9.5 乘法公式（2）完全平方公式-苏科版七年级下册数学第9章《整式的乘法与因式分解》尖子生同步培优（附答案解析）

专题9.5乘法公式（2）完全平方公式姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间40分钟，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列多项式中不是完全平方式的是（）A．2x2+4x﹣4 B．4x2﹣2x+0.25 C．9a2﹣12a+4 D．x2+2xy+y22．如图，用正方形卡片A类1张、B类9张和长方形卡片C类6张拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（）A．a+9b B．a+6b C．a+3b D．3a+b3．若多项式a2+kab+4b2是完全平方式，则k的值为（）A．4 B．±2 C．±4 D．±84．若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣65．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2+b2的值为（）A．21 B．23 C．25 D．296．正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了24cm2，则这个正方形原来的面积是（）A．15cm2 B．25cm2 C．36cm2 D．49cm27．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值为（）A．9 B．6 C．3 D．﹣38．已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，则ab的值为（）A．14 B．12 C．349．如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为（）A．4 B．32 C．5 10．如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．若x2﹣10x+m2是一个完全平方式，那么m的值为．12．已知多项式x2﹣mx+25是完全平方式，则m的值为．13．若a+b＝5，ab＝3，则a2﹣ab+b2＝．14．已知：a+b＝6，ab＝﹣10，则a2+b2＝．15．若（x+y）2＝11，（x﹣y）2＝1，则x2﹣xy+y2的值为．16．若m﹣n＝3，mn＝﹣1，则（m+n）2＝．17．已知（a+b）2＝144，（a﹣b）2＝36，则ab＝；a2+b2＝．18．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a，b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为121，中间空缺的小正方形的面积为13，则下列关系式：①a+b＝11；②（a﹣b）2＝13；③ab＝27；④a2+b2＝76，其中正确的是（填序号）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）2．20．运用适当的公式计算：（1）（﹣1+3x）（﹣3x﹣1）；（2）（x+1）2﹣（1﹣3x）（1+3x）．21．计算（2a﹣b+1）（2a﹣1﹣b）．22．计算：（1）（﹣2a﹣b）2；（2）（x﹣3）（x+3）（x2+9）．23．已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．24．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：（1）图②中阴影部分的正方形的边长为；（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积．方法一：；方法二：；（3）观察图②，写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式：；（4）计算：（10.5+2）2﹣（10.5﹣2）2＝．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解析】A.2x2+4x﹣4不符合完全平方式的特点，故A不是完全平方式B．原式＝（2x﹣0.5）2，故B是完全平方公式．C．原式＝（3a﹣2）2，故C是完全平方公式．D．原式＝（x+y）2，故D是完全平方公式．故选：A．2．C【分析】根据题意列出关系式，利用完全平方公式化简，开方即可求出所求．【解析】根据题意得：正方形的面积为a2+9b2+6ab＝（a+3b）2，则这个正方形的边长为a+3b．故选：C．3．C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．【解析】∵a2+kab+4b2是完全平方式，∴kab＝±2•a•2b＝±4ab，∴k＝±4，故选：C．4．A【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解析】∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．5．D【分析】原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．【解析】∵a+b＝5，ab＝﹣2，∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝25+4＝29．故选：D．6．B【分析】设正方形的边长是xcm，根据面积相应地增加了24cm2，即可列方程求解．【解析】设正方形的边长是xcm，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝24，解得：x＝5．则这个正方形原来的面积是25cm2，故选：B．7．A【分析】由已知得a＝b+3，代入所求代数式，利用完全平方公式计算．【解析】∵a﹣b＝3，∴a＝b+3，∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．故选：A．8．C【分析】两个式子相减，根据完全平方公式展开，合并同类项，再系数化为1即可求解．【解析】（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab＝7﹣4＝3，ab=3故选：C．9．B【分析】设矩形ABCD的边AB＝a，AD＝b，根据四个正方形周长之和为24，面积之和为12，得到a+b＝3，a2+b2＝6，再根据ab=(a+b【解析】设AB＝a，AD＝b，由题意得，8a+8b＝24，2a2+2b2＝12，即a+b＝3，a2+b2＝6，∴ab=(a+b即长方形ABCD的面积为32故选：B．10．A【分析】将所给两个式子作差可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，即可求长方形面积．【解析】∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，∴ab＝3，∴长方形的面积为3，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．±5．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解析】∵x2﹣10x+m2是一个完全平方式，∴m＝±5，故答案为：±5．12．土10．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．【解析】∵多项式x2﹣mx+25是完全平方式，x2﹣mx+25＝x2﹣mx+52，∴﹣mx＝±2x•5，∴m＝±10．故答案为：±10．13．16．【分析】首先把等式a+b＝5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2＝25，然后根据题意即可得解．【解析】∵a+b＝5，∴a2+2ab+b2＝25，∵ab＝3，∴a2+b2＝19，∴a2﹣ab+b2＝16．故答案为：16．14．56．【分析】根据完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．【解析】∵a+b＝6，ab＝﹣10，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×（﹣10）＝56，故答案为：56．15．3.5．【分析】已知等式利用完全平方公式化简，【解析】∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝11①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝1②，∴①+②得：2（x2+y2）＝12，即x2+y2＝6，①﹣②得：4xy＝10，即xy＝2.5，则原式＝6﹣2.5＝3.5．故答案为：3.5．16．5．【分析】先将m﹣n＝3，两边平方，再将mn＝﹣1代入求出m2+n2，最后将（m+n）2展开，即可得出结论．【解析】∵m﹣n＝3，∴（m﹣n）2＝9，即m2+n2﹣2mn＝9，∵mn＝﹣1，∴m2+n2＝7，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7﹣2＝5；故答案为：5．17．27；90．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再求解即可．【解析】因为（a±b）2＝a2±2ab+b2，（a+b）2＝144，（a﹣b）2＝36，所以a2+2ab+b2＝144①，a2﹣2ab+b2＝36②，①﹣②，得4ab＝108，所以ab＝27；①+②，得2a2+2b2＝180，所以a2+b2＝90．故答案为：27，90．18．①②③【分析】根据大正方形的面积为121，中间空缺的小正方形的面积为13，可得出矩形的长a与宽b之间的关系，再根据面积之间的关系可判断ab的值，再利用公式变形可得出a2+b2的值．【解析】∵大正方形的面积为121，∴大正方形的边长为11，即a+b＝11，因此①正确；又∵中间空缺的小正方形的面积为13，中间小正方形的边长为a﹣b，∴（a﹣b）2＝13，因此②正确；由拼图可知：4S矩形的面积＝S大正方形﹣S小正方形，∴4ab＝121﹣13，∴ab＝27，因此③正确；∵a+b＝11，ab＝27，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝112﹣2×27＝121﹣54＝67，因此④不正确；综上所述，正确的结论有①②③，故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再把所得的结果合并即可．【解析】（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）2＝x2﹣1﹣x2﹣4x﹣4＝﹣4x﹣5．20．【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可．（2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可．【解析】（1）原式＝（﹣1）2﹣（3x）2＝1﹣9x2；（2）原式＝x2+2x+1﹣（1﹣9x2）＝x2+2x+1﹣1+9x2＝10x2+2x．21．【分析】选把原式写成平方差公式形式，再根据完全平方公式展开即可．【解析】原式＝（2a﹣b）2﹣1＝4a2﹣4ab+b2﹣1．22．【分析】（1）先整理为（2a+b）2，进而用完全平方公式展开即可；（2）先把前2项运用平方差公式相乘，继续把得到的结果和最后一项用平方差公式展开即可．【解析】（1）（﹣2a﹣b）2＝（2a+b）2＝4a2+4ab+b2；（2）（x﹣3）（x+3）（x2+9），＝（x2﹣9）（x2+9），＝x4﹣81．23．【分析】先把a+b＝3两边平方，然后代入数据计算即可求出a2+b2的值，根据完全平方公式把（a﹣b）2展开，再代入数据求解即可．【解析】∵a+b＝3，∴a2+2ab+b2＝9，∵ab＝2，∴a2+b2＝9﹣2×2＝5；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．24．（1）图②中阴影部分的正方形的边长为m﹣n；（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积．方法一：（m﹣n）2；方法二：（m+n）2﹣4mn；（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）84．【分析】（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m﹣n的正方形；（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为（m+n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；（4）将（10.5+2）2﹣（10.5﹣2）2化成（10.5﹣2）2+4×10.5×2﹣（10.5﹣2）2即可．【解析】（1）由拼图可知，阴影部分是