第01讲 导数的概念及其意义+导数运算解析版

第01讲导数的概念及其意义+导数运算目录TOC\o"1-1"\h\u第01讲导数的概念及其意义+导数运算 1题型一：重点考查平均变化率 1题型二：重点考查瞬时变化率 2题型三：重点考查利用定义法求某点处导数 4题型四：重点考查求在型切线 6题型五：重点考查过型切线 7题型六：重点考查导数的四则运算 11题型七：重点考查求某点处到处值 14题型一：重点考查平均变化率典型例题例题1．（2023上·高二课前预习）若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于．【答案】2【详解】由题意得，所以，或（舍去）．故答案为：2例题2．（2023上·江苏·高二专题练习）已知某物体运动的位移s是时间t的函数，且.(1)求这个物体t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求这个物体t从3秒到3.01秒的平均速度.【答案】(1)30.5(m/s)(2)30.05(m/s)【详解】（1）当时，，∵，∴.（2）当时，，∵，∴.精练核心考点1．（2023上·江苏·高二专题练习）在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)之间的函数关系式为.(1)求运动员在第一个内的平均速度；(2)求运动员在这段时间内的平均速度.【答案】(1)(2)【详解】（1）运动员在第一个内的平均速度即高度在区间上的平均变化率，即，故运动员在第一个内的平均速度为.（2）运动员在这段时间内的平均速度即高度在区间上的平均变化率，即，故运动员在这段时间内的平均速度为.题型二：重点考查瞬时变化率典型例题例题1．（2023上·全国·高二期末）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（）A． B．1 C．2 D．【答案】B【详解】函数在区间上的平均变化率等于，由，得，所以，因为函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，所以，解得.故选：B例题2．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）一质点运动的位移方程为，当时，该质点的瞬时速度为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以当时，.故选：C.例题3．（2023下·高二课时练习）如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移（单位：m）函数为，求当s时的瞬时速度．【答案】.【详解】因为质点在s到s的位移改变量，所以该时间段内的平均速度，所以质点在s时的瞬时速度为.精练核心考点1．（2023上·河北·高二校联考阶段练习）节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，求导得，所以时体积关于半径的瞬时变化率为.故选：B.2．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）一质点做垂直向上运动，该质点上升高度（单位：）与运动时间（单位：）的关系式为，当时，该质点上升高度的瞬时变化率为.【答案】【详解】由，求导得，因此，所以当时，该质点上升高度的瞬时变化率为.故答案为：3．（2023上·上海·高三校考期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为．【答案】80【详解】因为.所以该物体时，物体的瞬时速度为.故答案为：80题型三：重点考查利用定义法求某点处导数典型例题例题1．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）若函数在处可导，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数在处可导，.故选：C.例题2．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数在处的导数为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得函数在处的导数，故A项正确.故选：A.例题3．（2023上·全国·高二期末）已知函数在处可导，且则＝．【答案】【详解】根据题意，，变形可得，又由函数在处可导，则.故答案为：.精练核心考点1．（2023下·高二课时练习）如果函数在处的导数为1，那么＝（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【详解】因为，所以，所以.故选：A.2．（2020下·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知函数，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由函数，则，所以，解得.故选：B.3．（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）设函数在处的导数为2，则．【答案】【详解】因为函数在处的导数为2，即，所以.故答案为：.题型四：重点考查求在型切线典型例题例题1．（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】因为，所以，又因为切线与垂直，所以，所以，故选：A.例题2．（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【详解】由题设，当时，，故时，，所以，而，故切线方程为，即．故答案为：例题3．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以.因为，所以所求切线方程为，即.精练核心考点1．（2022上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程【答案】(1).【详解】（1），，曲线在点处的切线方程为，即.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，求的图像在点处的切线方程；【答案】(1)【详解】（1）当时，，，，所以，所以切线方程为，即．3．（2023上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；【答案】(1)【详解】（1），，即切点坐标为，又，切线斜率，则切线方程为，即：；题型五：重点考查过型切线典型例题例题1．（多选）（2023下·湖南·高二期中）过点作曲线的切线，则切线方程可能是（

）A．B．C．D．【答案】AB【详解】∵.设曲线的切点为，则，.∴切线方程为.又切线经过点，则，解得或，∴切点为时，切线方程为；切点为时，切线方程为.故选：AB.例题2．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知曲线，(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）解：由函数，可得，可得，即曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：因为点不在曲线上，设切点为，所以，所以切线方程为，又因为在直线上，所以，即，解得或.当切点为时，切线方程为；当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.例题3．（2022上·山西忻州·高一校考期末）已知曲线，求(1)曲线在点处的切线方程；(2)曲线过点的切线方程；(3)曲线平行于直线的切线方程.【答案】(1)(2)或(3)或【详解】（1）由得，则，所以曲线在点处的切线方程为：，即.（2）因为切点在曲线上，所以可设切点为，则，则切线方程为，因为切线过，代入切向方程得：化简得，则或所以曲线过点的切线方程为：或.（3）直线的斜率为，设切点为，则由（2）知切线方程为，则由切线与直线平行得，即或，所以切线方程为或，即或精练核心考点1．（2024·贵州·校联考模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程.【答案】或【详解】设切点为，而，所以切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，，化简可得或，则切点为或，则代入得切线方程为：或，故答案为：或.2．（2023上·江苏·高二专题练习）已知函数，点在曲线上．(1)求函数的解析式；(2)求曲线在点处的切线方程；(3)求曲线过点的切线方程．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）当时，，所以（2）由（1）可知：，则点处的切线的斜率为，所以切线方程为：，即；（3）设切点坐标为，切线的斜率为，所以切线方程为：，将点代入切线方程得：，则，解得或，所以切线方程为：或.3．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）已知曲线.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.【答案】(1)(2)和【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设曲线与过点的切线相切于点，设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为，则，解得或，则曲线过点处的切线方程为和.题型六：重点考查导数的四则运算典型例题例题1．（2023上·高二课前预习）下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，因为，所以A错误；对于B，因为，所以B错误；对于C，因为，所以C错误；对于D，因为，所以D正确．故选：D.例题2．（多选）（2023上·江苏徐州·高二校考阶段练习）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】对于A，，故A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，故D正确.故选：CD例题3．（2023上·高二课前预习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【答案】(1)(2)．(3)．(4)(5)．(6)【详解】（1）（2）（3）（4）,（5）（6）精练核心考点1．（多选）（2024上·宁夏银川·高二校考期末）下列有关导数的运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于选项A，因为，故A正确；对于选项B，因为，故B错误；对于选项C，因为，故C正确；对于选项D，因为，故D错误.故选：AC2．（2023上·高二课前预习）求下列函数的导数：(1)(2)(3)(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【详解】（1）.（2）.（3）因为，所以.（4）.（5）.（6）因为，所以.3．（2023上·高二课前预习）求下列函数的导函数．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)．(3)(4)【详解】（1）.（2）.（3）因为，所以.（4）因为，所以.题型七：重点考查求某点处到处值典型例题例题1．（2023上·湖北·高二期末）已知函数，则在处的导数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，所以，所以故选：A.例题2．（2023下·安徽·高二合肥市第八中学校联考期中）已知函数，则f（e）＝（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数，则,解得，所以，所以，所以，解得，所以，所以.故选：D．例题3．（多选）（2023下·甘肃酒泉·高二统考期末）若函数