浙江省诸暨市2022-2023学年高三年级上册1月期末数学试题

诸暨市2022-2023学年第一学期期末考试试题

局二数学

注意：

1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知复数z满足z(l+i)=3—i,则z-5=()

A.-3B.0C.4D.5

2.已知集合。,集合A。。，且gA={l,4},则。=()

A.{1}B.{2}C.{±2}D.{1,±2}

3.边长为2的正△ABC中，G为重心，P为线段8c上一动点，则AG-AP=()

A.1B.2C.(BG-BA).(BA-BP)D.|(AB+AC)-AP

4.2022年，考古学家对某一古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年

代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的57.4%.若碳14的初始量为匕衰减率为p(0<p<l),经

过尤年后，残留量为y满足函数为丁=左(1-°尸，已知碳14的半衰期为5730,则可估计该建筑大约是那一年

建成.(参考数据1g0.574a—0.241,1g2a0.301)()

A.公元前1217年B.公元前1423年C.公元前2562年D.公元前2913年

22

5.已知双曲线C:?-4=1,月,8分别为左、右焦点，尸为曲线C上的动点，若/公尸耳的平分线与x

轴交于点M(l,0),贝力。。|为()

A.A/19B.A/31C.4A/2D.6

都有了(X)>；，则当。取到最大值时，/(X)的

6.已知函数/(%)=sin,(。〉0)对任意xe

7.已知a=sin0.1,6=lnl.l,c=-1.005,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.ob>aD.c>a>b

8.数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的的六位数，A表示事件“1和2相邻”，2表示事件“偶数不相

邻”，C表示事件“任何连续两个位置奇偶都不相同”，D表示事件“奇数按从小到大的顺序排列”.则（）

A.事件A与事件8相互独立B.事件A与事件C相互独立

C.事件A与事件。相互独立D.事件B与事件C相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.“直线/:y=Ax+b和圆O:x2+y2=2有公共点”的一个充分不必要要条件是（）

A.b=1B.k=lC.b2-k2<1D.b2-2k2<2

10.已知函数/（x）=（l+x）"+（l+x）",其中x的系数为8,则/的系数可能为（）

A.12B.16C.24D.28

11.已知抛物线C：/=4x的焦点为人尸是抛物线C的准线与x轴的交点，A,8是抛物线C上两个不同的

动点，（）

A.若直线AB过点F,则面积最小值为4B.若直线4B过点F,则PA-PBN0

C.若直线A8过点P,贝U|AF|+|8E|<2|PE|D.若直线AB过点P,贝U|A用+|3F|>2|PF|

12.定义域为R的函数/（X）的导数为r（x）,若/⑴=1,且o<ra）</（%）,则（）

d

a-niHb/⑵<2c-吗,小卡

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设｛4｝是首项为1的数列，且4a.=2",则劭）=.

,（八兀、V2cosa+1e.

14.已知。£0,一,tana--产-----，贝!Jsine=__________.

I2）V3-V2sincif

15.如图正四棱台ABC。-上下底面分别是边长为4,6的正方形，若[A4j£[G,36],则该棱

台外接球表面积的取值范围是.

16.已知函数/（X）=-...,若Xi./eR,实数m满足/—mt则实数m的取值范围是

X+1

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题10分）已知S”为数列｛%｝的前〃项的和，且q=l,a“+i=6二+£.

（I）求数列｛S,J的通项公式；

（H）若％=（-1）&,求数列也｝的前2n项和Tln.

18.（本题12分）记锐角ZkABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,AA3C外接圆的半径为R,已知

acosB—〃cosA=R.

TT

（I）若3=2,求A的值；

4

R-C

（II）求——的取值范围.

b

19.（本题12分）如图，四棱锥尸—ABCD中，底面ABC。为平行四边形，//_1_面42cAB±PC,

BC=AP=®AB=2.

（I）求点A到平面P8C的距离；

（II）求二面角C—P£>—A的正弦值.

20.（本题12分）某课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取了高年级的100名学生

某次考试的成绩（满分100分），若按单科85分以上（含85分），则该课成绩为优秀，根据调查成绩得出下面

的2x2列联表（单位：人）.

数学成绩优秀数学成绩不优秀

物理成绩优秀1614

物理成绩不优秀2050

（I）根据调查所得数据，该课题组至少有多大把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？

（II）①随机从这100名学生中抽取1名学生，在已知该学生“数学成绩优秀”的情况下，求该学生物理成绩

不优秀的概率，

②随机从这100名学生中抽取2名学生，记2人中数学成绩优秀的人数为X,物理成绩优秀的人数为y,设

X=x-y,求X=1的概率.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.050.0100.001

k3.8416.63510.828

21.(本题12分)在平面直角坐标系九Oy中，已知点A(-2,0),8(2,0),直线PA与直线PB的斜率之积为-L

4

记动点P的轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程；

(111)若直线/：丁=米+m与曲线。交于加,双两点,直线胚4,凡2与〉轴分别交于E,尸两点，若£0=30户，

求证：直线/过定点.

22.(本题12分)已知函数/(x)=ate3-lnx,a>0.

2

(I)若a=l,记/(x)的最小值为机，求证：m>—+In2.

(II)方程=有两个不同的实根石,々，且玉+々=2,求证：X]%<22。

2023年1月浙江诸暨市数学试卷解析

选择题部分(共60分)

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.解析：因为|z|=H=芈=6，则zN=|z『=5,故选D.

1+zJ2

2.解析：因为3。+1=4=>〃2=1,不满足，则/=4=>〃=±2=>3〃+1=7,-5,满足，故选C

33

3.解析：投影可知AG-AP=|AG|X」AG|=」AG|2

22

4.解析：因为57.4%=(1-p)*,50%=(1—p)573。nx土4588，则

57301g0.50.301

4588—2022=2566,故选C.

5.解析：光学性质为切线’方程为？-亳=1,又因为过“(1,0),则$lnxo=4ny：=15,

则|。尸|=61,故选B.

卜…（c3兀、兀713兀g71々、13兀口兀,5兀

8J33832836

4447i，兀、

:.G）<—,当。二一时对称中心满足一x+—=E,左EZ,所以一个对称中心为一,0,故选C.

333312）

xx

7.解析：由泰勒定理可知：ci—sin0.1=%-----1-----1-=0.1+鳖+^2221+

3!5!6120

xxX0001

Z7=lnl.l=ln(l+0.1)=%-—+--——+=0.1—0.005+2竺乙＜0.1

2343

1八八＜犬九八八:1八八八八＜八八＜

c—co.i—1.005—1+।xH।-----।1-----F—1.005—1+0.11+0.005H--0--.0--0--1-1--0--.-0--0--0--1F0?-1.005

2!3!624

八10.0010.0001Q口也7

=0.1H---------1-----------1-?■显然c＞a＞b,故选D.

624

253233

8解析：p⑷AA1午4A=16年)=7A丁41

io

4

＜=J_=1PO).以(£一+614)+或以以否」7

…华2=P(A)P(。)，P(AC)=G2看一,C；2/方=言一P(A)P(C),故选C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.解析：由“直线/:y=Ax+b和圆O:d+y2=2有公共点”可得圆心到直线得距离

d=^—<42^b2<2k2+2,所以当6=1时显然成立，A正确;

VF+1

当/—左24I时也可得/4242+2,c正确；

故选AC.

10.解析：x的系数为8,则。+〃=8,

则卡的系数为第+C；=1(a2-a+Zj2-Zj)=1(iz+Z?)(«+Z7-l)-aZ7=28-aZ?

仍可能为7,12,15,16,则28—H?可取12,16,

故选AB.

11.解析：若直线A8过点R设45：%=町+1,带入抛物线方程，有y2=4my+4,

设人（%，%），3（%2，%），则有％+%=4加,％%=-4,5△皿=|必_%|之4,A正确；

2

PA-PB=%々+%+x2+1+X%=4+m—4>0，B正确；

若直线AB过点尸，设=—1,代入抛物线方程，有y2=4my—4,

设A（%,%）,3（%2,%），则有%+%=4加,%%=4,

2

贝!J|AF\+\BF|=x；+l+x2+\=m^yx+）+2=4ni+2>2|PF\，故选ABD.

12.解析：设g（x）=〃?，则g'（x）=［）（x）：/（r）］<0,所以g（x）=j”在R上是单调递减函数，于

exe*e

是：｛&〉&=，，于是/（▲［〉、〉工,所以A正确；

!ee［22

"2）<'（）=—，于是/（2）<e,所以B错误；

eee

乂』〉人」，于是所以C正确；

ee4一

由于而/（2）<e,D无法判断,不一定正确.

故答案为：AC.

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.解析："'"14+2=2—=2,得吐=2,又01a2=2,得%=2,所以％0=氏"=32,答案为：32.

aa

nn+l2"an

ellsinaJ2cosi+l八”〜口.（兀、J2cL/八兀）

14.解析：tani=---=—7=——7=-----,化间得sm。——=——>0,又0,一，

COS6ZV3-v2sin6ZV672\2）

所以a—乌是第一象限角，得cos（。—二］=也，

66）2

..._.叫兀Le百V21_痴+后族且4V6+V2

qxsincc=sina—H———x1x-=------------,答案为：.

6)6\222244

15.解析：由题意四棱台的上下底面外接圆半径分别为20,30,高为/2=J|AA|「_2w[l,5]；设四棱台

的外接球半径为R,则日土JR2_18『+(2扬2=R』2代—18=1,Me[0,9]

所以，4炉6[72,153],所以棱台外接球表面积Se[72兀,153兀].

故答案为：[72兀,153兀].

4x—a16.

16.解析：设/=4x—a,则y=/(x)=^—=---------5~-(re7?).

x+1t+2。/+。+16

当，=0时，y=0；

J

当.WO时，y=2]A，/(%)max=/?>°，/(%)min=/2

(_1_。+16+2aa+，a+16a-，Q+16

t

QQ

所以一<f(x)<一，

〃一，/+16〃+，/+16

由/(七)"(々)=—加n—42/OOmax./OOmin=-4,即疗<4n—2WmW2.

故答案为：[—2,2].

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解析：(1)因为a“M=S〃M—S“，所以S.M—S〃=£二+四，解得£二一四=1，所以｛点｝是

公差为1的等差数列，则疯=廓+九一1=〃，所以S,=〃2.

2

(2)由(1)可得：Sn=n,所以4=底+何:=〃+〃—1=2〃一1,

所以a=(-1)"(2H-1),所以b2n_l+b2n=2,

则12“=3+&)+(4+%)++(&,1+&“)=27?.

dbC

18.解析：(1)根据正弦定理---=-----=-----=2R,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,因为

sinAsinBsinC

acosB—bcosA=R,所以2RsinAcosB—2HsinjBcosA=H,所以sin(A—5)=g,因为ABe[。,]),

7T7TSjT

所以A—B=—,B=—,解得4=一

6412

7T5TE

(2)因为A=—+B,所以。=兀一(A+B)=——2B,

66

0C<A4<—兀

2

因为＜。＜5苦所以Be则

o<V

l-2sin——IB厂

R—c_R—2RsinC_l—2sinC_(6J_1-cos23-sin23

b2RsinB2sinB2sin52sinB

2

2sinB-2^sinBcosB=sinB_^cosB=2s.nr

2sinBI3)

19.解析：(1)连接AC,上4_1面48。；.24_1AB,PAJ_AC

AB±PA,AB±PC,QAu面B4C,尸Cu面B4C,PAPC=Pr.AB，面用C..AB，AC,以A

为原点，AB为x轴，AC为y轴，A尸为z轴建立坐标系

A(0,0,0),尸(0,0,2),B(a,0,0),C(0,A/2,0),。(—&,a,0)

设面PBC的法向量为〃=（1,及）,z0）

n-BC^OA/2X0+A/2°,令4=],则/%=0,九=(夜，&J)

即<

n-BP-0—A/2XQ+2Z0—0

me口us,\AP-n\22石

4到面PBC距禺d=J---------=-=------

\n\后5

(2)设面尸CD的法向量为々=(%,%*1)

Y\-CP=0即-yflyx+2^=0

二.玉=0,令Z]=l,则％=0,:,Y\=(0,A/2,1)

々,CD=0—A/2XJ=0

设面PAD的法向量为%=(x2,y2,z2)

n-AD=0—V2X+V2y=0八八,(—

<2即199Z2=0令％2=1，则%=8，「•%=(11，°)

n2-AP=0[2Z2=Q

ri-%y/26

12匐闻533

^6

二面角C—?D—A的正弦值为一

3

_______100(16-50-14-20)2

20.解析：(1)K?=亡5.59

(16+14)-(20+50)-(16+50)-(14+20)

3.841<K?<6.635至少有95%把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系

(2)X=1有2种情况:

1、取出1个数学优秀物理不优秀的学生，1个数学物理都不优秀的学生

2、取出1个数学物理都优秀的学生，1个数学优秀物理不优秀的学生

…，、C^-C'C'-C*2032132

P(X=1)=2050+-20=—+——=—.

喘。金。99495495

21.解析：(1)设P点坐标为(x,y),则!——=—+/=l(x^+2).

x+2x244

(2)解析1：

y=kx+m

设%),?/(乙,%)，由<22(左之22

x=>4+1)X+8^7nx+4m_4=0,

彳+y=1

8km4加之—4

n2+M-------——=——5----.

124^2+11241+1

(2、(-2\

MA:y=qMx+2)=>E0,^-,MB:y=3^(x-2)=>/0,二^

%+2I玉+2J%2一2<x2_2J

:.(g+m)(x2—2)=3(也+m)(毛+2)

/.2kXyX2+(2k+3m)+%2)+4(^—m)x2+8m=0

（左一加）14如〃一2+（4左2+1

=0,对任意x2都成立,

k=m＞故直线/过定点（—1,0）.

解析2：EO=3OF=>yE=-3yF=>=3kBN

设M4:x=)_2,NB:x=3)+2,A/(石,％),N(为2,%)，

x=ty-2

/\4/，2/_84f、

二“2+4),2_的=0=%=涔7=刊

由＜X221

—+V=1、产+47+4,

14,

x=3ty+2

'-18/+8-12P

2-12t

由Vx+2_]封9/+4)/+12。=0=%=0N

9/+4、t2+47+4,

%=黑=占''班方程为：y-4?4t(2产-8)

产+43/一4I/+4J

由（2产8）

Hn4?4t4t

即y=—弓—x-+/+4'J-3?-4(x+1)

-3/一4（3/一4）（产+4）

:.k=m,直线/恒过定点（一L。）.

22.解析：(1)f(%)=xex—Inx,(x>0),r(x)=(x+l)e'—>/"(九)=(x+2)e*H—y>0,

XX

.•./'(X)在(0,+8)上单调