第10讲 第五章 一元函数的导数及其应用 章节验收测评卷（综合卷）（解析版）

第10讲第五章一元函数的导数及其应用章节验收测评卷（综合卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023下·新疆和田·高二校考期中）设函数在处存在导数为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，则.故选：C2．（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）若函数的导函数为，则下列4个描述中，其中不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【详解】因为，所以，项正确，D项错误.故选：D3．（2023上·广东湛江·高三校考阶段练习）的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.所以，函数的增区间为和，减区间为，所以，函数的图象为C选项中的图象.故选：C.4．（2023上·江苏镇江·高二校考阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由于，则，得，由于在上为“凸函数”，所以在上恒成立，即在上恒成立，由对勾函数的性质知在上单调递增，于是，故.故选:

C5．（2023上·辽宁抚顺·高三校考开学考试）如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）

A． B． C．D．【答案】D【详解】由题可得函数的单调增区间为，，单调减区间为，所以时，，时，，由，可得或，所以.故选：D.6．（2023·全国·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立．设，则在上恒成立，利用二次函数的图象与性质及数形结合思想，可得或，解得，所以实数a的取值范围为故选：B．7．（2023上·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当函数在点处的切线与平行时，最小.，令得或（舍），所以切点为，所以的最小值为切点到直线的距离，所以的最小值为.故选：D.8．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，则，可知时，时，故在上单调递减，在上单调递增，可知，所以，时等号成立，所以，故；又，当时等号成立，则，故.综上，.故选：C二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023下·广东清远·高二统考期末）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（

）

A．有个极值点B．是的极大值点C．是的极大值点D．在上单调递增【答案】ABD【详解】根据函数的图象可知，在区间，单调递增；在区间，单调递减.所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，是的极小值点，所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD10．（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）函数满足，则正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】令，则，从而递减，则，即，，，.故选：AC.11．（2023上·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）已知函数，则满足的整数的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BCD【详解】由题意得，故为偶函数，而，当时，，故在单调递增，在单调递减，若，则，得，即，解得故选：BCD12．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有两个零点，则的值可能是（

）A．2 B． C．3 D．0【答案】ABC【详解】当时，，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以当时，的最小值为.又在上，的图像如图所示：

因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的解，即直线与有两个不同交点且交点的横坐标分别为，故或或.若，则；若，则；若，则.故选：ABC.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在处的切线方程为，则.【答案】【详解】代入得，，即，，即，则，，所以.故答案为：.14．（2023下·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）己知函数的导函数为，且满足，则．【答案】【详解】因，故，令得，解得，所以，故，当时得故答案为：15．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为.【答案】2【详解】，，令，解得：或，在上的“拉格朗日中值点”的个数为.故答案为：.16．（2023下·北京大兴·高二统考期末）已知函数，且在处的瞬时变化率为．①；②令，若函数的图象与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为，所以，由在处的瞬时变化率为得，所以；因为①当时，函数的图象如下图所示：

要使得函数的图象与直线有且只有一个公共点，则，所以；②当时，函数的图象如下图所示：

要使得函数的图象与直线有且只有一个公共点，则，不妨令，当，恒成立，所以单调递增，即，所以恒成立，故此时不等式解得；③当时，函数的图象如下图所示：

要使得函数的图象与直线有且只有一个公共点，则，所以；④当时，函数的图象如下图所示：

要使得函数的图象与直线有且只有一个公共点，则，所以；对于函数，，当，恒成立，所以单调递减，即，所以恒成立，故此时不等式组无解；综上，实数的取值范围是.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023上·山东德州·高三统考期中）记函数的导函数为，已知，．(1)求实数的值；(2)求函数在上的值域．【答案】(1)(2)．【详解】（1）因为，所以，解得（2）由（1）可知由，解得或；由，解得所以函数在，单调递增；在单调递减又，，，．所以，，所以函数在上的值域为．18．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数(1)当时，求在区间上的最值；(2)若直线是曲线的一条切线，求的值.【答案】(1)，(2)【详解】（1）当时，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，又，，.（2）由题意知：，设直线与相切于点，则，消去得：，解得：，则，解得：.19．（2023上·江苏常州·高三统考期中）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)对于，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【详解】（1）由题设且，当时在上递减；当时，令，当时在区间上递减；当时在上递增．所以当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为.（2）由题设知对恒成立．当时，此时，不合题设，舍去．当时，在上递增，只需符合．综上：．20．（2024上·山东临沂·高三校联考开学考试）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围．【答案】(1)当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.(2)【详解】（1）的定义域为，，当时，，单调递增.当时，令可得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上：当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.（2）当，即，时，设，则，，.当时，，所以，在上单调递增，，故，满足题意；当时，，，则存在，使得，当时，，单调递减，又，所以不恒成立，不符合题意.综上，21．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值；(2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）函数的定义域为，求导得，由曲线在处的切线方程为，得，解得，，所以，.（2）当时，函数，求导得，当时，，即函数在上单调递减，不妨设，则，，不等式恒成立，即恒成立，则恒成立，设，于是，恒成立则在上单调递增，于是在上恒成立，即在上恒成立，，当且仅当时取等号，因此，所以m的取值范围为．22．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若，求函数的最小值；(3)若有两个零点，，证明：.【答案】(1)极大值为，无极小值(2)(3)证明见解析【详解】（1）由题意知函数