第07讲 5.4.3正切函数的性质与图象（原卷版）

第07讲5.4.3正切函数的性质与图象课程标准学习目标①理解与掌握正切函数的性质，并能运用正切函数的性质解决与正切函数相关的周期性、奇偶性，定义域、值域、单调性等问题。②掌握正切函数的图象的画法，会运用正切函数的图象研究正切函数的性质，并能解决与正切函数有关的相关量问题。会运用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的周期、奇偶性、单调性及值域等问题.知识点01：正切函数的图象【即学即练1】（2023·全国·高二专题练习）函数在一个周期内的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，故选：A知识点02：正切（型）函数的性质正切函数正切型函数定义域由值域周期性奇偶性奇函数当时是奇函数单调性在，上单调递增当,时，由，解出单调增区间对称性对称中心：；无对称轴令：，对称中心为：，无对称轴【即学即练2】（多选）（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）下列说法中正确的是（

）A．对于定义在实数上的函数中满足，则函数是以2为周期的函数B．函数的单调递增区间为，C．函数为奇函数D．角的终边上一点坐标为，则【答案】AB【详解】A.若对，满足，则函数是以2为周期的函数，故A正确；B.令，解得：，，所以函数的单调递增区间为，，故B正确；C.为偶函数，故C错误；D.角的终边上一点坐标为，，则，故D错误.故选：AB题型01正切函数的定义域【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）函数的定义域为．【典例2】（2023秋·山西朔州·高一统考期末）函数的定义域为.【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）函数的定义域为．【变式2】（2023春·上海奉贤·高一校考期中）函数的定义域是．题型02正切函数的值域【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数，的值域为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数，的值域为．【典例3】（2023·高一课时练习）函数的值域为.【变式1】（2023·高一课时练习）函数的值域为．【变式2】（2023·全国·高一假期作业）函数的值域为.【变式3】（2023秋·高一课时练习）函数的值域为题型03求正切函数的单调区间【典例1】（2023春·高一单元测试）函数的单调区间是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）的单调递减区间为.【变式1】（2023·全国·高一假期作业）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为．题型04正切函数单调性的应用【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·高一课时练习）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是．【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·高一课时练习）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是．题型05正切函数的周期性与奇偶性【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数的最小正周期为．【典例2】（2023秋·广西贵港·高三平南县中学校考阶段练习）已知（其中为常数且），如果，则的值为（

）A． B．3 C． D．5【变式1】（2023秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，且，则（

）A． B． C．1 D．4【变式2】（2023秋·高一课时练习）函数的最小正周期是（）A． B．C． D．π【变式3】（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）已知，.题型06正切函数图象的对称性【典例1】（2023·全国·高二专题练习）以点为对称中心的函数是（

）．A． B．C． D．【典例2】（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心的坐标为，则曲线的对称中心坐标为（

）A．， B．，C．， D．，【典例3】（2023春·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）函数的图象的对称中心为.【变式1】（2023春·河南平顶山·高一校联考阶段练习）函数图象的对称中心可能是(

)A． B． C． D．【变式2】（多选）（2023春·安徽芜湖·高一校联考期中）下列坐标所表示的点是函数的图像的对称中心的是（

）A． B． C． D．【变式3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则下列叙述中，正确的是（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增C．函数的图象关于直线对称 D．函数是偶函数题型07与正切（型）函数有关的值域（最值）问题【典例1】（2023·高一课时练习）函数的值域为．【典例2】（2023·全国·高一专题练习）若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为.【变式1】（2023·全国·高一假期作业）函数的值域是【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则.题型08正切函数图象与性质的综合应用【典例1】（2023秋·高一课时练习）画出函数的图象．(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；(2)求不等式的解集．【典例2】（2023春·上海虹口·高一上外附中校考期末）已知函数，其中.(1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围.【变式1】（2023春·四川南充·高一校考阶段练习）设函数(1)求函数的定义域、最小正周期．(2)求不等式的解集．【变式2】（2023秋·高一校考课时练习）已知函数，．(1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心；(2)若在上是严格增函数，求的取值范围；(3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围．【变式3】（2023秋·高一课时练习）已知函数．（1）当时，求的最小正周期及单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）函数的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．42．（2023秋·陕西汉中·高二西乡县第一中学校考开学考试）函数的定义域是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调区间是（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高一假期作业）下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．5．（2023春·北京·高一北京师大附中校考期中）函数|在区间（，）内的图象是（

）A． B．C． D．6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（

）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数的最小正周期为2D．当时，7．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第一中学校考开学考试）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（

）

A． B． C． D．8．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）函数在上的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考阶段练习）已知函数，则（

）A．B．的最小正周期为C．把向左平移可以得到函数D．在上单调递增10．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则下列描述中正确的是（

）．A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的最小正周期为2C．函数的单调增区间为，D．函数的图象没有对称轴三、填空题11．（2023春·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）已知，请写出一个满足条件的角．12．（2023春·辽宁锦州·高一校考期中），若，则．四、解答题13．（2023·全国·高一课堂例题）画出函数在上的简图．14．（2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知函数的最小正周期为，(1)求图象的对称中心；(2)求不等式在上的解集．15．（2023秋·高一单元测试）已知.（1）求的最小正周期；（2）若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足的值.B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）若，（），则（

）A． B． C．0 D．2．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则在上的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·高一单元测试）已知函数，其中，（，），的部分图像如下图．(1)求，，的值；(2)求的单调增区间，C综合素养1．（2023秋·江苏南通·高一统考期末）已知函数在区间上是减函数，则