第11讲 三角形的中线角平分线高线探究拓展-2022-2023学年高一数学大单元整合练习（苏教版2019必修第二册）解析版

第11课三角形的探究拓展

一、核心体系

中线

角平分线

三角物

高线

其他线

二、必备知识

1、中线：在ΔΛ3C中，设。是Be的中点角A,B,C所对的边分别为“，b,C

1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）

核心技巧：2AO=A8+AC

2ICC

结论：AD=—(Zr+/+2bccosA)

4

1.2角形式：

核心技巧：ZADB-^ZADC=π^>cosZADB+cosZADC=0

（在AAOB中有：cosNADB="一型）

2DA×DB

DA2+DC2-AC2

（在ΔAOC中有:cosZADC=

2DA×DC

2、角平分线：如图，在ΔABC中，AD平分N84C,角A,B,C所对的边分别为“，b,

2.1内角平分线定理:

ABAC-ABBD

核心技巧:---或----=----

BDDCACDC

2.2等面积法

核心技巧

SMBC=SiSABD+SiADC=—ABXAC×sinA=—ABXAD×sin——F—ACXADXsin—

2.3角形式：

核心技巧：NΛZ>B+ZADC="ncosNADS+cosNADC=O

”,"co七"CCDA2+DB2-AB2

在AAOB中有：cosZADB-------------------------;

2DA×DB

⅛ΛΛ∩^⅛⅛∙/4“DA2+DC2-AC2

在ΔADC中t有：cosZADC=------------------------;

2DA×DC

二、高频考点+重点题型

考点一、中线

π

例1-1.ABC中，已知J§8SB)+cos(己+8)=0,4=6,5ABC=15』.

⑴求/3；

(2)记AC边上的中线为80.求AC和8。的长度.

9yr

【答案】(l)g

(2)ΛC=14,BD=M

+COS招+8

【分析】(1)利用二角恒等变换化简Jlcos=0,从而求得Zr

(2)利用三角形的面积公式求得C,利用余弦定理求得匕也即求得AC,利用向量运算求得

BD.

【详解】⑴依题意6cos[T+cosC+q=0,

ʌ/ɜeos]一偿+3)+cos(.+3)=0,

GSinl+3)+COS(^■+“=2sin(3+；]=0,

.-.πn兀4π.π„2π

由于r；＜8+；＜丁，所c以rBri+∙=7Γ,B=T.

3333τ3

(2)由三角形的面积公式得LacSinB=-^×6×c×-=15^,c=10,

222

由余弦定理得AC=h=j36+100-2x6xl0χ(-g)=14.

由BO=g(84+BC)两边平方并化简得：

IB£)(=；36+100+2x6xl0x(-g)]=19,

所以BO=M.

例1-2.在..ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,h,J已知c=2b8sB,C=y.

⑴求B;

(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使,ASC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的

长度.

①c=J%;②ABC的周长为4+26；③面积为S&sc=述.

【答案】(I)B=I

6

(2)选①，无解；选②，AD=√7：选③，AD=-

2

【分析】(1)利用正弦定理将条件中的边转化成角，将C=半代入，即可求出sin2B,进

而求出角8；

(2)若选①，可得c=2bcos^=6b,不满足题意，故不存在满足条件的三角形；

若选②，首先根据ΛBC的周长求出三角形三边长度，然后在AABO中使用余弦定理即可

求出中线AO的长度；

若选③，首先根据AABC的面积求出AC与BC的长度，进而得到CD的长度，然后在-ACD

中使用余弦定理即可求出中线AD的长度；

【详解】⑴依题意c=2bcosB,C=M，由正弦定理得SinC=2sinBcosB，sin2/?=—,

32

由于0<B<二,0<2B<a,所以2B=Z,B=e.

3336

(2)由(1)知，c=2bcos^=yfib,故不能选①.

6

如图所示，设。为BC的中点，则A。为BC边卜•的中线.

若选②，由(ɪ)知∣A=B,

6

设BC=AC=2x,由C=至，得CoSL="+4∙r--AB-,则43=2√L;，

33I-Ix-Ix

故周长为(4+2√5)x=4+26，解得X=L

从而8C=AC=2,AB=2y∣3.

则在aABO中，

L人力士E汨CAB2+BD2-AD2∖2+l-AD2√3阳

由余弦定理得COSB=-----------------------=---------J==—，A解zJ得AD=&r.

jIAB-BD4垂12

若选③，已知SAABC=亭，

得s='必SinC=2层=更，即b=g,WJCD=-,

2442

在八ACD中，由余弦定理得AO2=4C2+CO2-24C.C£>.cosC=3+；-2x6x^x[-£|=j

MD=应.因此BC边上的中线长为生.

22

例1-3.已知在ABC中，c=2bcosB,cosC=--.

2

⑴求A和8的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为己知，,使ABC存在且唯一确定，并求:

①AB的长；

②BC边上的中线AE的长度；

(i)α=2⅛;(ii)周长为8+4百；(iii)面积为SziABC=苧.

π

【答案】(1)4=B=

6

(2)答案见解析.

【分析】(1)先由特殊角的三角函数值得到C吟，再由正弦定理的边角变换求得日,

TT

由此得到A=£：

6

(2)先由(1)得到α=6,排除(i)的选择，再由正弦定理得到c=64,由此可求得。,仇。

的值，从而得到AB,再利用余弦定理即可求得AE.

12τt

【详解】(1)因为COSC=0<C<π,所以C=?,

因为c=2∕?CoS从所以由正弦定理得SinC=2sinBcos3,则sin28=走，

2

由于0<3<W,0V25<=,所以23=；,则B=J,

3336

Tr

t^A=π-β-C=-.

6

(2)由(1)知A=B=则〃=/?,故不能选⑴；

6

若选(ii),由(1)知C=§,A=B=f则α=b,

又由正弦定理三=一一得C=竺必=T-=G",

SinAsineSlnAɪ

2

所以周长为。+/?+<?=2。+6。=8+46，解得。=4,贝!∣∕?=4,c=4百,

即BC=AC=4,ΛB=4√3,故CE=3BC=2,

所以在中，由余弦定理得

AACEAE?=AC∙2+CE2_2ACCECOSC

=16+4-2x4x2x(-；)=28,故4E=2√7,

所以AB=4√5,ΛE=2√7；

若选(iii),由(1)知C=M，A=B=⅞,则a=6,

36

故SAZJe=L"bsinC=3•/=3巨，解得α=∙7J,则6=6，

abc244

由(ii)知，c=®,则c=3,从而8C=AC=6,AB=3,故CE=LBC=好,

22

所以在44CE中，由余弦定理得AE?=ACc+CE2-2AC∙CEcosC

=3+--2×λ^×^×f-1=—,故AE=叵，

42{2J42

所以AB=3,AE=-.

2

例1-4.已知ΛBC的内角A、B,C所对的边分别为“，。，C,若α=4,且4cosB=c-"

(1)求A;(2)若AD是8C边上的中线，求4。长度的最大值

【答案】(1)；(2)2√3

注:中线最值

解析：(1)因为。=4,且4cos3=c-!〃，故QCOSB=C-

22

所以SinAcosB=sinC——sinB,HPsinAcosB=Sin(A+B)——sinB.

所以CoSAsinB=—sinB,而B∈(O,π),.,.sinB≠0,

2

故COSA=L,因为A∈(0,兀),.二A=四；

23

/.2+r2

(2)由题意。=4可得〃2=b2+c2—2/?CCoSASP16=h2÷c2—he,:,b2+c2-16=⅛c≤--------,

2

即^+∕≤32,当且仅当b=c=4时取等号：

又AZ)是BC边上的中线，故Ao=L(AB+AC).

2

2133

所以Azr=-(c2+⅛2+⅛c)≤∣(c2+⅛2)≤j×32=12,B∣J∣ΛD∣≤2√3,

所以AO长度的最大值为2力.

训练题组

1.在，ABC中，角A,8,C的对边分别为a,。,c,且满足bsin5+csinC=asinA+GbSinC.

(1)求角A的值；(2)若B=J,且.ΛBC的面积为2√L求BC边上的中线AM的长.

O

【答案】(l)A=g(2)ΛM=√14

O

解析：(1)因为Z?SinB+csinC=asinA+∖Λ⅛sinC,

由正弦定理可得b2+c2=a2+43bc,所以COSA="F'T=√I

2bc2

因为A∈(0,%),所以A=J.

6

TTTT2乃

(2)法一：因为A=J,8=9,所以。=4C=q,

663

1日

又S=-QbsinC=—Ol=2近,所以a=〃=2&，

24

又因为M为BC的中点，所以CM=0，

在Z∖ACΛ∕中，由余弦定理可得AM2=C42+C02_2C4∙CM∙cosC=14,

所以AM=JiZ∙

法二：因为A=m,B=J,所以a=AC=M,

663

义S=LabSmC=^~a?=26,所以a=b=2五,c=2遥,

24

因为AAl为中线，所以AM=；(AC+A3),

所以A/=^AC2+2AB-AC+AB2^=^(b2+2bccosA+c2)=↑4,

所以AM=E.

2.在ABC中，内角A,B>C所对边的长分别为α",c,且A=3-,α=√iξ,BA-AC=?,,

是A8C的中线，求AD的长.

【答案】互

2

注:中线

解析：BA-AC=3,.∙.⅛ccos(π-A)=3,得t>c=6,

由余弦定理得：b2+c2^a2+2bccosA=l3,AD=^(AB+AC),

I∣2ɪɔlɔɔ7

.■AAD]-(AB+AQ2=-(c2+b2+2bccosA)=：-,

11444

所以即AD的长为日.

4八/°也rc冗CAsinA/T-sinB+sinCa

3.在①(/+L-∕2)sin8=——Qc且8>:；---------=√3α;(z§x)——~^=~

\77241-cosBSinA-SinCb-c

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

问题：在.ABC中，角A,5,C的对边分别为α,b,c,且__________.

(1)求8；(2)若。为边AC的中点，且α=3,c=4,求中线8。长.

【答案】(I)B=J(2)叵

32

注:中线

(1)若选①：(/+c2-⅛2)sinB=ɪac,且/÷c2-⅛2=2accosB，

所以2。CCoSBSin8=,所以sin2B=∙^^∙

22

又(<8<万，所以]<28<2z,所以2B=g,所以B=g.

若选②：由正弦定理得出幽”=八i∏A,因为SinAHO.

l-cosβ

所以SinB=百-TJcosB，即sin(8+?)=手.

由0<B<肛g<8+g<等，所以8+g=寻，所以8=g.

333333

若选③：由正弦定理得"=二，^a2+c2-b2=ac,

a-cb-c

由余弦定理得8SB=片/ac1

2ac~2

JT

又OVBVTT,所以3=

(2)在a4BC中，由余弦定理得从=α2+c2-2accosB=9+16-12=13,所以分=而，

-2

^BABC=(BD+DA^(BD+DC)=BD2

所以3∙4∙cos至=8Z)2-U,所以中线BD氏为也.

342

4.记.ΛBC的内角4,B,C的对边分别为小b,c,已知C=60。.

⑴若COS(A-B)=g,求tanAtanB；(2)若c=2,求AB边中线CE)的最大值.

【答案】(1)-5(2)√3

(1)解：因为C=60。，所以CoS(A+B)=-cosC=,即CoSACOSB-SinASin8=-g,

乂CoS(A-B)=cosAcosB+sinAsin3=g,所以cosAcosB=-ɪ,sinAsinβ=ɪ,

5

LL…CSinAsinB17L

所以tanA4tanB=-------------=-ʒ-=-5.

CoSACoSJB_J_

^12

(2)解：在ABC中由余弦定理c∙2=∕+b2-2"CoSC,BPa2+b2=ab+4,

又f+b!≥2ab,所以αA≤4,当且仅当α=b=2时等号成立，XCD=∣(CA+CZ?),

〜，21/\21/2-2\

所以Co=-(CA+CB)=-[CA+2CA∙CB+CB)

=^∣C4∣2÷2CA∙CB+∣CB∣2)

1/2/小2ab+4

=-^a~+ab+b~J=—--≤3,

所以∣8∣≤J5,当且仅当α=8=2时等号成立，

所以AB边的中线CD的最大值为√3;

5.在.4BC中，角A,B,C的对边分别为mb,c.己知24cosA+AcosC+ccosb=0.

⑴求角A的大小；(2)若。=2百，求BC边上中线AO长的最小值.

【答案】(I)A=与(2)1

(1)因为2。CoSA+bcosC+CCOSB=O,所以2sinAcosA+sinBcosC+sinCcosB=O,

所以2sinAcosA+sin(3+C)=2sinAcosA+sinA=O.

因为SinA>0,所以COSA=-].

2力"

因为0<A<乃，所以A=—.

3

2O

(2)在ABC中，由余弦定理得/=从+C-2⅛CCOS120.

所以12=〃+c2+bc,①

因为AZ)为BC边上的中线，所以A。=g(AB+AC),

所以卜。(=AD2=^(AB+AC)2=∣(C2+h2-hc),②

由①得名+V=12-be,③

代人②得IAd=3-/，④

由③得12—bc=6+∕≥2⅛c,所以历≤4,

22

fA+r+/,r=1ɔ

当且仅当,'即6=c=2时取等号，

[b=c,

代入④得卜。f=3-g6c≥l,所以">21,A£>长的最小值为I.

考点二、已知中线长，求其它元素

例2-1.锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,ABC的面积S=回包包

4sinA

⑴求C；(2)若c=2,边A8的中线Cf>=√5,求"，b.

Tr

【答案】(I)C=I(2)a=b=2

解析：(1)ABC的面积S=gbcsinA,

由题意口匕CSinA=由4_sinB,2⅛csin2A=∖∣3a2sinB，

24sinΛ

由正弦定理得2sin6sinCsi∏2A=Gsin?AsinB，

A,B,C为三角形内角，.∙.sinA>O,sinβ>O,sinC>O,,,.sinC=-»

2

又因为C为锐角，∙∙.c=]∙

(2)由题意知AD=皮>=1,CD=√3,

在/XACD中AC?=A》+CD2-2ADCDcosZADC即"=4一2行cosZADC,

在ZXBCD中，BC?=BD?+CD?—2BD∙CD∙ss/BDC,BPα2=4-2>ΛcosZBDC.

NAZ)C+/8Z)C=TC.∙.8sNADC=—CoSN%>C,.∙.+Z?2=8.

+〃一°21

由(1)矢口COSC=-------------=—，/.a2+b2=c2+ab=4+ab.∙.ab=4.

Iab2

由二+：8，解得〃=h=2.

csc+csλ

例2-2.在三角形ABC中，内角A8,C所对的边分别为d,c,^°θ°=2⅛

sinB

⑴求8；(2)若B为锐角，A=f,BC边上的中线长4。=夕，求三角形A8C的面积.

6

【答案】(I)B=J或管；(2)6

60

(1)在△4?C中，因为，竺°sC+PPS4=2b由正弦定理得

sinB

sinΛ∞sC+sinC∞sA-2sinBSinB=O,

所以Sin(A+C)-2sinBsin8=0,g∣JsinB(l-2sinB)=(),又因为SinBH0,所以SinB='，

2

因为B是三角形的内角，所以B=E或学.

66

(2)因为B为锐角，所以8=f,AABC为等腰三角形，C=”,在448C中，设4C=8C

63

=Zr,

在"DC中，由余弦定理得AD-=AC2+DC2-2ACDCcosy=7x2=7,

解得X=1,所以AC=BC=2,所以SABC=∙∣AC∙8C∙sinC=G,

所以三角形的面积为

例2-3.在ABC中，角A,B,。所对的边分别为“，b,C,其外接圆的半径为百，且

满足4∖∣3sinBcosC=2a-c.

(1)求角B.(2)若AC边上的中线长为求AfiC的面积和周长.

【答案】(I)B=T(2)S"=2√L周长为3+屈.

(1)由外接圆半径为G得b=2GsinB,

由4月SinBcosC=2a-c>得2hcosC=2a-c,

利用正弦定理得：2sinBcosC=2sinΛ-sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC,

化简得sinC=2sinCcosB,

由C为CABC的内角，得SinCW0,可得CoSB=；,

乂8为°ABC的内角，所以B=g.

(2)由正弦定理得：3=26n6=3,

sinB

35

设。为AC边上的中点，则AO=不80=7,

22

259259

------1-------Cl2------1-------C2

4iABCDψ,COSZBDC=4^,在∆ABD中，CoSNADB="；

2×-×-2×-×-

2222

因为乙MW+ZBDC=兀，所以8SNAZ>5+COSN5DC=0,可得/+，=。，

由余弦定理)2=/+々2-2α0cos8,即9=c2+/一四，αc=8,

由三角形面积公式得：SΔABC=^67csinB=2√3,

由乡=。?+/—a。,得(a+C)?-34c=9,得〃+c=^^^,所以周长为3+V^.

例24在①(〃-C)Sin(A+8)=([-b)(sinA+sin8);②2S=6BA∙BC;③

⅛cosC=0一—csinB；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题:

3

在ABC中，角A、B、C的对边分别为αS,c,且______.

⑴求角3的大小；

(2)AC边上的中线BE>=2,求ABC的面积的最大值.

【答案】(I)B=5(2)亭

(1)若选①在AfiC中，因为Sin(A+B)=sin(π-C)=SinC,

故由(α-c)Sin(A+B)=(α-")(sinA+sin3)可得(α—C)SinC=(α-b)(sinA+sinB)

由正弦定理得c(α-c)=(α-A)(q+A),^lc2+a2-b2=ac.

则cosB=-,X0<B<π,故B=g.

23

选②2S=G∙函BC,ocsin5=VJαccos3,/.tanB=ʌ/ɜ»ΛB∈(0,π),.*.β=y-

选③由AcosC=6/--csinB及正弦定理.sinBcosC=sinA--SinCsinB∙

^33

/o

又A=π-(B+C),所以sin8cosC=sin(B+C)--ʒ-sinCsinB.

即sinCcosB-—sinCsin8=0，因为0<C<兀，SinCW0,所以tanB=6.

3

又0<3<7Γ,得8

综上所述：选择①②③，都有6=三.

(2)2BD=BA+BC=4忸=c2+/+2cacosB=>16=c2÷a2+ca≥3ca=>ca≤-

3

又SMBC=2ca≤巫(当且仅当c=α=迪时取等)

δabc433

ABC的面积的最大值为生8

3

训练题组

bc

1.在.45。中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c且满足COSC=-—丁.

fa2a

⑴求角A；⑵若ABC外接圆的半径为6,且BC边上的中线长为近，求

AfiC的

2

面积.

JT

【答案】(1)4=§(2)6

bc

(1)解：由COSC=——,得24cosC=2⅛-c,

a2a

由正弦定理得：2sinAcosC=2sinB-sinC,即2sinAcosC=2sin(A+C)-sinC,

化简得SinC=2sinCcosA,C∈((),I),sinC≠0,.*.cosA=—,

2

又∙.Λe(0,Λ-),∙∙∙^=y∙

(2)解：由正弦定理得，一=2√j=α=3.

SinA

设。为BC边上的中点，则B。=],AD=叵,

22

UllUlUllUUUUl

利用向量加法法则得：2AD=AB+AC^

两边平方得：4AD2-AB2+AC2+2ABAC>BP17=c2+⅛2+⅛c,

由余弦定理/=c。+/一2⅛ccosA,BP9=c2+/?2-he»

两式相减得8=次,即。。=4.

由三角形面积公式得：Sλbc=^bcsinA=>/3.

2.已知锐角oABC的内角4,B,C所对的边分别为c,向量a=(b,sinB),n=(2α,√3),

且mJ/n.

(1)求角A的大小；

(2)若c=2,BC边上的中线A。长为G，求从

【答案】(1)((2)2

(I)W-:因为比=S,sin8),n=(2a,5,且,

所以2〃SinB=Cb,

山正弦定理可得2sinAsinB=QsinB,

由SinB>0,所以SinA=立，又A为锐角，所以A=J.

23

(2)解.：在ABC中，AD=^AB+AC),

21-2-2-

所以AD=-(AB+AC+2ABAC),

4

即3=!(4+从+2份，整理得∕>2+2⅛-8=0,

解得b=T(舍去)或6=2.

TT

此时，C=B,A=-,ABC为等边三角形，符合题意，故6=2.

考点三、已知角平分线问题

例3-1.在ASC中.AB=2,AC=2√7,3C=4,D为AC上一点.

(1)若BO为AC边上的中线，求BD；(2)若Bo为NABC的角平分线，求BD.

【答案】(I)BO=百(2)BD=g

⅛z>+r-,.-⅛∙r-.∣-,AB^+AC^—BC~2币

解析^:(ɪ)λfl--AλBD/C"r中1，CoSA=-----------------------=-------,

IAB-AC7

因为Bz)为4C边上的中线，所以AO=√7,

在ZXABO中，BD2=AB2+AD2-2AB-AD-CosA=4+l-2×2×∕j×^-=3,

7

所以BO=√L

A/+BO?-AC24+16-28ɪ

⑵在.ABCΦ,CoSNZABC-

2AB∙BC2x2x42

由于0<∕A3C<兀，所以NABC=彳.

7Γ

因为Bz）为NABC的角平分线，所以ZABD=NCBD=§.

由SMC=SABO+SCBD,得；AB∙BCsinNABC=^AB-BD-sinZABD+ɪBC∙BD∙sinZCBD，

即J_X2X4X@='X(2+4)X且BE),解得BZ)=2

22223

例3-2.在条件①CoSASin2=-3SirLASin8+sinC;②百"cosC=6SinA；③

32

SinZB=SinZAfsinP-SinAsinC中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC

中，角481的对边分别为4也。,。=4,。=3

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

⑴求角8.⑵若BE为ZABC的角平分线，求BE的长.

【答案】(I)B=W(2)吆叵

37

(DW：由题意得:

选择条件①：在ABC中，A+B+C=π

故CosAsinB=一一SinAsinB+sinC=--ʒ-SinAsinB+sin∣>r-(A+B)]

6

=------SinAsinB÷SinAcosB÷cosAsinB

3

因为SinAWO,故SinACoSJB=^ɪsinASinB,解得：tanB=∖∣3(B∈(O,τr)),故B=；

33

选择条件②：在，A5C中，A+8+C=万,角4民。的对边分别为α,6cα=4,c=3

故∖βacos"C=GQCoS(M--)=y∕iasin-=hsinA

2222

乂根据IF弦定理—^―=—^―可知6sinASing=sinBSinA

sinAsinB2

因为SinAWO,故6sin∕=2sin与COS与(CoS与≠0,5∈(0,万)),所以CoSo=立

222222

故

选择条件③：在4ABC中，A+B+C=%,角A,8,C的对边分别为α,b,CM=4,c=3

222

乂由止弦定理,∙=b=C,以及sinB=sinA+sinC-sinΛsinC

smAsɪnBSinC

可知〃=6?+/—QC

根据余弦定理可得SSB=片三《解得

(2)在ABC中，若无为NABC的角平分线，如图所示

SABC=Sabe÷Sbce

Sabc=^acsinB,Sabe=^∖BE∖csin^Sbce=^∖BE∖asin

LaCSinB=ɪ∣BE∣csin-÷^∣BELsin-

22l122l12

,α=4,c=3,B=三

3

X12X='X7XIBE∣×—

222112

解得：忸同=竽

例3-3.在ABC中，a,b,C分别是角A,B,C的对边，⅛=2√3,

sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B.

(1)求角8的大小及ABC外接圆的半径R的值；

(2)若AO是NfiAC、的内角平分线，当AfiC面积最大时，求AO的长.

【答案】(1)?，2(2)√6

(1)解：因为sin?A+sin?C+sinAsinC=sin'3,

由正弦定理可得/+/一。2=F°,

由余弦定理得cos3=勺匚^=-L,又Be(O,乃)，所以B=?,

2ac23

2R-b26

由正弦定理得而后-Fr-4,所以R=2.

sin——

3

(2)解：在,AHC中，由余弦定理得人？=/+(?-2αccosB,

2

则12=/+。2-2accos-π,B∣Ja2+c2+ac=∖2.

3

〃>0,c>0,,∖a2+c2+ac=∖2≥3ac=>ac≤4

当且仅当α=c=2时，（0c）max=4,

所以(SW)皿=BaCSinB=KSin等√3.

此时，ΛBAC=ZC=-(π--π]=y.

在AABO中，ZADB=-+-=-

6124

9√3

2X------

由正弦定理得T-=，一=AO=T-=".

.2兀.兀√9

sin——sin—2L∑.

342

例3・4.记ASC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且〃CoSC+C8s3=勿CoSA.

⑵若BC边上的高为日'且A的角平分线交8C于点求AO的最

（1）求A的大小;

小值.

【答案W喈

解析：(1)由正弦定理得sin3cosC+sinCcos8=2sinAcosA,得sin(8+C)=sinA=2sinAcosA,

因为4e（0,π）,所以coSA=；,即A=*

（2）因为SziA8c=JbcsinA=；X曰4,所以历=4.

由余弦定理得/=及+S-be，W⅛2c2=b2+c2-bc^bc（当且仅当力=C=I时,等号成立）,

即上≥L

因为SzkAsc=LbCSinA='/?A£）,sin巴+'c∙AQ∙sin四，所以Ao=I".

22626b+c

-3"_3

因为从62+3A=（。+°）2,所以一∕cλ+3bc∙-13.

be

3

因为函数F在［l,y）上单调递增，所以“X）》/⑴=：，

X

所以A。？》,，即A。》史.故AD的最小值为正.

422

训练题组

内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足Z>cosWC=αsin8.

1.在AABC中,

3

(1)求A的大小；(2)若4=2√LBAAC=-,AO是AABC的角平分线，求AO的长.

【答案】(1)胃；(2)巫.

ɔ5

解析：(D因为bcos∙^~^=。SinB,sinBsiny=sinAsinB,

AAΔ

因为8∈(0,4)，所以sinB>O,所以sin,=2sin»cos,,又A∈(0,乃)，

.A1mAπ2π

•∙COS,所以77=彳，即A=——.

22233

3π3

(2)由3A,AC=5，得CheOS§=2，:∙be=3,又q=2∙χ∕J,

.*.a2=b2+c2-2⅛ccosA=(Z?+c)2-2bc+bc=V2,可得b+c=J12+3=\/\5,

丁

SABC=SABD+SACD9.∙.-⅛csin-=-⅛∙AZ)∙siny+-c∙Ar>∙siny,

OCSin”3-—后

所以A。=------3-=--------%=__.

(⅛+c)sin∣√T5∙^'

2.已知ABC的内角A,8,C的对边分别为°,b,c,且瓜in(?+B)+sine-B)=0.

⑴求ZB的值；

⑵给出以下三个条件：

条件①：a2-b2+c2-3c=0;条件②。=3；条件③S=竽.这三个条件中仅有两个正

确，请选出正确的条件并回答下面的问题：

(i)求SinA的值；(ii)求NABC的角平分线的长.

【答案】(1)§;(2)条件∙2.3正确，⑴也；(ii)⅛.

314o

解析：(1)ʌ/ɜsin(ɪ÷B)+sin(ɪ-B)=O,—cosB+—sinβ+-^-cosβ-ɪsinB=O,

632222

,冗124

SinB+∖∕5cos3=O,2sin(8+-)=0,得B+—=kmZ∈Z,由0v8v),得8=—:

333

(2)若条件①正确，⅛a2-b2+c2-3c=0得/+c?-6=3c,

由余弦定理‘得"SB=%产β[j-l=2s=A

2lac2a

解得α=-3不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确;

I.„15√3

(i)l∣]S=-acsmB,SABC=

ABC4

得孥=RX冬,解得一,

由余弦定理，得从=a2+c2-2accosB=9+25-30×(-ɪ)=49,

因为h>0,所以b=7,山正弦定理,

得修就.，asinB3百

，π即rlsinA=--------=------

b14

b,即SgT二等

(ii)由正弦定理，得

sinBsinC

因为8。平方NA3C,ZABC=y,所以NA3O=NC8。=。

BDAD

在AABO中，由正弦定理，得

sinAsinNABD

在CBz)中，由正弦定理.，wɪ=.ɑɔ,

sinCsɪnZCBD

o；ncAD

乂8=7-肛上述两式相除，得元=不而，

,635..CADsinA35315

解2tjz得nA。=—,所rr以50rX=-------------=—X-=—

8SinZABD878

∕n=(2+Z?,sinC),

3.在aA5C中，内角A,B,C所对的边分别为mb,c9已知α=2,

n=(sinA