（江苏专用）高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 4 第4讲 空间几何体的结构及其表面积和体积刷好题练能力 文-人教版高三全册数学试题

第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．解析：S底＝6×eq\f(\r(3),4)×42＝24eq\r(3)，S侧＝6×4×6＝144，所以S全＝S侧＋2S底＝144＋48eq\r(3)＝48(3＋eq\r(3))．答案：48(3＋eq\r(3))2．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π3．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．解析：由题意知，球的半径R＝eq\f(a,2).所以S球＝4πR2＝πa2.答案：πa24．以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为________．解析：命题①错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题②对．命题③错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案：15．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于________．解析：设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，则圆锥的母线长为2r，高为eq\r(3)r.由题意可知πr×2r＝4πR2，即r＝eq\r(2)R.所以eq\f(V圆锥,V球)＝eq\f(\f(1,3)πr2×\r(3)r,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))3＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)6．(2019·苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，点E为棱CD上一点，则三棱锥E­PAB的体积为________．解析：因为VE­PAB＝VP­ABE＝eq\f(1,3)S△ABE×PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×4＝4.答案：47．(2019·江苏省高考名校联考(四))如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，上、下底面为平行四边形，E为棱CD的中点，设四棱锥E­ADD1A1的体积为V1，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为V2，则V1∶V2＝________．解析：由题意，将侧面ADD1A1作为四棱柱的底面，设顶点C到平面ADD1A1的距离为2h，因为E为棱CD的中点，所以E到平面ADD1A1的距离为h，所以V1∶V2＝VE­ADD1A1∶VBCC1B1­ADD1A1＝eq\f(1,3)S四边形ADD1A1h∶S四边形ADD1A1(2h)＝1∶6.答案：1∶68．(2019·南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分所示)，折叠成底面边长为eq\r(2)的正四棱锥S­EFGH(如图2)，则正四棱锥S­EFGH的体积为________．解析：设正四棱锥S­EFGH的高为h，体积为V，点S到HG的距离为h′，则2h′＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，得h′＝eq\f(3\r(2),2)，所以h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝2，所以V＝eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×2＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)9．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若某阳马的底面积为7，最长的侧棱长为5eq\r(2)，则该阳马的体积的最大值为________．解析：设该阳马的底面边长分别为a，b，高为h，最长的侧棱长为l，则ab＝7，由于l2＝a2＋b2＋h2且l＝5eq\r(2)，所以h2＝l2－(a2＋b2)≤(5eq\r(2))2－2ab＝50－2×7＝36(当且仅当a＝b＝eq\r(7)时取等号)，即有hmax＝6，所以该阳马的体积的最大值为eq\f(1,3)abhmax＝eq\f(1,3)×7×6＝14.答案：1410．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八))中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．解析：如图，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，连结PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为eq\f(1,2)×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V＝15×8＝120.答案：12011．一个正三棱台的两底面的边长分别为8cm、18cm，侧棱长是13cm，求它的全面积．解：上底面周长为c′＝3×8＝24cm，下底面周长c＝3×18＝54cm，斜高h′＝eq\r(132－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18－8,2)))\s\up12(2))＝12cm，所以S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c′＋c)h′＝eq\f(1,2)×(24＋54)×12＝468cm2，S上底面＝eq\f(\r(3),4)×82＝16eq\r(3)cm2，S下底面＝eq\f(\r(3),4)×182＝81eq\r(3)cm2，所以正三棱台的全面积为S＝468＋16eq\r(3)＋81eq\r(3)＝(468＋97eq\r(3))cm2.12．如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1­B1EDF的体积．解：法一：连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1H⊥B1D于H.因为EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．因为平面B1D1D⊥平面B1EDF，平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高．因为△B1O1H∽△B1DD1，所以O1H＝eq\f(B1O1·DD1,B1D)＝eq\f(\r(6),6)a.所以VC1­B1EDF＝eq\f(1,3)S四边形B1EDF·O1H＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·EF·B1D·O1H＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(3)a·eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(1,6)a3.法二：连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a.由题意得，VC1­B1EDF＝VB1­C1EF＋VD­C1EF＝eq\f(1,3)S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3.1．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则过圆锥的高的中点的平面截圆锥所得的圆台的体积为________．解析：如图，在正三角形SAB中，AB＝2，SO＝eq\r(3)，OB＝1，O1O＝eq\f(\r(3),2)，圆台的体积为V＝eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)＝eq\f(1,3)π×eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,2)×1＋1))＝eq\f(7\r(3)π,24).答案：eq\f(7\r(3)π,24)2．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．解析：如图，设球的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝eq\f(1,2)R2.因为VO­ABC＝VC­AOB，而△AOB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VO­ABC最大，所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO­ABC最大为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，所以R＝6，所以球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.答案：144π3．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面积为________．解析：如图所示，设点D为BC的中点，则A1D⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以A1D⊥BC，因为△ABC为等边三角形，所以AD⊥BC，又AD∩A1D＝D，AD⊂平面A1AD，A1D⊂平面A1AD，所以BC⊥平面A1AD，因为A1A⊂平面A1AD，所以BC⊥A1A.又因为A1A∥B1B，所以BC⊥B1B.又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于2，所以四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DE⊥AB于E，连结A1E，则AB⊥A1E，又因为AD＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，DE＝eq\f(AD·BD,AB)＝eq\f(\r(3),2)，所以AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\f(3,2)，所以A1E＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－AE2)＝eq\f(\r(7),2)，所以S四边形ABB1A1＝S四边形AA1C1C＝eq\r(7)，所以S三棱柱侧＝2eq\r(7)＋4.答案：2eq\r(7)＋44.(2019·苏州市高三调研测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)解析：由题意知，可将问题转化为求长、宽、高分别是1，2，5的长方体的外接球的表面积，易知该球的直径2R＝eq\r(12＋22＋52)＝eq\r(30)，则该球的表面积为4πR2＝30π.答案：30π5．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解：(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP，得到AD⊥平面BPC，所以VA­BCD＝VA­BPC＋VD­BPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3)S△BPC·PD＝eq\f(1,3)·S△BPC·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·a·eq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(a,12)eq\r(（3a2－x2）x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(3a2,2)＝eq\f(1,8)a3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(\r(6),2)a时取等号)).所以该四面体的体积的最大值为eq\f(1,8)a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为eq\f(\r(6),2)a，所以S表＝2×eq\f(\r(3),4)a2＋2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)a×eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(6),2)a×eq\f(\r(10)a,4)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(15)a2,4)＝eq\f(2\r(3)＋\r(15),4)a2.6．把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底