（江苏专用）高考数学大一轮复习 第四章 三角函数 第27课 三角函数的图象和性质 文-人教版高三全册数学试题

第27课三角函数的图象和性质(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P37例1改编)函数y=sin的单调增区间为.【答案】(k∈Z)【解析】令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，可得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).2.(必修4P33例4改编)函数y=tan的定义域为.【答案】【解析】因为-2x≠kπ+，则x≠--(k∈Z)，所以定义域为.3.(必修4P32练习6改编)函数y=cos的单调增区间为.【答案】(k∈Z)【解析】令-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z)，得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，故所求单调增区间为(k∈Z).4.(必修4P32习题5改编)函数y=2sinx的值域为.【答案】[1，2]【解析】根据正弦函数的图象可知，当x=时，函数取得最小值1；当x=时，函数取得最大值2.5.(必修4P30例2改编)设M和m分别表示函数y=cosx-1的最大值和最小值，则M+m=.【答案】-2【解析】因为-1≤cosx≤1，所以-≤cosx-1≤-.所以M=-，m=-.所以M+m=-2.正弦、余弦、正切函数的性质解析式y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR值域[-1，1][-1，1]R零点x=kπ，k∈Zx=kπ+，k∈Zx=kπ，k∈Z对称轴x=kπ+，k∈Zx=kπ，k∈Z无周期性T=2πT=2πT=π单调增区间 (k∈Z)[2kπ-π，2kπ](k∈Z)(k∈Z)单调减区间 (k∈Z)[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)无【要点导学】要点导学各个击破三角函数的定义域与值域例1(1)函数y=+lg(2sinx-1)的定义域为.(2)函数y=的值域为.【思维引导】(1)函数有意义的条件是被开方数非负，真数大于0，以及分母非零.(2)本小题是由三角函数构成的一次分式函数，考查三角函数与一次分式函数的性质，可以利用sinx的有界性和一次分式函数y=的有关性质求解.【答案】(1)(k∈Z)(2)【解析】(1)由题意得解得所以即x∈(k∈Z).(2)因为y==1-，所以当sinx=-1时，ymin=1+=，所以值域为.【精要点评】(1)通过列不等式组得到关于x的不等式，即可求出函数的定义域.(2)还可以将sinx表示为y的函数：sinx=(y≠1)，利用sinx的有界性，即可得到-1≤<1，从而求出y的取值范围.变式(1)函数y=lgsinx+的定义域为.(2)函数y=的值域为.【答案】(1)(2)∪[3，+∞)【解析】(1)由2kπ<x≤+2kπ，k∈Z.(2)方法一：易得y==1+.因为-1≤cosx≤1，所以y≤或y≥3，故函数的值域为∪[3，+∞).方法二：由题意得cosx=.因为-1≤cosx≤1，所以-1≤≤1，解得y≤或y≥3，所以函数的值域为∪[3，+∞).例2求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.【思维引导】注意到sinx+cosx与sinxcosx两者之间的关系，可设sinx+cosx=t，则有sinxcosx=，从而得到关于t的二次函数，注意变量t的取值范围.【解答】设sinx+cosx=t，-≤t≤，且sinxcosx=，所以y=+t==，所以当t=-1时，ymin=-1；当t=时，ymax=+.故所求函数的值域为.【精要点评】求三角函数值域的常用方法有：①将函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，然后根据定义域求出值域即可；②采用反函数法，利用sinx和cosx的有界性求值域；③采用换元法，转化为代数函数求解，但应特别注意所换新元的范围.变式函数y=cos2x+2sinx的最大值和最小值分别是.【答案】，1【解析】由题知y=-2+，因为≤x≤，所以≤sinx≤1，所以当sinx=时，ymax=；当sinx=1时，ymin=1.三角函数性质的综合应用例3已知向量a=，b=(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调增区间；(3)求函数f(x)在上的最大值和最小值.【思维引导】先将向量关系转化为三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)，然后再求解.【解答】(1)f(x)=a·b=cosx·sinx-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，则-+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，即-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z.所以f(x)的单调增区间为(k∈Z).(3)当x∈时，2x-，当x=0时，f(x)取得最小值f(0)=-；当x=时，f(x)取得最大值f=1.所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，-.【精要点评】一般地，此类问题需要把较为复杂的三角函数形式转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+C的形式，然后再求周期、最值或单调区间等.其中最小正周期T=，单调区间与相应正弦(或余弦、正切)函数的性质有关，求最值时可借助三角函数的图象.变式已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，且其图象的一条对称轴是直线x=.(1)求φ的值；(2)求函数f(x)的单调增区间.【解答】(1)因为x=是函数图象的一条对称轴，所以sin=±1.所以+φ=kπ+，k∈Z.因为-π<φ<0，所以φ=-.(2)由(1)知φ=-，所以f(x)=sin.令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.1.函数y=|sinx|的单调增区间为.【答案】(k∈Z)【解析】作出y=|sinx|的图象，由图象可知，单调增区间为(k∈Z).2.函数y=2sin2x-3sin2x的最大值是.【答案】+1【解析】y=2×-3sin2x=-cos2x-3sin2x+1=-sin(2x+φ)+1，所以函数的最大值为+1.3.函数f(x)=sin在区间上的最小值是.【答案】-4.(2015·南通二调)若函数f(x)=2sin(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为.【答案】【解析】由题意得·=2，解得ω=.5.(2015·南通期末)已知函数f(x)=sin，若y=f(x-φ)是偶函数，则φ=.【答案】【解析】f(x-φ)=sin=sin.因为y=f(x-φ)是偶函数，所以-2φ=+kπ(k∈Z)，所以φ=--.又因为0<φ<，所以φ=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第53~54页.【检测与评估】第27课三角函数的图象和性质一、填空题1.函数y=的定义域为.2.函数y=tan的定义域为.3.函数y=的值域为.4.若函数f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，则ω=.5.(2014·苏州调研)若函数f(x)=sin(x+θ)的图象关于直线x=对称，则θ=.6.函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期是.7.已知当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=.8.设函数f(x)=sin，给出下列命题：①f(x)的图象关于直线x=对称；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数；④把f(x)的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象.其中正确的命题是.(填序号)二、解答题9.(2014·福建卷)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.(1)若0<α<，且sinα=，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间.10.(2015·北京卷)已知函数f(x)=sinx-2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值.11.已知函数f(x)=a+b.(1)若a=-1，求函数f(x)的单调增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[5，8]，求a，b的值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.若函数y=cos(ω∈N*)的一个对称中心为，则ω的最小值为.13.已知函数y=sin在区间[0，t]上至少取得两次最大值，则正整数t的最小值为.【检测与评估答案】第27课三角函数的图象和性质1.，k∈Z【解析】由cosx-≥0，得cosx≥，所以2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z.2.【解析】因为-x≠kπ+，k∈Z，所以x≠-kπ-，k∈Z，即x≠kπ-，k∈Z.3.【解析】由y=得cosx=，所以≤1，即(y-2)2≤(y-1)2，解得y≥.4.【解析】由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值为，所以2sin=，且0<<，所以=，即ω=.5.【解析】因为f(x)的图象关于直线x=对称，所以sin=±1，而0<θ<，所以θ=.6.π7.-8.③④【解析】对于①，f=sin=sin=，不是最值，所以x=不是函数f(x)的图象的对称轴，故该命题错误；对于②，f=sin=1≠0，所以点不是函数f(x)的图象的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f(x)的最小正周期为T==π，当x∈时，令t=2x+，显然函数y=sint在上为增函数，故函数f(x)在上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f(x)的图象向右平移个单位长度后所对应的函数解析式为g(x)=sin=sin2x，是奇函数，所以该命题正确.故填③④.9.(1)因为0<α<，sinα=，所以cosα=，所以f(α)=×-=.(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin，所以f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，所以f(x)的单调增区间为，k∈Z.10.(1)因为f(x)=sinx+cosx-=2sin-，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤，所以≤x+≤π.当x+=π，即x=时，f(x)取得最小值.所以f(x)在区间上的最小值为f=-.11.f(x)=a(1+cosx+sinx)+b=asin+a+b.(1)当a=-1时，f(x)=-sin+b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z)，得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)，所