第05讲 第四章 数列 章节综合测试（解析版）

第05讲第四章数列章节综合测试本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（

）A．-23 B．-31 C．-33 D．-43【答案】C【详解】由等差数列知数列首项为，公差为，故数列通项为，分别使取选项中的值，发现仅当时，，其它没有对应的n.故选：C.2．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为q，则“”是“，，成等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】若，，成等差数列，由等差中项的性质可得，化简可得，且，则，解得或，所以“”是“，，成等差数列”的充分不必要条件．故选：A．3．（2024·全国·高三专题练习）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（

）A．400 B．500 C．600 D．800【答案】C【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，设第一个音为，所以，故，因为，所以.故选：C4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）已知数列满足，（），则（

）A． B．0 C． D．2【答案】B【详解】由，可得，，，因此为周期数列，且周期为3，故，故选：B5．（2024上·上海浦东新·高二校考期末）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：（1）；（2）；（3）；（4）．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【答案】B【详解】根据题意，由等比数列性质知，（1），，故（1）是“保等比数列函数”；（2），，故（2）不是“保等比数列函数”；（3），，故（3）是“保等比数列函数”；（4），则，故（4）不是“保等比数列函数”；故选：B.6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，即，可得，又，即有数列是首项为1，公差为4的等差数列，可得，即.故选：D.7．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知为数列的前项和，若且，设，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知：，，当时，，两式做差可得：；对，令，故可得，即可的，故数列是从第二项起，公比为的等比数列，则；又，则；故.故选：D.8．（2024上·山东济南·高三统考期末）数列的前n项和为，若，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，则，即，即数列的所有偶数项构成首项为，公比为3的等比数列，令，则，即，由于，则，故，故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2024上·甘肃·高二统考期末）已知等差数列的前项和是，且，则（

）A． B． C． D．的最小值为【答案】BD【详解】由，所以，即，所以当，时，；当，时，；所以，故A错；，故B对；，故C错；的最小值为，故D对.故选：BD10．（2024上·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知数列的前n项积为，，则（

）A． B．为递增数列C． D．的前n项和为【答案】AD【详解】由可得，故为等比数列，且公比为3，首项为，故，进而,A正确，当时，，所以，当时，不符合上述表达，因此，故C错误，当时，，由于为单调递增数列，故为单调递减，故B错误，的前n项和为，故D正确，故选：AD11．（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知等差数列{}的前n项和，则下列选项正确的是（

）A． B．C．当取得最大值时 D．当取得最大值时【答案】ABC【详解】设公差为，则，所以，解得，故A正确；，故B正确；，所以当时，最大，故C正确，D错.故选：ABC.12．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）下列命题正确的是（

）A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列B．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列C．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列D．若数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件【答案】BD【详解】A：若且、公比相等，则，显然不满足等比数列，错；B：若的公比为，而，，，所以，，是公比为的等比数列，对；C：同B分析，，，，若为偶数，时，显然各项均为0，不为等比数列，错；D：当，则且，易知为递增数列，充分性成立；当为递增数列，则且，显然为满足，但不恒成立，必要性不成立，所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，对.故选：BD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2024上·宁夏银川·高二贺兰县第一中学期末）已知数列为等比数列，且，，则的通项公式为.【答案】或【详解】设等比数列的公比为，则，解得或，所以或.故答案为：或.14．（2024上·河北邢台·高三统考期末）等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则．【答案】13【详解】由题知，，解得，所以，所以.故答案为：1315．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为．【答案】【详解】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，依题知，，，，，叠加可得：，整理得，当，，满足，所以，所以，当且仅当时，即，时等号成立，又，所以等号取不到，所以最小值在时取得，当时，，所以最小值为.故答案为：16．（2024上·江苏·高二期末）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.（1）这个数列的第211项为；（2）设该数列的前n项和为，则.（保留幂形式）【答案】1【详解】对数列进行分组如下：第一组：20，1个数；第二组:20，21，2个数；第三组:20，21，22，3个数；…；第k+1组:20，21，22，…，2k，k+1个数.（1）由，可得，且，所以第211项是第21组的第1个数，即20=1.（2）该数列前k组的项数和为，当k=44时，，第组的和为，所以前k组的和为，故答案为：1；四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2024上·广东清远·高二统考期末）已知数列的前项和为，．(1)求的通项公式．(2)是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；【详解】（1）当时，，当时，，又符合，所以的通项公式为.（2）存在，理由如下：设存在，使，，成等比，则所以：解得：或（舍去）.所以：可使，，成等比.18．（2024·全国·高二假期作业）在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，则解得所以.（2）（方法一）.（方法二）当为偶数时，当为奇数时，.综上，19．（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）已知等差数列满足：，.(1)求；(2)若，求数列的前20项的和.【答案】(1)；(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，所以，所以，（2）设数列的前项和为，由（1）可知，所以．20．（2024上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）在单调递增的等比数列中，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若是等比数列的前项和，判断是否成等差数列并说明理由.【答案】(1)(2)是，理由见解析【详解】（1）设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以即，解得或.当时，单调递减，不符合题意；当时，单调递增，符合题意.所以.（2）成等差数列，理由如下：因为，所以，因为，所以，即，所以成等差数列.21．（2024·陕西宝鸡·统考一模）已知数列，若，且．(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；(2)若，且数列的前n项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1），，又，是首项