Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b为较短边，c为最长边）Rt△ABC，且∠C是直角.第三页，共二十八页。(2)等腰△

ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC

边上(biānshànɡ)的高是

cm.8(1)已知△

ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为

三角形，

是最大角.

直角(zhíjiǎo)∠A快速(kuàisù)填一填：思考

前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理能解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？第四页，共二十八页。在军事和航海(hánghǎi)上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.第五页，共二十八页。讲授(jiǎngshòu)新课12勾股定理的逆定理的应用一例1

如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距(xiāngjù)30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEP

QR第六页，共二十八页。问题1

认真(rènzhēn)审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“远航”号的航向、两艘船的一个半小时(xiǎoshí)后的航程及距离已知，如图.问题2

由于我们现在所能得到的都是线段长，要求(yāoqiú)角，由此你联想到了什么？实质是要求出两艘船航向所成角.勾股定理逆定理第七页，共二十八页。解：根据(gēnjù)题意得PQ=16×1.5=24(海里(hǎilǐ)),PR=12×1.5=18(海里(hǎilǐ)),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.

NEP

QR12

解决实际问题的步骤：

构建几何模型(从整体到局部)；

标注有用信息,明确已知和所求；

应用数学知识求解.归纳第八页，共二十八页。【变式题】

如图，南北(nánběi)方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北PABCQD分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后(ránhòu)利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.第九页，共二十八页。解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.设PQ与AC相交(xiāngjiāo)于点D，根据三角形面积公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5（小时(xiǎoshí)）=30（分钟），∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.东北PABCQD第十页，共二十八页。例2一个零件的形状如图

所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角(zhíjiǎo),工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图

所示,这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图

图

第十一页，共二十八页。在△BCD中，

∴△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此(yīncǐ)，这个零件符合要求.解：在△ABD中，

∴△ABD

是直角三角形，∠A是直角(zhíjiǎo).DABC4351312图

第十二页，共二十八页。

1.A、B、C三地的两两距离(jùlí)如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向(fāngxiàng)．练一练第十三页，共二十八页。2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识(zhīshi)帮他检验一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民(nóngmín)挖的不合格．第十四页，共二十八页。例3如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积(miànjī).解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.ADBC341312勾股定理及其逆定理的综合应用二第十五页，共二十八页。解：连接(liánjiē)AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.

四边形问题对角线是常用(chánɡyònɡ)的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.归纳第十六页，共二十八页。【变式题1】

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积(miànjī).解：连接(liánjiē)BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－

AB•AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD第十七页，共二十八页。【变式题2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积(miànjī)为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角(zhíjiǎo).∴DCBA第十八页，共二十八页。（1）证明(zhèngmíng)：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：设腰长AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程(fāngchéng)的思想例4如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积．第十九页，共二十八页。1.医院、公园(gōngyuán)和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东

的方向.东医院公园超市北65°当堂(dānɡtánɡ)练习第二十页，共二十八页。2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们(tāmen)摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A.B.C.D.D第二十一页，共二十八页。3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度(sùdù)前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，又∵A，B两组相距(xiāngjù)30km，且有242+182=302，∴A，B两组行进的方向成直角．第二十二页，共二十八页。4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线(zhōngxiàn)AD=15，试说明：AB=AC.解：∵BC=16，AD是BC边上(biānshànɡ)的中线，∴BD=CD=BC=8.∵在△ABD中，AD2+BD2=152+82=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，∴AB=AC.第二十三页，共二十八页。5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发(chūfā)，以12海里/时的速度向着目标B出发(chūfā)，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？第二十四页，共二十八页。解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2，∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进(qiánjìn)，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．第二十五页，共二十八页。解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长(zhōuchánɡ)为36cm，即AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3.∴AB