6.3二项式定理6题型分类（原卷版）

6.3二项式定理6题型分类一、二项式展开式a+bn二、二项展开式的通项公式Tr+1三、二项式系数表(杨辉三角)a+bn展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3四、二项式系数的性质1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵Cnm2．增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项Cnn2取得最大值；当n3．二项式系数和：Cn奇数项的系数等于偶数项的系数等于2n−1（一）二项式展开式1．二项式展开式：a+b2.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式Tr+1=Cn3．在使用通项公式Tr+1=Cnr题型1：求二项式的展开式及特定项11．（2023·江苏·高二专题练习）化简多项式的结果是（

）A． B． C． D．12．（2023下·山西朔州·高二校考阶段练习）（

）A． B． C． D．13．（2023下·江苏南京·高二校考期中）化简的结果为（

）A．x4 B． C． D．14．（2023上·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在的展开式中，的系数是（

）A．35 B． C．560 D．（二）两个二项式相乘问题求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路：1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．题型2：两个二项式相乘问题21．（2023上·四川·高三校联考开学考试）的展开式中的常数项为（

）A．240 B． C．400 D．8022．（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（

）A．120 B．135 C．140 D．10023．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．224．（2023·山东·校联考模拟预测）的展开式中的系数为（

）A． B． C．160 D．80（三）多项式展开式求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法：1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高．题型3：求多项式展开式及特定项31．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）的展开式中x项的系数为（

）A．568 B．－160 C．400 D．12032．（2023上·广西贵港·高三校联考阶段练习）展开式中的系数为（

）A． B．21 C． D．3533．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（

）A． B． C．100 D．16034．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）的展开式中的系数为（

）A．4 B．6 C．8 D．12（四）二项式系数及项的系数的和及性质1、赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).2、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。3、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。4、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤：第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．题型4：二项式系数及项的系数的和41．（2023上·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（

）A．252 B． C．210 D．42．（2023下·四川雅安·高二统考期末）在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（

）A．15 B．45 C．135 D．40543．（2023下·吉林·高二校联考期末）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（

）A．16 B．32 C．1 D．44．（2023上·湖南·高三校联考开学考试）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（

）A．0 B． C．120 D．45．（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式，则.46．（2023下·高二单元测试）已知，若，则自然数n＝.题型5：二项式系数或系数的最值51．（2023·浙江·校考模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（

）A．5 B．6 C．7 D．852．（2023上·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（

）A． B． C． D．53．（2023下·安徽黄山·高二统考期末）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项54．（2023下·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）的二项展开式中，系数最大的是第项.（五）整除和余数问题整除和余数问题的解题技巧：1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．题型6：整除和余数问题61．（2023下·福建泉州·高二校考期中）设，则当时，除以15所得余数为（

）A．3 B．4 C．7 D．862．（2023上·江西·高二统考阶段练习）设n∈N，且能被6整除，则n的值可以为.(写出一个满足条件的n的值即可)63．（2023下·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为.64．（2023·全国）除以100的余数是．65．（2023·高二课时练习）若能被13整除，则实数a的值可以为．（填序号）①0；②11；③12；④25．一、单选题1．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）在的展开式中常数项为（

）A．14 B．－14 C．6 D．－62．（2023下·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）在的展开式中，记项的系数为，则（

）A．45 B．60 C．120 D．2103．（2023下·山东济南·高二统考期末）的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（

）A．16 B．32 C．27 D．814．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（

）A．120 B．40 C．30 D．2005．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）展开式中，项的系数为（）A．5 B．5 C．15 D．156．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（

）A．299 B． C．300 D．7．（2023·江苏·高二专题练习）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（

）A．6项 B．7项 C．8项 D．9项8．（2023·河南开封·校联考模拟预测）的展开式中所有有理项的系数和为（

）A．85 B．29 C． D．9．（2023下·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）若，且，则实数的值可以为（

）A．1或 B． C．或3 D．10．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）设，若，则实数a的值为（

）A．2 B．0 C．1 D．11．（2023上·江苏苏州·高二校考阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．202612．（2023下·福建福州·高二福建省福州格致中学校考期中）的计算结果精确到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.93313．（2023下·安徽·高二校联考期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.1614．（2023下·江苏苏州·高二统考期中）已知为正整数，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．515．（2023下·北京·高二北京师大附中校考期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．16．（2023下·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学统考期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2023行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（

）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012二、多选题17．（2023下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（

）A． B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458 D．展开式中含项的系数为24018．（2023上·山东·高三山东师范大学附中校考阶段练习）已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（

）A． B．展开式中所有项的系数和为1C．展开式中二项式系数和为 D．展开式中不含常数项19．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（

）A． B． C． D．20．（2023下·河北唐山·高二校考期末）已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（

）A． B．展开式中的常数项为45C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项21．（2023下·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期中）已知，若，则有（

）A．B．C．D．22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．23．（2023上·广东佛山·高三统考期中）设，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．24．（2023下·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知，下列命题中，正确的是（）A．展开式中所有项的二项式系数的和为；B．展开式中所有奇次项系数的和为；C．展开式中所有偶次项系数的和为；D．.25．（2023上·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）已知，则（

）A．B．C．D．26．（2023上·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（

）A．B．的展开式中有理项有5项C．的展开式中偶数项的二项式系数和为512D．除以9余827．（2023·高二课时练习）设，且，若能被13整除，则a的值可以为（

）A．0 B．11 C．12 D．2528．（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（，且）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（

）A．B．当且时，C．为等差数列D．存在，使得为等差数列三、填空题29．（2023下·江苏无锡·高二统考期中）设，化简.30．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）求值：31．（2023上·北京·高三北京市第一六一中学校考期中）已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为．32．（2023·海南省直辖县级单位·统考三模）的展开式中含项的系数为.（用数字作答）33．（2023上·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为．34．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为.35．（2023·全国·模拟预测）写出一个正整数n，使的展开式中含有常数项，则n＝．（答案不唯一，写出一个符合题意的即可）36．（2023下·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）若展开式中第5项为常数项，则；37．（2023·江西南昌·统考二模）的展开式共有8项，则常数项为．38．（2023·福建漳州·统考二模）已知的展开式中的系数为39．（2023下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在的二项展开式中，第项为常数项.40．（2023上·天津静海·高三校考阶段练习）设常数，展开式中的系数为，则.41．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是．42．（2023下·北京石景山·高二统考期末）在的展开式中，二项式系数之和为；各项系数之和为．（用数字作答）43．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中项的系数是.44．（2023下·河北唐山·高二校联考期中）若的展开式中二项式系数的和为，则该展开式中的常数项是．45．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为.46．（2023上·北京·高三北京市第十一中学校考阶段练习）二项式的展开式中，常数项是，各项二项式系数之和是.（本题用数字作答）47．（2023下·河南焦作·高二武陟县第一中学校考期末）的展开式中的系数为（用数字作答）．48．（2023下·浙江湖州·高二统考期中）的展开式中，记项的系数为，则49．（2023·江西·校联考一模）的展开式中常数项为．（用数字作答）50．（2023上·河北邯郸·高三统考开学考试）已知，则的值为.51．（2023·湖南长沙·雅礼中学校联考一模）展开式中的常数项为.52．（2023·浙江·校联考三模）已知多项式，则，．53．（2023·广东·高三校联考阶段练习）的展开式中，的系数为.54．（2023·全国·高二专题练习）已知的所有项的系数的和为64，展开式中项的系数为．55．（2023上·福建福州·高三校考期中）在的展开式中，的系数为.56．（2023·高二课时练习）的展开式的所有