2022年湖南省岳阳市市第一中学高二数学理上学期摸底试题含解析

2022年湖南省岳阳市市第一中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A． B． C．f（﹣2）＞e3f（1） D．f（﹣2）＜e3f（1）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，根据函数的单调性求出g（1）＞g（2），判断答案即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，而2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，故g′（x）＜0在R恒成立，g（x）在R递减，故g（1）＞g（2），即f（1）＞，故选：A．3.利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（

）A．1项

B．k项

C.项

D．项参考答案：D时左面为，时左面为，所以增加的项数为

4.若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(

)A.

(,+￥)

B.(-￥,)

C.

(,)

D.

[1,)参考答案：5.已知集合，，则A∩B等于（

）A.(2,4) B.(－3,4) C.(－3,－2)∪(2,4) D.(－∞,+∞)参考答案：C【分析】由不等式性质求出集合A、B，由交集的定义求出可得答案.【详解】解：可得；，可得=故选C.【点睛】本题考查了交集及其运算，求出集合A、B并熟练掌握交集的定义是解题的关键.6.命题p：?x0＞1，使x02﹣2x0﹣3=0，则?p为（）A．?x＞1，x2﹣2x﹣3=0 B．?x＞1，x2﹣2x﹣3≠0C．?x0≤1，x02﹣2x0﹣3=0 D．?x0≤1，x02﹣2x0﹣3≠0参考答案：B【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】特称命题：?x0＞1，使x02﹣2x0﹣3=0的否定是：把?改为?，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即?x＞1，x2﹣2x﹣3≠0【解答】解：特称命题：?x0＞1，使x02﹣2x0﹣3=0的否定是全称命题：?x＞1，x2﹣2x﹣3≠0．故选B．【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可．7.已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A． B．6 C． D．12参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选C8.曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为(

)A.(1,0)或(-1,-4)

B.(0,1)

C.(-1,0)

D.(1,4)

参考答案：A略9.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A由三视图知空间几何体为圆柱，∴全面积为，∴选A．10.如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数=．参考答案：【考点】导数的运算；函数的值．【专题】计算题．【分析】根据函数，得f′（x）=2x+2f′（），再即可得到关于f′（﹣）的方程，即可求解【解答】解：∵∴f′（x）=2x+2f'（）令x=得：f'（﹣）=2×解得：故答案为：【点评】本题考查了抽象函数的求导问题，是近几年考试的热点，属于基础题．12.命题的否定为__________

参考答案：13.在椭圆中F，A，B分别为其左焦点，右顶点，上顶点，O为坐标原点，M为线段OB的中点，若DFMA为直角三角形，则该椭圆的离心率为

参考答案：略14.等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是

。参考答案：略15.若函数f（x）=是奇函数，则f（x）≥的解集为（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列3个函数：①f（x）=ex；②f（x）=lnx+1；③f（x）=x3，其中不存在“稳定区间”的函数有

（填上正确的序号）．参考答案：③考点： 函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对三个函数逐一进行判断，即可得到答案．解答： 解：①对于函数f（x）=ex，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有ea=a，eb=b，即方程ex=x有两个解，即y=ex和y=x的图象有两个交点，这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．②对于f（x）=lnx+1，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有lna+1=a，且lnb+1=b，即方程lnx+1=x有两个解，即y=lnx+1和y=x的图象有两个交点，这与y=lnx+1和y=x的图象有且只有一个公共点相矛盾，故②不存在“稳定区间”．③对于f（x）=x3存在“稳定区间”，如x∈时，f（x）=x3∈．故③存在“稳定区间”．存在稳定区间区间的函数有③．故答案为：③．点评： 本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于中档题16.函数的图象在点处的切线方程是，则

．参考答案：317.如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．参考答案：e=2﹣5【考点】椭圆的简单性质．【分析】解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．【解答】解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N，易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，，（负值舍去），易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，点P在y轴上，且，求点P纵坐标的取值范围.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）设椭圆的方程为，求出的值即得解；（2）先写出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，，，，根据方程的根与系数的关系可求，，然后由且在轴上，令解得，，即可得解．【详解】（1）设椭圆的方程为，设椭圆的右焦点为，所以.又，所以，所以椭圆的方程为.（2）依题设直线的方程为.将代入并整理得，..设，，则，.设的中点为，则，，即.因为，所以直线的垂直平分线的方程为，令解得，，当时，因为，所以；当时，因为，所以.综上得点纵坐标的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19.已知函数(为常数)有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围；(2)记的两个不同的极值点分别为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：(1).由函数(为常数)有两个不同的极值点.即方程有两个不相等的正实根.∴，∴.(2)由(1)知，，，∴，所以恒成立.令，.∵，递增，∴，.20.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，点M在线段A1B1上．（1）若A1M=3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．算出向量、的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）利用垂直向量数量积为零的方程，建立方程组解出=（1，1，）是平面ABC1的一个法向量，设A1M=x，则=（x﹣4，4﹣x，2），结合题意可得与所成角为60°或120°，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程解出x的值，即可得到点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【解答】解：（1）分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则C（0，0，0），A（4，0，0），A1（4，0，2），B1（0，4，2）∵A1M=3MB1，∴M（1，3，2），可得=（﹣4，0，﹣2），=（﹣3，3，2），∴cos＜，＞===所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）由（1）得B（0，4，0），B1（0，4，2）∴=（﹣4，4，0），=（﹣4，0，2）设=（a，b，c）是平面ABC1的一个法向量，可得，取a=1，得b=1，c=∴=（1，1，），而直线AM与平面ABC1所成角为30°，可得与所成角为60°或120°∴|cos＜、＞|=，设点M的横坐标为x，则=（x﹣4，4﹣x，2）即===解之得x=2或6，由于M在A1B1上可得x＜6，故x=2即点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【点评】本题建立空间坐标系，求异面直线所成角和直线与平面所成角．着重考查了空间向量的夹角公式、平面法向量的求法和利用空间坐标系研究空间角等知识点，属于中档题．21.(12分)如图所示,已知圆O1与圆O2外切,它们的半径分别为3、1,圆C与圆O1、圆O2外切.

(1)建立适当的坐标系,求圆C的圆心的轨迹方程;(2)在(1)的坐标系中,若圆C的半