（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十二章 算法、统计与概率 第67课 古典概型 文-人教版高三全册数学试题

第67课古典概型(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修3P97习题1改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中恰有5次正面向上是事件.(填“必然”、“随机”或“不可能”)【答案】随机2.(必修3P103练习6改编)某人有甲、乙两只密码箱，现存放两份不同的文件，则此人使用同一密码箱存放这两份文件的概率是.【答案】【解析】总的基本事件有甲甲，甲乙，乙甲，乙乙，共4个，其中“同一密码箱存放这两份文件”的事件有甲甲，乙乙，共2个，所以所求概率为=.3.(必修3P104习题4改编)箱中有号码分别为1，2，3，4，5的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为3的倍数的概率是.【答案】【解析】从五张卡片中一次随机抽取两张有10种取法：1，2；1，3；1，4；1，5；2，3；2，4；2，5；3，4；3，5；4，5.其中号码之和为3的倍数的取法有4种，分别是1，2；1，5；2，4；4，5.所以所求概率为=.4.(必修3P104习题4改编)先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy=1的概率为.【答案】【解析】总的基本事件个数为36，由log2xy=1得y=2x，满足条件的点数对为(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故所求概率为=.5.(必修3P104习题6改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.【答案】【解析】利用树状图可知基本事件总数为9，其中甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的有3种，故所求的概率为=.1.随机事件及其概率(1)在一定的条件下必然要发生的事件，叫作必然事件.(2)在一定的条件下不可能发生的事件，叫作不可能事件.(3)在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫作随机事件.(4)在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记作P(A).(5)随机事件的概率P(A)的取值范围是[0，1].2.古典概型①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.我们把具有以上两个特点的概率模型称为古典概型.如果一次试验中的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能的基本事件发生的概率都是，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)=.【要点导学】要点导学各个击破随机事件的概念例1下列事件是随机事件的是.(填序号)①在一个标准大气压下，水加热到8℃时会沸腾；②汽车排放尾气，一定污染环境；③把9写成两个数的和，其中有一个数小于3；④任取一个正方体的三个顶点，这三个顶点不共面.【思维引导】根据必然事件，不可能事件和随机事件的含义作出判断.【答案】3【解析】由必然事件、不可能事件和随机事件的含义判断选项①④是不可能事件，②是必然事件，③是随机事件，故选③.【精要点评】在一定的条件下必然要发生的事件，叫作必然事件，不可能发生的事件，叫作不可能事件，可能发生也可能不发生的事件，叫作随机事件.变式给出下列事件：①在一个标准大气压下，把水加热到100℃会沸腾；②导体通电，发热；③同性电荷，互相吸引；④实心铁块丢入水中，铁块浮起；⑤买一张福利彩票，中奖；⑥掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上.上述事件中是确定性事件的是，是随机事件的是.(填序号)【答案】①②③④⑤⑥【解析】根据物理知识可知①②是必然事件，③④是不可能事件，故①②③④为确定性事件；买一张彩票可能中奖也可能不中奖，掷一枚质地均匀的硬币可能正面朝上也可能反面朝上，故⑤⑥是不确定性事件，是随机事件.基本事件及事件构成例2做抛掷两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第二枚骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和大于10”.【思维引导】计算古典概型所含基本事件总数的方法：(1)树状图；(2)列表法；(3)利用坐标系中的点来表示基本事件.【解答】(1)这个试验的基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5，6)，(6，5)，(6，6).【精要点评】在列举基本事件空间时，可以利用画树状图等方法，以防遗漏，列举时要按一定顺序列举.变式将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，观察向上一面的正反.(1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件；(2)事件A：“恰有两次正面向上”包含几个基本事件；(3)事件B：“三次都正面向上”包含几个基本事件.【解答】(1)试验的所有基本事件有：(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)，共8种等可能结果.(2)事件A包含的基本事件有三个：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).(3)事件B包含的基本事件只有一个：(正，正，正).古典概型的概率问题例3袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球，每个球只有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型?(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型?【思维引导】根据古典概型的概念做出判断，判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的“有限性”和“等可能性”.【解答】(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以每次每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故每次摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.【精要点评】古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的.例4某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：m)及体重指标(单位：kg/m2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80m的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78m以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率.【思维引导】计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时，可以用列举的方法，列举时要不重不漏.【解答】(1)从身高低于1.80m的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个.设“选到的2人身高都在1.78m以下”为事件M，其包括的基本事件有3个，故P(M)==.(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个.设“选到的2人的身高都在1.70m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”为事件N，则事件N包括的基本事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个，故P(N)=.【精要点评】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.变式一个均匀的正四面体面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)记z=(b-3)2+(c-3)2，求z=4的概率；(2)若方程x2-bx-c=0至少有一根a∈{1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率.【解答】(1)基本事件(b，c)共有16个，当z=4时，(b，c)的取值为(1，3)或(3，1)，共2种，所以P(z=4)=.(2)若方程有一根x=1，则1-b-c=0，即b+c=1，所以不成立；若方程有一根x=2，则4-2b-c=0，即2b+c=4，所以(b，c)的取值为(1，2)；若方程有一根x=3，则9-3b-c=0，即3b+c=9，所以(b，c)的取值为(2，3)；若方程有一根x=4，则16-4b-c=0，即4b+c=16，所以(b，c)的取值为(3，4).综上，(b，c)的所有可能取值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，所以方程为“漂亮方程”的概率P=.1.(2015·常州期末)现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为.【答案】【解析】从5道试题中任选2道有10种选法，2道都是甲类题有1种选法，根据对立事件的概率知所求概率P=1-=.2.(2016·苏北四市期中)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为x，y，则为整数的概率是.【答案】【解析】所有可能的基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种，其中满足条件的有(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(2，2)，(3，3)，(4，2)，(4，4)，共8种，故所求概率为.3.(2014·淮安、宿迁摸底)将一枚质地均匀的骰子(一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m，n，则点P(m，n)落在区域|x-2|+|y-2|≤2内的概率是.【答案】【解析】由题意可知基本事件总数n=36.当m=1时，1≤n≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m=2时，1≤n≤4，故符合条件的基本事件有4个；当m=3时，1≤n≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m=4时，n=2，故符合条件的基本事件有1个.共11个，故所求概率为.4.(2014·无锡期末)甲、乙两人玩数学游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{3，4，5，6}，若|a-b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为.【答案】【解析】甲、乙两人猜想的数字记为(a，b)，共有16个不同的结果，分别为(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，其中满足|a-b|≤1的结果共有10个，分别是(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，故甲、乙两人“心有灵犀”的概率为=.5.(2014·苏中三市、宿迁一调)某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为.【答案】【解析】两人各参加社团的各种情况有8×8=64种，参加同一组的情况有8种，则两人参加同一个社团的概率是=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第133~134页.【检测与评估】第67课古典概型一、填空题1.(2014·南京学情调研)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为.2.(2015·泰州期末)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为.3.(2014·泰州期末)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是.4.(2015·苏州期末)设x∈{-1，1}，y∈{-2，0，2}，则以(x，y)为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内的概率为.5.在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，则两人都中奖的概率为.6.(2014·南京、盐城二模)盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为.7.(2014·苏锡常镇连徐一调)从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选中的概率为.8.(2014·安徽六校联考改编)连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a=(m，n)与向量b=(1，0)的夹角记为α，则α∈的概率为.二、解答题9.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.(1)求所取的2道题都是甲类题的概率；(2)求所取的2道题不是同一类题的概率.10.如图所示的茎叶图记录了甲组3名同学寒假期间去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假期间去图书馆B学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示.(1)如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；(2)如果x=9，从学习次数大于8的同学中选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数之和大于20的概率.11.一个袋中有4个大小、形状完全相同的小球，其中红球1个、白球2个、黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个小球.(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个黑球记0分，求连续取两次的分数之和为2的概率.【检测与评估答案】第67课古典概型1.【解析】用(x，y)表示抽取出编号为x，y的两球，则全部的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，其中“取出的两个球的编号之和大于5”所包含的基本事件为(2，4)，(3，4)，共2个，故所求事件的概率P==.2.【解析】两个不同的红球分别记为a，b，两个不同的白球分别记为c，d，则任取两个球有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种不同取法，其中两个球颜色相同的有ab，cd，共2种，所以两个球颜色相同的概率为.3.【解析】一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数有36种情况，点数相同的有6种情况，所以所求概率为.4.【解析】(x，y)的所有可能取法有(-1，-2)，(-1，0)，(-1，2)，(1，-2)，(1，0)，(1，2)，共6种，其中坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内的有(-1，2)，(1，0)，(1，2)，共3种，所以所求概率P=.5.【解析】甲、乙两人从三张奖券中各取一张，基本事件共有6个，符合条件的有甲获一等奖、乙获二等奖和甲获二等奖、乙获一等奖共2种，故其概率为=.6.【解析】由于抽取一张记下号码后放回，故基本事件的个数n=9，抽取的两个号码都为奇数的情况有4种，所以至少有一个为偶数的情况有5种，即所求概率为.7.【解析】从四人中随机选取两人有6种情况：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，其中甲、乙只有一人被选中的情况有4种：(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，所以所求概率为=.8.【解析】cosα=，因为α∈，所以<<1，所以n<m.又满足n<m的骰子的点数有(2，1)，(3，1)，(3，2)，…，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共15个，故所求概率P==.9.(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，基本事件为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P(A)==.(2)基本事件同(1).用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{