第04讲 正弦定理与余弦定理（人教A版2019必修第二册）（解析版）

第04讲正弦定理与余弦定理【人教A版2019】·模块一余弦定理·模块二正弦定理·模块三三角形面积公式·模块四课后作业模块一模块一余弦定理1．余弦定理(1)余弦定理及其推论的表示文字表述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式表述a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.推论(2)对余弦定理的理解①余弦定理对任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.

④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.【考点1\o"余弦定理边角互化的应用"\t"/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理边角互化的应用】【例1.1】（2023上·浙江金华·高二校考开学考试）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b2=a2+A．π6 B．π3 C．3π【解题思路】根据余弦定理求得正确答案.【解答过程】依题意，b2=a所以cosB=a2+c故选：B.【例1.2】（2023下·云南红河·高一校考阶段练习）已知一个三角形的三边分别是a、b、a2A．90∘ B．120∘ C．135∘【解题思路】由题意得，a2【解答过程】∵一个三角形的三边分别是a、b、a2+b2+ab设最大角为θ，由余弦定理可得a2+b因为0∘≤θ≤180故选：B．【变式1.1】（2023上·陕西商洛·高二校考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若bcosC+ccosB=bA．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【解题思路】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定.【解答过程】根据余弦定理知，b==a=b所以a2=b故三角形为直角三角形，故选：B【变式1.2】（2023上·陕西商洛·高二校考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=2π3，bc=3，且b+c=52A．23 B．33 C．22【解题思路】利用余弦定理表示出cosA，利用条件变换求解即可【解答过程】因为A=2π3，由余弦定理知，cos==a解得a=23故选：A【考点2\o"余弦定理解三角形"\t"/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理解三角形】【例2.1】（2023下·河南郑州·高一校考期末）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，C的对边.若b2=ac，且a2A．π6 B．π3 C．2π【解题思路】由b2=ac，且a2+【解答过程】因为b2=ac，且所以b2所以cosA=因为A∈0,π，所以故选：A.【例2.2】（2023·四川自贡·统考一模）在△ABC中角A、B、C所对边a、b、c满足a=c-2acosB，c=5，3a=2b，则b=（

A．4 B．5 C．6 D．6或15【解题思路】根据余弦定理化简a=c-2acosB可得ac=【解答过程】由a=c-2acosB得a=c-2a⋅a又c=5，3a=2b，故10b3=b故选：C.【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，BC=2，AC=2AB，D是BC的中点，E是线段AC上的点，且AC=4EC，∠ADB=∠EDC，则AB=（

）A．2 B．3 C．2 D．5【解题思路】解法一：设出AB=xx>0，由余弦定理得到cos∠ABC,cos∠ABD，得到方程，求出AD2=解法二：作出辅助线，由题目条件得到MH=DH=32，BH=12，设AH=h【解答过程】解法一：设AB=xx>0，则AC=2x在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC=在△ABD中，由余弦定理得cos∠ABD=则4+x2-4如图，过点A作AM//DE交CB的延长线于点M，则∠AMD=∠EDC，又AC=4EC，∠ADB=∠EDC，所以MC=4DC=4，∠AMD=∠ADB，则MD=3，AM=AD．在△AMD中，由余弦定理得cos∠AMD=在△AMC中，由余弦定理得cos∠AMC=则AM2+9-A所以5x2-22=4解法二：如图，过点A作AM//DE交CB的延长线于点M，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于点H，易得∠AMD=∠EDC，又AC=4EC，∠ADB=∠EDC，所以MC=4DC=4，∠AMD=∠ADB，则MD=3，AM=AD，所以MH=DH=32，BH=1所以AC=AH2因为AC=2AB，所以h2+2+所以AB=h

故选：A.【变式2.2】（2023·安徽·池州市校联考模拟预测）如图是一块空旷的土地，准备在矩形OABC区域内种菊花，区域GOD内种桂花，区域GDC内种茶花.若△GOC面积是△GOD面积的3倍，∠ODG=120∘，GD=2,OA=3，则当GCA．2+33 B．4+23 C．6-23【解题思路】由△GOC面积是△GOD面积的3倍得OC=3OD，因此设OD=x(x>0)，得CD=2x，用余弦定理确定GC,OG，求出比值后利用基本不等式得最小值，从而可得结论．【解答过程】设OD=x(x>0)，∵△GOC面积是△GOD面积的3倍，∴OC=3OD，则CD=2x，在△GOD中，OG在△GDC中，GC故GC∴GCOGmin=3-1，当∴OC=3x=33∴当GCOG取最小值时，菊花的种植面积=OA×OC=故选：D.模块二模块二正弦定理1．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常见变形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列变形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）.(3)三角形的边角关系

由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.2．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：

①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；

③已知三边，求三角形的三个角.(3)正弦定理在解三角形中的应用公式==反映了三角形的边角关系.

由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的边和角，

③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.【考点1

\o"正弦定理边角互化的应用"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理边角互化的应用】【例1.1】（2023·陕西商洛·统考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，bA．13 B．23 C．38【解题思路】利用正弦定理、二倍角公式等知识求得正确答案.【解答过程】因为A=2B，所以sinA=因为asinA=bsin因为3a=4b，所以ab=4故选：B.【例1.2】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知asinB=bsinA．π6 B．π4 C．π3【解题思路】利用正弦定理变形等式，可得三角形为等边三角形，即得答案.【解答过程】因为asin有正弦定理得，a则b2所以b2c2=ac代入上边等式可得，a=b=c，则三角形为等边三角形，故C=故选：C【变式1.1】（2023上·全国·高三专题练习）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinA=bcosC+cA．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定【解题思路】运用正弦定理边化角及和角公式计算即可.【解答过程】由asinA=bcos所以sin2又在△ABC中，sinA≠0，所以sin所以A=π2，所以故选：A.【变式1.2】（2023·上海普陀·统考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，且c-2b+23cosA．1 B．3 C．2 D．2【解题思路】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可.【解答过程】∵a=3∴∴∴sin∴A=π3由正弦定理得a故选：A.【考点2

\o"正弦定理判定三角形解的个数"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理判定三角形解的个数】【例2.1】（2022下·福建莆田·高一校考期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．b=4，A=20°，C=40° B．a=4C．a=4，b=6，A=35° D．a=4，b=6【解题思路】由三角形内角和可判断A项，由三角形中大边对大角可判断B项，由正弦定理解三角形可判断C项，由余弦定理解三角形可判断D项.【解答过程】对于A项，由A=20°，C=40对于B项，由a=4，b=6，B=35°，可得a<b，所以对于C项，由正弦定理asinA=可得B有两解，所以三角形有两解；对于D项，由余弦定理得c2可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故选：C．【例2.2】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π3，a=3，b=A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定【解题思路】运用正弦定理计算出sinB，结合a>b有sinA>sinB【解答过程】由asinA=又a>b，A=π3，故B只能为锐角，即故该三角形只有一解．故选：A.【变式2.1】（2023上·北京大兴·高三统考期中）在△ABC中，∠A=π6 ,AB=4 ,BC=a，且满足该条件的A．0,2 B．2,2C．2,4 D．2【解题思路】由题意可知，画出∠A和边长AB，以B为圆心，a为半径作圆与AC边有两个交点时即可求出a的取值范围.【解答过程】根据题意如下图所示：

易知当BC⊥AC时，BC=ABsin30∘由题可知以B为圆心，a为半径的圆与AC边有两个交点时，即图中C1所以可得BC<a<AB，即2<a<4；即a的取值范围是2,4.故选：C.【变式2.2】（2023下·安徽马鞍山·高一校考期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，b=10，则结合a的值，下列解三角形有两解的为（

）A．a=8 B．a=9 C．a=10 D．a=11【解题思路】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.【解答过程】由正弦定理可得，asinA=因为三角形有两解，所以sinB<1，且b>a，因此由选项知，只有a=9符合故选：B.【考点3\o"正弦定理解三角形"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理解三角形】【例3.1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=6，sinA=378，cosB=A．8 B．5 C．4 D．3【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出sinB，结合正弦定理即可得解【解答过程】在△ABC中，0<B<π因为cosB=916则由正弦定理得b=sin故选：B．【例3.2】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．4a=5c，cosC=35A．35 B．255 C．5【解题思路】运用正弦定理结合题目条件计算即可得.【解答过程】由正弦定理asinA=因为cosC=35又4a=5c，所以故选：C.【变式3.1】（2023上·辽宁·高三校联考期中）已知△ABC的外接圆半径为2，且内角A,B,C满足sinC=7cosAsinB，cosA．13 B．23 C．637【解题思路】相加即可求出tanC，结合同角三角函数关系可求的sinC【解答过程】由sinC=7cosAsinB即cosC=6sinC,∵C∈(0,由sinCcosC由正弦定理知csin故选：D.【变式3.2】（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，2cosB-3cbA．338 B．558 C．37【解题思路】先利用正弦定理、三角恒等变换等求出角B的大小，然后利用正弦定理即可求出sinA的值，进而求出cos【解答过程】由2cosB-3由正弦定理得2sin故2sin又sinB>0，所以cos因为B∈0,π，所以B=在△ABC中，由正弦定理得，asin所以sinA=因为a<b，所以A为锐角，所以cosA=故选B．模块三模块三三角形面积公式1．三角形的面积公式(1)常用的三角形的面积计算公式①=a=b=c(,,分别为边a,b,c上的高).

②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.(2)三角形的其他面积公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.

②=，=，=.【考点1三角形面积公式的应用】【例1.1】（2023上·江苏镇江·高三统考期中）在△ABC中，若AB=3,AC=7,B=120°，则△ABC的面积为（

）A．63 B．3-14 C．3+14【解题思路】利用余弦定理求BC，进而利用面积公式求面积.【解答过程】由题意可得：AC2=A整理得BC2+3BC-40=0，解得BC=5所以△ABC的面积为12故选：D.【例1.2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在△ABC中，BC=3，sinB+sinC=103sinA，且△ABCA．π6 B．π4 C．π3【解题思路】先利用正弦定理角化边可得b+c=10，再由三角形面积公式可得bc=1，最后根据余弦定理求解即可【解答过程】设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，因为sinB+sinC=又S△ABC=1所以由余弦定理可得cosA=因为A∈0,π，所以故选：D.【变式1.1】（2023上·安徽芜湖·高二校考阶段练习）已知钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bsinA=3bcosC+3ccosB．若A．32 B．C．32或332【解题思路】先结合正弦定理化简求出sinB，进而求出角B,再结合向量的实数化求出c，则三角形的面积可求【解答过程】因为2bsin所以由正弦定理可得2sin因为在三角形中sin(B+C)=所以2sin又因为sinA≠0所以sinB=所以B=π3或2因为AC边上中线长为72，a=2设AC中点为D，则可得BD=所以BD2又因为AC边上中线长为72，a=2，所以74当B=π3时，代入可得7=c则b=所以a2=b2当B=2π3时，代入可得7=则△ABC的面积S=1故选：B.【变式1.2】（2023上·陕西西安·高三交大附中校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A-sin2C+sin2B=sinA．3 B．934 C．33【解题思路】在△ABC中，由正弦定理边角关系得a2+b2-c【解答过程】在△ABC中，sin2由正弦定理得：a2由余弦定理得：cosC=因为C为△ABC的内角，则0<C<π所以C=π因为△ABC的外接圆的半径为3，由正弦定理得：asinA=由余弦定理得c2=a因为a2+b2≥2ab故△ABC的面积S=1所以△ABC面积的最大值为93故选：B.【考点2正、余弦定理在几何图形中的应用】【例2.1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三校考期末）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3c(1)求角A的大小；(2)若1tanB+1tanC【解题思路】（1）由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到3sinA-cosA=1，从而得到（2）在（1）基础上得到1tanB+1tanC=2【解答过程】（1）3c由余弦定理得3c由正弦定理得3sin3sin即3sin故3sin因为C∈0,π，所以所以3sinA-cos因为A∈0,π，所以（2）由（1）知A=π故1tan∵tanA=tanπ联立1tanB+∵B∈0,π，∴B=C=π∴△ABC为等边三角形，∴S△ABC【例2.2】（2023上·广东汕头·高二校考阶段练习）在△ABC中，c=2bcos(1)求B；(2)再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求BC边上中线的长．条件①：△ABC的周长为4+23；条件②：△ABC的面积为3（若选择多个做答，按第一作答给分）【解题思路】（1）根据正弦定理化简已知条件，再求出B.（2）若选择①，则结合正弦定理、余弦定理求得中线长；若选择②，则根据三角形的面积公式、余弦定理求得中线长.【解答过程】（1）∵c=2bcosB，∴由正弦定理可得∴sin2B=sin2π3=32∴2B=π3，解得（2）若选择①：由（1）可得A=π设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a=b=2Rsin则周长a+b+c=2R+3解得R=2，则a=2,c=23由余弦定理可得BC边上的中线的长为23若选择②：由（1）可得A=π6，即则S△ABC=1则由余弦定理可得BC边上的中线的长为b2【变式2.1】（2023上·广西河池·高三校联考阶段练习）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若3sin(1)求a的值；(2)若△ABC的面积为3b2+【解题思路】（1）利用两角和差正弦公式、正弦定理和余弦定理角化边可整理得到关于a的方程，解方程可求得结果；（2）由三角形面积公式，结合余弦定理可求得tanA，由此可得A；利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可将b+c整理为关于B的三角函数的形式，根据正弦型函数值域求法可求得结果【解答过程】（1）∵3sin∴3a=b∴6a=2b2+a2∴a=3.（2）∵S△ABC=∴tanA=3，又A∈∴asinA=b∴b+c=23sinB+∵B∈0,2π3，∴B+π6又a=3，∴△ABC周长的取值范围为6,9.【变式2.2】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2C+2(1)若a=3,b=4，求c的值以及(2)若BM=λBC0<λ<1,tan【解题思路】（1）根据题意，化简得到tan2C=3，再由余弦定理求得c=（2）由tan∠BAC=-142，求得sin∠BAC=73【解答过程】（1）解：由sin2C=31-2因为C∈0,π2，所以2C∈0,π由余弦定理得c=a所以△ABC的面积S=1（2）解：因为tan∠BAC=-142解得sin∠BAC=在△AMC中，由正弦定理得AMsinC=因为0<∠MAC<∠BAC,∠BAC>π2，故sin∠MAC∈即AMCM的取值范围为1【考点3距离、高度、角度测量问题】【例3.1】（2023上·全国·高三专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？【解题思路】根据正弦定理，分别在△ACD和△BCD中求出AC，BC，然后在△ABC中，由余弦定理求得AB.【解答过程】根据正弦定理，在△ACD中，有AC=CDsin45°+60在△BCD中，有BC=CDsin45°sin在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2+BC2-2AC⋅BC所以A，B两点间的距离为106【例3.2】（2023上·广东湛江·高三校联考阶段练习）山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮.如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C,D，现测得∠BCD=30∘,∠BDC=95∘,CD=116m，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为【解题思路】利用正弦定理即可求解.【解答过程】由题知，∠CBD=180在△BCD中，由正弦定理得BDsin则BD=CD在△ABD中，AB⊥BD,∠ADB=45所以AB=BDtan故黄河楼的实际高度约为70.7m【变式3.1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°方向且与该港口相距20nmile的A处，并以30nmile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h【解题思路】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解；（2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由(1)利用余弦定理得到方程解得对应的时间t，再解得相应角，即可求解.【解答过程】（1）

如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得:OC叩:v2当t=13时，OC取得最小值，此时速度此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为303（2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30nmile/h，则由(1)可得:OC即:30t2=400+900t2-1200t此时∠BOD=30此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°，航行速度为30nmile/h，小艇能以最短时间与轮船相遇.【变式3.2】（2023上·辽宁·高二校联考开学考试）某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A,B两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB=∠ACD，cos∠ACB=

(1)求sin∠BDC(2)测得AC=AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？【解题思路】（1）在△BCD中，利用正弦定理，由BDsin（2）在△BCD中，利用余弦定理求得CD，在△ACD中，由AC=AD，cos∠ACD=cos∠ADC=cos∠ACB=105，求得【解答过程】（1）解：由∠ACB=∠ACD,cos得cos∠BCD=2则sin∠BCD=在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=所以sin∠BDC=（2）在△BCD中，由余弦定理得702整理得CD解得CD=40（CD=-60舍去）．在△ACD中，AC=AD，所以cos∠ACD=又105解得AC=AD=1010在△ABC中，AB所以AB=1015由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于40×2000=80000元，故预算资金够用．模块四模块四课后作业1．（2023下·江苏扬州·高一校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若A:B:C=1:2:3，则a:b:c=（

）A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D【解题思路】先求出角A,B,C，再利用正弦定理求解【解答过程】由题A:B:C=1:2:3且A+B+C=π∴A=由正弦定理得a:b:c=sinA:故选：C.2．（2023下·江苏苏州·高一校考阶段练习）在△ABC中，已知a=13，b=4，c=3，则cosA=（A．12 B．22 C．32【解题思路】由余弦定理直接求解即可.【解答过程】在△ABC中，已知a=13，b=4，c=3由余弦定理得：cosA=故选：A.3．（2024·四川自贡·统考一模）在△ABC中角A、B、C所对边a、b、A．4 B．5 C．6 D．6或15【解题思路】根据余弦定理求得正确答案.【解答过程】依题意，c=5,b=3由余弦定理得a=c-2a=5-a2+25-故选：A.4．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=2B，a=3，b=2，则cosBA．14 B．13 C．23【解题思路】利用正弦定理和二倍角公式计算即可.【解答过程】结合题意：利用正弦定理asinA=bsinB解得：cosB=故选：D.5．（2023下·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在△ABC中，b=2c，a=10，A=3πA．2 B．1 C．22 D．【解题思路】利用余弦定理求出c2，再利用三角形面积公式求解作答【解答过程】在△ABC中，b=2c，a=10，A=即(2c)2所以S△ABC故选：B.6．（2024上·北京·高三清华附中校考开学考试）在△ABC中，a=42，A=45∘，b=m，若满足条件的△ABCA．8 B．6 C．4 D．2【解题思路】根据满足条件的△ABC有两个，可得出bsinA<a<b，求出m【解答过程】因为A=45∘，a=42，b=m则bsinA<a<b，即22故选：B.7．（2023上·全国·高三专题练习）一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为126海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的（A．正西方向 B．南偏西75°方向 C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向【解题思路】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.【解答过程】如图，在△ABD中，B=45°，由正弦定理得ADsin在△ACD中，由余弦定理得CD因为AC=123,AD=24，所以解得由正弦定理得CDsin30°=ACsin因为AD>AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA=60°，此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向.故选：C.8．（2023·四川内江·统考一模）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若cos2A2=b+cA．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【解题思路】根据条件，利用倍角公式得到cosA=b【解答过程】因为cos2A2=b+c又由正弦定理asinA=所以sinCcosA=又A∈(0,π)，所以sinA≠0，得到cosC=0，又故选：B.9．（2023下·江西赣州·高一统考期末）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，下列结论错误的是（

）A．若sinA>sinB．若B=30∘,b=C．若sin2A=sinD．若△ABC的面积S=34【解题思路】对于A,利用正弦定理即可求解；对于B，利用正弦定理及大边对大角即可求解；对于C，利用已知条件及诱导公式即可求解；对于D，利用余弦定理及三角形的面积公式,结合同角三角函数的商数关系即可求解.【解答过程】对于A，由sinA>sinB及正弦定理，得a2R>b对于B，由题意及正弦定理得2sin30∘=2sinC,所以sinC=22,因为c>b，所以C>B对于C，由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=π2，所以对于D，由S=34b2+c2-a2，得1故选：C.10．（2022上·福建泉州·高二校考开学考试）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为△ABC的面积，a=2，且2S=a2-b-c2A．4,6 B．4,2C．6,25+2 D【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得tanA2=12,tan【解答过程】∵2S=a∴S=bc-bccos∴1-cosA=12sin∴tanA2=由正弦定理可得asin所以b+c===25sinB+φ，其中tan因为△ABC为锐角三角形，所以π2-A<B<π即：π2所以cosA2<∴4<25sinB+φ故△ABC的周长的取值范围是6,25故选：C.11．（2023·高一课时练习）在△ABC中，A=α0<α<π2，b=m．分别根据下列条件，求边长(1)△ABC有一解；(2)△ABC有两解；(3)△ABC无解．【解题思路】（1）根据正弦定理，得到sinB=msinαa.分a<b（2）由已知可得sinα<（3）由已知可得sinB>1，求解不等式即可得出结果【解答过程】（1）由正弦定理asinA=（ⅰ）当a<b，即a<m时，sinB=①若sinB>1，即msinαa>1，则B②若sinB=1，即msinαa=1，B=③若sinB<1，即msinαa<1，因为sinB>sinA，此时综上所述，当a=msinα时，（ⅱ）当a=b，即a=m时，sinB=msin（ⅲ）当a>b，即a>m时，sinB=msinαa<综上所述，△ABC有一解时，边长a的取值范围是a=msinα或（2）由（1）知，△ABC有两解，应满足sinA<sinB<1，由sinB=m（