河南省南阳市南召县2022-2023学年高一下学期期末数学试题

河南省南阳市南召县2023年春期期末高一数学试题一、选择题1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.－2【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义即可得解.【详解】解：因为角的终边经过点，所以.

故选：A.2.若向量，满足，则（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由两个向量垂直，转化为两个向量的数量积为零，再由数量积的坐标运算得出结果.【详解】因为，所以，所以，解得．故选：D.3.若，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用整体代换的思想，找出已知角与所求角之间的关系，根据诱导公式即可求解.【详解】.故选：C.4.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得圆锥母线长为，底面圆的半径为，求出圆锥高即可求出体积.【详解】半径为的半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为，所以底面圆的半径为，圆锥的高为,所以圆锥的体积为.故选：A.5.在中，，则此三角形的形状是（）A.等边三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换公式将公式变形，转化方向是变成简单的三角方程求角的值，通过角的值来确定的形状．【详解】，，，，即，，.故此三角形为直角三角形.故选C【点睛】考查利用三角恒等变换的公式进行灵活变形的能力，此题训练掌握相关公式的熟练程度以及选择变形方向的能力，属于基础题．6.在中，角的对边分别是.已知，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到，设，代入计算得到答案.【详解】，即，故，，设，则，解得或（舍去）.故选：A7.如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：①与所成的角为②∥平面③④平面∥平面其中正确判断的序号是（）．A.①③ B.②③ C.①②④ D.②③④【答案】C【解析】【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，得：①与所成的角为正确；②不包含于平面平面平面，故②正确；③与是异面直线，故③不正确；④平面，所以平面平面，故④正确，正确判断的序号是①②④，故选C.8.如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（）A. B.3 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上，连接，交AB于点，此时最小，求出即可．【详解】将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上，连接，交AB于点，此时最小，如图所示：因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，在中，由余弦定理得，解得，即的最小值为．故选：A．二、多项选择题9.已知向量，，则下列命题正确的是（）A若，则B.若，则C.若取得最大值时，则D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的平行和垂直的坐标运算即可判断A正确，B不正确.对于C，根据，，即可得到，所以C正确，对于D，根据的最大值为，即可判断D正确.【详解】A选项，若，则，即，故A正确．B选项，若，则，则，故B不正确．C选项，，其中.当取得最大值时，，即，，故C正确.D选项，，当时，取得最大值为，所以的最大值为，故D正确.故答案为：ACD【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，同时考查了三角函数的最值问题，属于中档题.10.若函数f（x）＝tan2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，那么下列说法正确的是（）A.函数g（x）的定义域为{，k∈Z}B.函数g（x）在单调递增C.函数g（x）图象的对称中心为，k∈ZD.函数g（x）≤1的一个充分条件是【答案】BD【解析】【分析】根据平移可得的表达式，然后利用正切函数的性质进行判断即可.【详解】由题可知：令，即所以函数定义域为，故A错令所以函数单调递增区间为，当时，是函数的单调递增区间，故B正确令，故函数对称中心为，故C错所以，所以在所求的范围之内，故D正确故选：BD11.在中，下列说法正确的是（）A.若，则B.存在满足C.若，则为钝角三角形D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】A项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B项，由和余弦函数在递减可判断；C项，显然，分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D项，根据和正弦函数的单调性得出和，再由放缩法可判断.【详解】解：对于A选项，若，则，则，即，故A选项正确；对于B选项，由，则，且，在上递减，于是，即，故B选项错误﹔对于C选项，由，得，在上递减，此时：若，则，则，于是；若，则，则，于是，故C选项正确；对于D选项，由，则，则，在递增，于是，即，同理，此时，所以D选项正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.12.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（）A.平面平面B.平面C.异面直线与所成角的取值范围是D.三棱锥体积不变【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面平面，从而得以判断；对于C，利用线线平行将异面直线与所成角转化为与所成的角，从而在等边中即可求得该角的范围，由此判断即可；对于D，先利用线线平行得到点到面平面的距离不变，再利用等体积法即可判断.【详解】对于A，连接，如图，因为在正方体中，平面，又平面，所以，因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为与为平面内两条相交直线，可得平面，又平面，从而平面平面，故A正确；.对于B，连接，，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；所以与所成角的范围是，故C错误；对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，所以三棱锥的体积不变，故D正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.三、填空题13.若复数是纯虚数，则实数m=____.【答案】2【解析】【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0计算即可【详解】由题意，，解得故答案为：2.14.已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.【答案】且【解析】【分析】根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】由于与夹角为钝角，所以，解得且.所以取值范围是且.故答案为：且15.在正四棱柱中，是的中点，，，则与平面所成角的正弦值为__________【答案】##【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理证得平面，进而得到直线与平面所成角为，从而解直角三角形即可求得其正弦值.【详解】设底面中心为，则，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，则平面，取的中点，连接，则，所以平面，连接，则为与平面所成的角.因为，，所以，，.故答案为：..16.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，则该四棱锥的外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】设正方形的中心，三角形的外心，取的中点，分别以，为邻边作一个矩形，可证明，点就是该外接球的球心，求出球半径，进而可得结果.【详解】设正方形的中心，三角形的外心，取的中点，连，，则，，分别以，为邻边作一个矩形，如图，因为侧面底面，则平面，平面，则，所以点就是该外接球的球心，由，可得，在中，，外接圆的表面积为，故答案为：.【点睛】要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径（球心在过底面多边形的外心且与底面垂直的直线上）.四、解答题17.已知复数在复平面内所对应的点为A.（1）若点A在第二象限，求实数m的取值范围；（2）求的最小值及此时实数m的值.【答案】（1）或（2）的最小值为，【解析】【分析】（1）由点A在第二象限，列出不等式组求解即可；（2）由模的公式得，令，利用二次函数的性质求出最小值.【小问1详解】由，解得或.【小问2详解】，令，∵，∴，则，所以当，即时，有最小值.18.记的内角，，所对的边分别是，，．已知．（1）求角的大小；（2）若点在边上，平分，，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理化简即可得到角的大小；（2）由角平分线定理可得，由，结合余项定理化简即可求得结果.【小问1详解】因为，即化简可得，由余弦定理可得，所以，且，则【小问2详解】由（1）知，由余弦定理可得，将代入，化简可得，又因为平分，由角平分线定理可得，即，且，所以，又因为,则，结合余弦定理可得，解得，所以则19.如图1，在梯形中，，点E在线段上，，将沿翻折至的位置，连接，点F为中点，连接，如图2，（1）在线段上是否存在一点Q，使平面平面?若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由；（2）当平面平面时，求三棱锥的体积，【答案】（1）存在，Q是的中点（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行与面面平行的判定定理证明即可；（2）利用余弦定理与勾股定理证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到F到平面的距离，再利用等体积法即可得解.【小问1详解】当Q是的中点时，平面平面，理由如下：如图，连接，依题意得，且，则，所以四边形是平行四边形，则，又平面平面，所以平面，因为分别为的中点，所以，又平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，.【小问2详解】取的中点M，连接，因为，则，所以为边长为2的等边三角形，则，因为，所以由余弦定理得，所以在中，，则，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为F为的中点，所以F到平面的距离，所以.20.锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：．（1）求A；（2）求面积取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角，利用两角和差关系得，即，结合角度范围即可得角A；（2）根据正弦定理及三角形面积公式转化为关于角的正切函数，根据锐角得角的范围，即可求得面积取值范围．【小问1详解】解：因为，由正弦定理得：，因为，所以，化简得，所以，因为，所以，【小问2详解】解：由正弦定理，得又，因为锐角，所以解得，则所以.21.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证得结果；（2）取的中点，的中点，连接，，，证得就是二面角的平面角，在直角三角形中可求得其余弦值.【详解】（1）因为侧面底面，且交线为，又面，，所以平面，又平面，所以.侧面是正三角形，是的中点，所以.又，所以平面.（2）取的中点，的中点，连接，，.依题意知，，且，所以平面，又，所以平面，因此，，所以就是二面角的平面角.由（1）知平面，因为，所以平面，从而.在直角三角形中，设，则，所以，.所以，二面角的余弦值为.22.已知