第15讲 分式的运算八年级数学下册同步讲义（北师大版）

第15讲分式的运算

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1.能准确进行异分母分式的加减运算，理解简单的分式混合运算.

2.能解决一些与分式的运算有关的问题.

趣知识精讲

知识点Ol分式的乘除法

（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.

（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方.

（4）分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即

“先乘方，再乘除”.

（5）规律方法总结：

①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约

分.

②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.

③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，

切不可打乱这个运算顺序.

【知识拓展1]（2022春♦九龙坡区校级月考）下列运算正确的是（）

63333

A.（3/）3=9"6B.42.a4=q8Q-x÷x=-ΛD.（-A）^=Λ

a

3

【即学即练1]（2021秋•天津期末）化简（皿工）2÷旦的结果是（）

PIDP

7口7

A.--r¾∙B.ɪɪC.mιrlpiD.mn3p3

PP

【即学即练2】（2021秋•廉江市期末）下列各式从左到右的变形正确的是（）

A.（Jx）2=3xlB.ɪɔɪtɪ

2

yyyy+1

C.x=1D.Ξ⅛=-ι

x+y1+yχ-y

【即学即练3］（2021秋•龙山县期末）分析四个计算：①（③1）2÷J≡=⅛②（，，"）2=a2"∖③（-

PP2m

2X3）4=8”；，④2X3∙3Λ2=6X5.其中错误的是（）

A.①B.②C.③D.④

【知识拓展2］（2022春•槐荫区校级月考）计算：

2

（1）（2x3y）2∙‰y;（2）x+x

2Xx+1

a-^l.a-1(4)x+3:x2+3X；

(3)-2:9，

a-4a+4a-4X2-2X+1(X-I)2

2ΛΓ

(5)(xy-Λ)÷∙∙;(6)x-4+(x-2)ɪ-

χyx+2IXGx-2

知识点02通分

（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做

分式的通分.

（2）通分的关键是确定最简公分母.

①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数.

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕的积.

（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公

分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次累，各分母中不

相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式.

【知识拓展1】（2022春•原阳县月考）把.—2一通分过程中，不正确的是（

(χ-2)(x+3)（X+3）2

（X+3）2

A.最简公分母是（χ-2）（x+3）

x-2(χ-2)(χ+3)2

1x+322χ-2

2

(χ-2)(x+3)(x-2)(χ+3)(x+3)2(χ-2)(x+3)2

【即学即练1]（2021秋•禹州市期末）将分式」可与分式-J+1一通分后,，a+1,的分母变为（i+“）

1-aa-2a+la-2a+l

（1-«）2,则一ɪ-的分子变为（）

2乙

ɪ1-a

A.\-aB.∖+aC.-∖-aD.-l+α

【即学即练2】（239秋.东湖区期末）把墨亍通分,下列计算正确的是（

ab

6c6bc

2,2,2,22,2

ababqSabqdab

B6c18bcC=ac

2,Q2,2Q,2Q2,2

abSaboabSab

Cθc=18bcC=ac

2n2,,,22,2

avbdabo3aboab

D6c=18bcC=C

a2b3a2b3ab23ab2

【即学即练3】(2019秋•长白县期末)——2——，_J_,旦的最简公分母是_____________________

3x2(χ-y)2χ-2y4xy

【即学即练4](2019秋•玉州区期末)

2

(I)通分：2xy和X；(2)约分：m^4m.

(x+y)2x2-y2m2-16

【知识拓展2】（2021秋•徐汇区校级期中）阅读材料并回答问题：

我们学习过许多分数比较大小的方法，如通分，或将分子变成相同的数或将分数化成小数，都是有效的

分数大小比较的方法，但是并不是所有的数都适合用这样的做法来比较大小.

（1）请问下列适合用通分来比较大小的一组数是①；适合将分数化成小数来比较大小的一组数是

Gl274.分1327359.83115939911

2315531010001001202431799122

（2）我们经常也会用到将分数与上比较大小，进而比出分数大小的方法.如ZL-ɪ,®-这三个数,

25023189

869比o.5要小,而里›

3189502

我们就可以比较这三个数的大小-iθl<l<2Z（用“<”连接）.像这样的方法称为“中间数”

-3189-2—50—

比大小法，中间数有时也可以是其他数字.

（3）阅读上述材料后，完成下列问题（没有用到第（2）小题材料中做法的不得分）：

①旦，ɪ,liθ,毁，啰这组数中，哪一个最小？

111323164305

②2,ɪ,A,A,11,工，区这组数中，第三小的是哪一个？

1516610183044

知识点03分式的加减法

（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分

母分式的加减就转化为同分母分式的加减.

说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把

分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘.

②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；

通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形

式.约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的.

222

【知识拓展1］（2022•巧家县模拟）化简—-_乙的步骤如下：原式=1--+X-"=

X-2x+lI-X（χ-l）（XT）

22

1∑A±AH=I-X=上述解题过程中用到的依据有①约分；②合并同类项；③同分母分式

Cx-I）2（X-1）2χ-ι

的加减法则；④通分，排序正确的是（)

A.①②③④B.③②④①C.④③②①D.④②③①

【即学即练1】(2022春•拱墅区校级月考)已知a∙Λ=√I5,则式二L的值为()

aa

A.+2√2B.8C.√6D.±√6

【知识拓展2】(2022春•西湖区校级月考)化简：旦+上上.

x-1i-χ2

方方的解答如下：

原式=3(x+l)_χ-3_____

(x+l)(χ-l)(x+l)(χ-l)

=3x+l-χ-3

(x+l)(x-1)

=2(XT)

(x+l)(XT)

=2

74

方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.

【即学即练1】己知/+α=3,求代数式3-一L的值.

a2-la

【即学即练2](2022春•兴化市月考)化简：

22_.

1a*1

(1)(1-+-^―,(2)(-5——a+1)+~

χχ2

l--la+la+2a+l

知识点04分式的混合运算

(1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有

括号的先算括号里面的.

(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

(3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运

算.

【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题

I.注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.

2.注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式.分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式

或整式.

3.注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的

运算律运算，会简化运算过程.

【知识拓展1](2022春•新华区月考)为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的学习分式，要求每小

组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一

人，最后完成计算.某小组计算过程如下所示，自己负责的一步出现错误的是()

-]+x-3—_]x~^3—,l~x÷3—_4-x—ɪ

χ-44-Xχ-4χ-4χ-4χ-4

A,甲B.乙C.丙D.丁

【即学即练1](2021秋•鼓楼区校级期末)下列代数式变形正确的是()

A.Ξ⅛=W∑B.ɪʌ(I4A)J-U-

22XyXyyX

22

C."=X-VD.x-yɪ

22

X灯(x+y)2x-yXP

【知识拓展2】(2021秋•化德县校级期末)计算：

(1)(21)2÷(4x)3；(2)

2

3y3ya-⅛a-2

(3)―≥≤—÷-⅞-

99ɪ..

a-4λa÷4a-4

2

【即学即练1】（2021秋•中原区校级期末）化简分式：（I-红工）÷三二红工的最后的结果是（）

x+12x+2

A.1-xB.—∑⅛≡—C.-ɪ.D..ɪ

（x-ι）2x-iI-X

【即学即练2］（2022•仁寿县模拟）已知：旦=2,卫=3,坦=且求代数式α+6+c的值.

a+b3c+a4b+c5

知识点05分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果

要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，

代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”.

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当

未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0∙

【知识拓展11（2021秋•威县期末）用空2替换分式正工中的“后，经过化简结果是（）

m-2n+1

A.2B.2mC.@D.-L

m22m

22

【即学即练0（2021秋•建安区期末）如果α=-3,b=那么代数式.2b）.-ɪ-的值是（）

2aa-b

ʌ-⅛b-^3⅛c,22D∙W

【知识拓展2】（（2022•陕西模拟）先化简（m+2-2）•？工旦，然后选择一个合适的整数作为"的值代

m-22πr4

入求值.

【即学即练1】（2022•建湖县一模）先化简，再求值：θ×∑il÷（x+2-工），其中/-X-6=0.

χ-2χ-2

Q能力拓展

选择题（共2小题）

22

1.（2021•郎溪县校级自主招生）如果〃-人=5,那么代数式（且士-一2）.亚的值是（）

abb-a

A.」B.-5C.ɪD.5

55

12

2.（2020♦汉阳区校级自主招生）已知"c=l,a+b+c^2,a+b+^=3,则—ɪ一4——ɪ—4——ɪ—的

ab+c-1bc+a-1ca+b-1

值为（）

A.-1B.1C.2D.JL

23

二.填空题（共5小题）

3.（2017•南安市自主招生）若X,y为实数，且满足（χ-3）2+√T^3=0,则（三）2017的值是.

y

4.（2021•江岸区校级自主招生）已知必＜0,则且4Λ=.

ab

5.（2020•江岸区校级自主招生）计算：一皿一+—」=______.

4a2-9b23b^2a

6.（2020•浙江自主招生）已知实数a、b、C满足HC=-1,a+b+c=4,————+——⅛——+——ɑ——

a^-3a-lb^-3b-lc2-3c-l

=A,则ai+b1+c2'-.

9

7.（2020•浙江自主招生）如图是一个数值转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新

数，规律如下：当输入数分别为X,y,z时，对应输出的新数依次为工」工」一,ɪ^ɪ.例

Xy+zyz+xzx÷y

如，输入1,2,3,则输出3,2.那么当输出的新数为上,工，工时，输入的3个数依次为

543345

输入-输--出-----111111

X，V，Z-------►转换器一+-----,—÷,—+

ɪy+zyz+xzχ+y

≡.解答题（共7小题）

8.（2021•黄州区校级自主招生）设互不相等的非零实数a,b,c满足a∙Λ=b总=C0，求

bca

IZ~2Z_2Z~2

y（a仔）+（b*）+（c4γ）的值•

9.(2021•武进区校级自主招生)已知正实数X,y,Z满足：Xy+yz+a关1,且

(x2-l)(y2-l).(y2-l)(z2-l).(z2-l)(x2-l),

xyyzzx

(1)求的值.

xyyzzx

(2)证明：9(X+y)(y+z)(z+x)28xyz(xy+jz+zx).

10.（2021•江岸区校级自主招生）先化简，再求值：（-ɪɪ--.×+2）÷（匹-1）,其中X是不等式型金

X2-4X+4X2-2XX3

WX-3的最小整数解.

II.(2020•汉阳区校级自主招生)(1)已知一×—ɔl,求X+2的值.

χ2-χ+l4X

222

(2)若yz=ZX=Xy=X+y+z,λ≠0jy≠0τz≠0,且"c=7,求XyZ的值.

bz+cycx÷azay+bxa2+^2+^2

12.（2020•原阳县校级自主招生）已知x-2=3,求，+_!_,ʃɜ-ɪ,/+」_的值.

Y.2.3.4

2

2017a-212a-1=011

13∙（2020∙田家庵区校级自主招生）已知41,且αWb,求工」的值.

2017b=⅛+212ab

b

2_

14.（2020•西安自主招生）化简并计算：ɪg--.×<--ɪ,其中x=2&.

x-l4-4x+χ2x-2

M分层提分

题组A基础过关练

一.选择题（共10小题）

1.（2021秋•朝阳区期末）计算（区）3的正确结果是（）

b

A.匣3B.匣3C.—ɜd∙⅛3

b3bb3

2卤

2.（2021秋•莱阳市期末）在计算工—÷J=时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是"?，则

m+1m+1

这道题的正确的结果是（）

A.——B.ɪC.m-ɪD.m

ι∏-lm

3.（2021秋•思明区校级期末）下列各式，从左到右变形正确的是（）

A.a2∙a3=c^B.J+q2=2q4

(a+l)2a+1

cr.-----------=------D.a2÷-=ai

(a-l)2a^ɪa

2

4.（2021秋•合川区期末）化简迪•的结果正确的是（）

m+6m+94-m

A.生也B.土卫C.D..^zɪɪɪ

m+3m+3In-3m-3

5.（2022∙瑞安市开学）下列计算正确的是()

A.y6÷γ2=y3B.1+1=⅛

mninn

C.(∕n+l)2=w2+lD.(-2"?)3=-6加3

6.（2021秋•西城区期末）下列分式中，从左到右变形错误的是（）

A.-2-=AR111

4c4aba+b

2

C，一，D.¾~⅜

a-bb-aa^+4a+4a+2

7.（2021秋•长沙县期末）计算0-一匕的正确结果是（）

χ-lχ-l

A.XB.2c∙⅛D.2(χ-1)

8.（2021秋•仓山区校级期末）已知小b,c,d都是正实数，且曳V£,其中b=_L,C=则3与

bda+bc+d

C的大小关系是（）

A.B>CB.B>CC.B<CD.BWC

9.（2021秋•微山县期末）已知实数X,y满足：？-1+2=0,√-1+2=0,则2022X引的值为（）

X

A.—」B.1C.2022D.20222

2022

10.（2021秋•任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（)

32542323

①5abIOc_25c.②bcι,a^bc11

2c3423③(x-3)-④

∖b^ba*b-aj

x+lx-3χ2+1

A.①③B.②④C.①②D.③④

二.填空题（共2小题）

11.（2021秋•藁城区期末）计算K∙÷31/二的结果是

2C2YC

2

12.（2021秋•长沙县期末）计算（-三）2÷①.（X）-I=

2yX

三.解答题（共6小题）

13.（2021秋•定陶区期末）计算：

（1）（ɪ）3:(2)(i-ɪ)-χ2-2χ+l=

221

2aaabX-1x+1

oInn2iπ22

14.(2022•竹山县模拟)化简：(ιπ∕F一)÷F

mm2÷mn

15.（2022春•沙坪坝区校级月考）计算:

(2)(ɪ÷ɪ-)ʌχ2~2x

(ɪ)⅛(2tz+⅛)+(Λ+⅛)(α-⅛);

x+2X2-4X4χ+4

16.（2022•红花岗区一模）先化简，再求值：一二2一--2-×（-一ɜ—）,其中α=√5-2.

a2+4a+4a+2a2+2a

2

、

17.（2022•罗山县校级模拟）先化简，再求值:2xX-X其中x=5.

X+1'X2+2X+1

18.（2022•罗湖区模拟）先化简，再求值：^a+2∙÷(2+^5γ)>其中α=2.

a-2a+l

题组B能力提升练

选择题（共3小题）

1.（2021秋•丛台区校级期末）规定一种新的运算''JQx—+8&”，其中A和B是关于X的多项式.当A的

B

次数小于B的次数时，JQxf+8^=0；当A的次数等于B的次数时，JQχ∙→+8区的值为A、B的最高

BB

次项的系数的商.当A的次数大于B的次数时，JQXf+8区不存在.

`B

2

例：JQx-*÷ɑɑ-ɪ-=0,Jβx→+o°——X+』——

I2X2+3X-12

2

若在二（2^一红）÷6”—15X,则t∕Qχf+8区的值为（）

Bχ-lχ2-lB

A.0B.-ɪC.AD.不存在

23

2.（2021秋•高邑县期末）己知：αι=x+l（T≠0且XW-1）,OI=--—,~~-—，…，a=----------，

Sa3S=St

则Q2020等于（）

A.XB.x+1C.-ɪD.—―

x+1

3.（2021秋•罗庄区期末）老师出了一道题：计算三生+上工，对于下面这三名同学的做法，你的判断是

x+2χ2-4

（）

乐乐的做法是：原式=6+3）（耳-2）-_x-?_=（2+3）（X-?）-.χ-2=∙χ2哆;

χ2-4χ2-4χ2-4χ2-4

淇淇的做法是：原式=（X+3）（X-2）+（2-x）=∕+x-6+2-X=X2-4；

嘉嘉的做法是：原式=3至--_x-2_=×tg.-ɪ=×j±±=1.

x+2（x+2）（x-2）x+2x+2x+2

A.嘉嘉的做法是正确的

B.淇淇的做法是正确的

C.乐乐的做法是正确的

D.三名同学的做法均不正确

二.填空题（共4小题）

4.（2021•安乡县二模）如果典上#0,那么代数式Wj∙（2,"+"）的值是

324m2-n2

5.（2020秋•沿河县期末）已知：Zx2=Z+2,3义3=2+3,A×4=A+4,若且Xlo=旦+10（a、b

112233bb

都是正整数），则a+8的值是.

6.（2021秋•长安区校级期末）如果α=-√3,那么分式（I-矢L）÷彗的值是.

aa

7.（2021秋•嘉荫县校级期末）已知」-一L=r则分式n-m+2mn的值为

2m2n2m-2n+3mn

三.解答题（共5小题）

2

8.（2021秋•大兴区期末）化简：.U3g÷a-3..史IL

2,2-i

a+aa-11a1

2

9.（2022•孝南区一模）化简：M=I∑2×÷（-1-+1），同时求出例有意义时X的取值范围，并从不等

χ-lχ-l

"l-3x<X+3

式组X-I,的解集中取一个合适的整数值代入求值.

⅞i<1

12_

IO.（2022•娄底一模）先化简，再求值：（二一-ι）÷LW,其中X是-1、1、2中的一个合适的数.

x+1Jx+1

11.(2019秋•西城区校级期中)计算：

22

(1)×.~∆l-----x+2；(2)(m+2-工)÷jbz^-

X2+4X+43x2+6xym^22m^4

12.(2021秋•惠州期末)结合图，观察下列式子：

(x+〃)(x+q)=W+px+qx+pq

=x2+(p+q)x+pq

于是有：X2+(p+夕)x+pq=(x+p)(x+q)∙

(1)填空：因式分解了+5x+6=(x+)(x+)；

2

(2)化简：(X-x-2_&+6).»

X2-4X+4X2+X-6乂-2

题