几何动态性问题之动点问题-中考数学复习题练习（教师版）

专题36几何动态性问题之动点问题（解析版）

类型一动点产生函数关系

1.（2020秋•呼和浩特期末）如图，AB=S,。是AB的中点，P是以点。为圆心，AB为直径的半圆上的一

个动点（点P与点A,B可以重合），连接∕¾,过月作PMLAB于点M.设AP=X,则AM=Ir2,令y

=AP-AM,下列图象中，能表示），与X的函数关系的图象大致是（）

思路引领：由y=AP-AM=x-#=—#(x-5)(0≤x≤5),即可求解.

解：由题意得：y—AP-AM—x—^,x'=—(X-5)(0≤x≤5),

•：a=-ʌ,故抛物线开口向下,

当X=I时，y的最大值为一∣x?（-∣）=

故选:A.

总结提升：本题考查的是动点问题的函数图象，确定函数的表达式是本题解题的关键.

2.（2022•湖北模拟）如图①，在矩形ABe。中，AB<AD,对角线AC,8。相交于点O,动点尸由点A出

发，沿ABfBC-C力向点。运动.设点P的运动路程为X,Z∖40P的面积为y,y与X的函数关系图象

如图②所示，则AQ边的长为

①②

思路引领：当P点在AB上运动时，440P面积逐渐增大，当尸点到达8点时，结合图象可得AAOP面

积最大为3,得到A8与3C的积为12；当P点在8C上运动时，AAOP面积逐渐减小，当P点到达C

点时，AAOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7,得到AB与BC的和为7,构造关于AB

的一元二方程可求解.

解：当P点在AB上运动时，面积逐渐增大，当P点到达8点时，ZkAOP面积最大为3.

11

J-AB-BC=3,BPAB*BC=12.

22

当尸点在3C上运动时，AAOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，AAOP面积为0,此时结合图象可

知P点运动路径长为7,

.'.AB+BC=1.

则8C=7-AB,代入Aδ∙3C=12,^AB2-7ΛB+12=0,

解得AB—4或3.

"."AB<AD,SPAB<BC,

.∙.AB=3,BC=4.

即AD—4.

故答案为：4.

总结提升：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，

找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.

3.（2022秋•荔城区校级期末）如图，点A为双曲线y=-（在第二象限上的动点，A。的延长线与双曲线的

另一个交点为5,以AB为边的矩形ABCz）满足AB：8C=4:3,对角线AC,BD交于点、P,设尸的坐标

为（〃2,〃），则加，〃满足的关系式为.

思路引领：连接分别过点、作轴的垂线，垂足为、证明然后利用相

OP,APXMN,4AOMS2∖OPM

似三角形的性质分析求解.

解：连接0P,分别过点A、P作X轴的垂线，垂足为M、M

：・NAMo=NPNO=90°,

T四边形ABCO是矩形，

ΛZABC=90Q,AP=PC,

YOA=OB,

：.OP//BCfBC=WP,

ΛZAOP=ZABC=90o,AOzOP=AB:BC=4：3,

：.NAOM+∕P0N=9C,

VZAMO=90o,

ΛZAOM+ZMAO=90o,

：.ZMAO=ZPON,

：.∕∖AOMS∕∖OPN,

.S&AOM/4°\216

..---------=(­)=-ɑ-,

SAoPNOP9

A为双曲线y="在第二象限上的动点，

;点.X

9

设点4的坐标为(a,--)>

1—2

*∙*S/\AOM=2X(一。)X=1，

._9

•c∙S^OPN=γg，

♦尸的坐标为(如Λ),

19

・.SAOPN=a皿〃=ɪg,

.9

..77777=ɛ,

故答案为：〃?"=需.

总结提升：本题考查了反比例函数/的几何意义、相似三角形判定与性质和矩形的性质，恰当的构建相

似三角形，利用面积比是相似比的平方是解题关键.

4.(2022秋•甘井子区校级期末)如图，AABC中，AB=AC=6cm,BC=8cm,点P从点、B出发,沿线段

BC以2c∕n/S的速度向终点C运动，点。从点C出发，沿着C-AfB的方向以3cMs的速度向终点B运

动，P,。同时出发，设点P运动的时间为f(s),4CPQ的面积为S(CTn2).

(1)SinB=；

(2)求S关于r的函数关系式，并直接写出自变量f的取值范围.

思路引领：(1)过点A作4OL8C,垂足为。，利用等腰三角形的三线合一性质求出BO的长，再利用

勾股定理求出AD的长即可解答;

(2)分两种情况，当0<fWl时-，当l<f<2时.

解：(1)过点A作ACBC,垂足为£),

∖"AB=AC=6cm,ADlBC,

1

∙*∙BD=^8C=4C7∕?,

在RtZXABQ中，AB=Gan,BD=4cm,

：.AD=>JAB2-BD2=2√5,

..AD√5

∙∙smd8=丽=丁

故答案为：~~∙

(2)过点。作QE_L8C,垂足为E,

'：AB=AC,

ΛZB=ZC,

.∙.sin8=sinC=亨，

分两种情况：当O<fW1时，

由题意得:CQ=2>t,BP=2t,

：.CP=BC-BP=8-It,

Vsr-

在RtZXCQE中，QE=CoSine=31・三=√5r,

ΛS=^CP∙QE=∣∙(8-2∕)∙√5∕=4√5∕-√5r=-√5∕2+4√5r,

当14V2时,

：*CP=BC-BP=8-2t,

BQ=AB+AC-(CA+AQ)=12-3/.

衣LL

在RtABQE中，QE=BQSinB=(l2-3t)∙-=4√5-√5∕,

[1

：.S=^CP∙QE=^∙(8-2z)∙(4√5-√5∕)=√5t2-8√5t+16√5,

总结提升：本题考查了解直角三角形，函数关系式，勾股定理，等腰三角形的性质，函数自变量的取值

范围，熟练掌握解直角三角形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想.

类型二动点产生面积变化

5.(2022春•舒城县校级月考)如图所示，在矩形488中，AB=20,AD=16,点P从点A出发沿48以

每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运

动，点尸到达终点后，P、Q两点同时停止运动.

(I)当f=3秒时，线段OP=—.

(2)当f=—秒时，ABPQ的面积是24.

思路引领：(1)当f=3秒时，根据题意可得，AP=12,再根据勾股定理即可求解.

(2)设运动时间为f(f≤5)秒，则BP=20-4f,BQ=2f,根据ABPQ的面积是24列出方程，求解即

可.

解:(1)；当f=3秒时，4P=4X3=12,

根据勾股定理得DP=>JAP2+AD2=20.

故答案为：20.

(2)设运动时间为fCW5)秒，

此时，BP=20-4f,BQ=2t,

：的面积是24,

1

.∙.-∙(20-4t)∙2t=24,

整理得，i2-5/+6=0,

解得：tι=2,/2=3,

.∙.当f=2秒或3秒时，的面积是24.

故答案为：2或3.

总结提升：本题主要考查勾股定理、列代数式、一元二次方程的应用，根据题意找准数量关系，列出方

程是解题关键.

6.（2022秋•江门期末）如图，在AABC中，/8=90°,4B=5cτn,BC=8c∙"].点P从点A开始沿AB边

向点B以Icm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm∕s的速度移动，当其中一点到

达终点时，另外一点也随之停止运动.

（OAPQB的面积能否等于9cm2?请说明理由.

（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16CN2?请写出过程.

思路引领：（1）根据△尸QB的面积等于%〃，，即可得出关于f的一元二次方程，由根的判别式A=-11

<0,可得所列方程没有实数根，进而得出APQB的面积不等等于%a2；

（2）根据四边形APQC的面积等于16c∕√,即可得出关于f的一元二次方程，解之即可得出，的值，结

合当，=4时，C,。点重合，即可得出结论.

解：（1）丛PQB的面积不能等于90"2,

理由如下：

∙.'5÷l=5s,8÷2=4s,

运动时间Z的取值范围为：0WrW4,

根据题意可得：AP-tm,BP-（5-t）cm,BQ-2tcm,

假设4PQ8的面积等于9c,一,

则E（5T）X2t=9,

整理得：∕2-5r+9=0,

,.∙Δ=(-5)2-4×l×9=-ll<O,

.∙.所列方程没有实数根，

.,.∆PQB的面积不能等于9CW2;

(2)由(1)得：AP=tcm,BP=(57)cm,BQ=2tcm,运动时间/的取值范围为：0WfW4,

：四边形AP0C的面积等于16c#,

11

.∖~×5×8~~(5—t)×2t=16,

整理得：r2-5f+4=0,

解得”=1,(2=4,

当当，=4时，C,。点重合，不符合题意，舍去，

.∖t=1,

答：Is后，四边形APQC的面积等于16cτ∕.

总结提升：本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确

列出一元二次方程；(2)牢记当A<0时，方程无实数根.

类型三动点产生两点距离变化

7.(2022•安岳县模拟)如图所示，A,B,C,。为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=Scm,动点尸，Q分

别从点4,C同时出发，点P以3cτw∕s的速度向B移动，一直到达B为止；点。以2c,“∕s的速度向。移

动.当P,。两点从出发开始几秒时，点P和点。的距离是IOcm()(若一点到达终点，另一点也

随之停止运动)

A.2s或gsB.IS或gsC.-5D.2s或FS

思路引领：设当P、。两点从出发开始X秒时，点P和点。的距离是IOCTM,此时AP=3XS?,DQ=(16

-2x)cm,利用勾股定理即可得出关于尤的一元二次方程，解之即可得出结论.

解：设当P、Q两点从出发开始X秒时(XV学)，点P和点Q的距离是IOC布，

此时4P=3ΛZVM,DQ=(16-2X)cm,

根据题意得：(16-2χ-3x)2+82=102,

解得：X∖=2,X2=ɪ.

22

答：当P、Q两点从出发开始到2秒或w秒时，点P和点。的距离是IOcm.

故选：D.

总结提升：本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于X的一元二次方程是解

题的关键.

8.（2022秋•荔湾区校级期末）如图，正方形ABCD中，AB=5cm,以B为圆心，Icw为半径画圆，点P

是。8上一个动点，连接AP,并将4尸绕点A逆时针旋转90°至AP',连接8P',在点P移动的过程

中，BP1长度的取值范围是cm.

思路引领：通过画图发现，点P'的运动路线为以。为圆心，以1。"为半径的圆，可知：当P'在对角

线8。上时，BP'最小；当P'在对角线8。的延长线上时，BP'最大.先证明△/¾B四△「'AD,则P'

D=PB=I,再利用勾股定理求对角线8。的长，则得出BP'的长度的取值范围.

解：如图，当P在对角线BO上时，BP'最小；当尸'在对角线Bo的延长线上时，BP'最大.

连接BP,

①当P1在对角线8。上时，

由旋转得：AP=AP1,ZPAP'=90°,

.,.ZPAB+ZBAP'=90°,

；四边形488为正方形，

.∙.A8=AQ,NBAD=90°,

：.ZBAP'+ZDAP'=90°,

.∙.ZPAB=ZDAP',

ΛΔ∕¾β^∆P,AD,

：.P'D=PB=Xcm,

在Rt∆ABD中,

∖"AB=AD=5cm,

由勾股定理得：BEhJS2+52=5√2cvn,

:,BP'=BD-P'D=5√Σ-1,

BPBP'长度的最小值为(5√I-1)cm.

②当P'在对角线8力的延长线上时，

同理可得BD=5yf2cm,

：.BP'=BD+P'C=(5√2+l)cm,

即BP'长度的最大值为(5√2+l)cm.

.∙.BP长度的取值范围是(5√2-I)CnwBPW(5√2+l)cm

故答案为：(5√2-l)CnWBP'W(5√2+l)cm.

总结提升：本题考查了正方形的性质、旋转的性质、点与圆的位置关系和最值问题，寻找点P'的运动

轨迹是本题的关键.

9.(2022秋•海港区校级期末)如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),与y轴交于点B(0,2),

直线y=x+m与该二次函数的图象交于4,8两点，D是线段AB上的一个动点，过。作X轴的垂线交二

次函数的图象于点区则线段OE的最大值为

思路引领：根据题中条件可求出抛物线和直线的解析式，进而求出点A的坐标，根据点。是线段A8上

的一个动点，设出点。的坐标，再根据OEj_x轴，可得出点E的坐标，则可得出OE=—%∕+3,"=—±(〃?

-3)2+f,根据二次函数的性质即可求出最大值.

解：根据题意可设抛物线解析式为：y=“(χ-2)2

把B(O,2)代入可得：44=2,解得：α=ɪ,

・\抛物线解析式为：产；(X-2)2=-2x+2,

JCB(0,2)代入直线y=x+〃?可得：m=2,

.".y=x+2,

当吴-2x+2=x+2时，解得：xι=0,Λ2=6,

(6,8),

点D是线段AB上的一个动点，

,可设点。的坐标为("3w+2),且OWmW6,

；过。作X轴的垂线交二次函数的图象于点E,

.∙.点E的坐标为(m>-m2-2m+2),

2

1ɔ1,1,Q

.".DE—m+2-(.-nr-2m+2)=——弓(/n-3)"+5,

2222

V—ɪ<0.图象开口向下，旦0W,“W6,

9

.∙.当,〃=3时，DE有最大值，最大值为鼻；

9

故答案为：--

总结提升：本题主要考查的是二次函数之线段最大值题型，解题关键：一是求出抛物线与直线的解析式，

二是用含有m的式子表示出DE的长并配成顶点式.

类型四动点产生图形形状变化

10.(2022秋•阳泉期末)如图所示，已知AABC中，BC=∖6cm,AC=20cm,AB=12cro,点P是BC边上

的一个动点，点尸从点B开始沿BfCfA方向运动，且速度为每秒2cτw,设运动的时间为f(s),若^

ABP是以AB为腰的等腰三角形，则运动时间f=.

思路引领：分情况讨论：AB=BP,AB^AP,画出图形分别求解即可.

解：∙.∙8C=16CM7,4C=20C7W,AB^]2cm,

：.BC1+AB1=AC1,

.*.ZB=90o,

如图LAB=PB=∖2cm,

图1

.∙.r=12÷2=6s:

如图2,AP=AB=Mcm,

图2

∖BC+PC=(16+20-12)Cm=24cm,

.∙.t=24÷2=⑵;

如图3,AB=BP=I2cm,

图3

过点B作BDA.AC于D,则AO=PO,

11

•：SMBC=ʌ×AB×BC=ʌ×AC×BD,

・•・12X16=2030,

.,.BD=9.6cm,

由勾股定理得：AD=y/AB2-BD2=J122-

9.62=Q2cm,

ΛΛP=2AD=14.4cτw,

：.t=(16÷20-14.4)÷2=10.8s,

综上所述，t的值是6s或12s或10.8s.

故答案为：6s或12s或10.8s.

总结提升：本题考查的是等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会用

分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

11.(2022秋•中原区校级期末)如图，在矩形OA/7C中，OC=8√5,OA=16,8为C”中点，连接AB.动

点M从点。出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点8运动，两个动点同时出发，速

度都是每秒1个单位长度，连接CM,CN,MN,设运动时间为f(0Vf<16)秒，则r=时，LCMN

为直角三角形.

°Ma

思路引领：ZXCMN是直角三角形时，有三种情况，一是/CMN=90°,二是NMNC=90°,三是NMCN

=90°,然后进行分类讨论求出，的值.

解：过点N作OA的垂线，交OA于点F,交CH于点E,如图，

：B点是CH的中点，

1

.∙.BH=∣C∕7=8,

VΛ∕∕=OC=8√3,

・・・由勾股定理可求：AB=↑69

VAiV=/,

,BN=16-3

∖ΛNE∕∕AH.

：ABENsABHA,

.BNEN

AB~AH

.16T_EN

••16—8√3,

:∙EN=*(16-r),

/.F7√=8√3-EN=ɪr,

当NCMN=90°,

由勾股定理可求：AF=%

13

ΛMF=AM-AF=16-/一夕=16-金,

∙.∙NOCM+NCMO=90°,

NCMo+NFMN=90°,

：,/0CM=/FMN,

•：NO=NNFM=90°,

:ACOMsXMFN,

・OCOM

MFFN

8√3t

当NMNC=90°,

3t

CE=OF=OM^rMF=t+16-^t=16-1,

•：NMNF+∕CNE=96°,

NECN+NCNE=9C,

・•・/MNF=ZECNf

•：NCEN=NNFM=,

：・丛CENS∕∖NFM,

.CEEN

FN-MFf

16-^^(16-t)

•N/

Ξ

.•石二^?

V0<r<16,

∙*∙t=8>

当NNCM=90°,

由题意知：此情况不存在，

综上所述，ACMN为直角三角形时，U号或8.

总结提升：本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性

12.(2022秋•中原区月考)如图，在矩形A3C。中、AB^∖5cm,AD=5cm,动点尸、。分别从点A、C同

时出发，点P以3cm∕s的速度向点B移动，一直到点B为止，点。以2cm∕s的速度向点。移动(点P停

止移动时，点。也停止移动).设移动时间为/(s).连接PQ，QB.

(1)当f为何值时，P、Q两点间的距离为13c∕n?

(2)四边形APQO的形状可能为矩形吗？若可能，求出f的值；若不可能，请说明理由.

思路引领：(1)可通过构建直角三角形来求解.过。作QMLAB于M,如果设出发X秒后，QP=I3cm.那

么可根据路程=速度X时间，用未知数表示出PM的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值.

(1)利用矩形的性质得出当AP=OQ时，四边形AP。。为矩形求出即可；

解：(1)设出发/秒后尸、Q两点间的距离是130".

则4P=3f,CQ=2t,作QM_LA8于M,

则PM=II5-2z-3∕∣=∣15-5/|,

(15-5t)2+52=132,

解得：t=0.6或t—5.4,

答：P、。出发0.6和5.4秒时，P,。间的距离是13c”；

(2)四边形APDQ的形状有可能为矩形；

理由:

当四边形APQQ为矩形，则AP=OQ,

即3/=15-2t,

解得：r=3.

答：当R。出发3秒时四边形APQ。为矩形.

总结提升：本题考查了一元二次方程的应用，本题结合几何知识并根据题意列出方程是解题的关键.

13.(2022春•淄川区期中)如图，在梯形ABC。中，AD//BC,NC=/0=90°,BC=16,Co=I2,AD

=21.动点P从点。出发，沿线段D4的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点。从点C出发，在

线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动.点尸，。分别从点。，C同时出发，当点P运动到

点A时，点。随之停止运动.设运动时间为f(s),当f为何值时，以8,P,。三点为顶点的三角形为

等腰三角形？

思路引领：以B,P,。为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=P。时，当PQ=8。时，当

BP=BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论.

解：如图1,当PB=PQ时，作PEVBC于E,

1

.,.EQ=扣Q,

∙∙∙CQ=r,

：.BQ=16-3

∙*∙EQ=8-3,

11

∙"∙EC=8-2”+'=8+可、

解得：U学

如图2,当PQ=BQ时，作QEj_A。于E,

：.ZPEQ=ZDEQ=90o,

VZC=ZD=90o,

.∙.ZC=ZD=ZDEQ=90°,

.∙.四边形QEQC是矩形，

：.DE=QC=3

：.PE=t,QE=CD=12.

在Rt中，由勾股定理，得

PQ=√t2+144.

16-?=√t2+144,

解得：r=∣;

如图3,当BP=8。B寸，作PfLLBC于E,

'：CQ=t,

：.BP=BQ=BC-CQ=16-r,

•：PD=2t,

.∖CE=2t,

.∙.8E=16-2f,

在RtZ∖BEP中，

(16-2/)2+122=(16-/)2,

3»-32f+144=0,

Δ=(-32)2-4×3×144=-704<0,

故方程无解.

综上所述，仁竽或(时，以B,P,。三点为顶点的三角形为等腰三角形.

BQc

ɔ

总结提升：本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程

的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键.

14.(2022秋•崇左期末)已知抛物线y=αx2+⅛r+3(a≠0)交X轴于4(1,0)和B(-3,0),交y轴于C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若〃为抛物线上第二象限内一点，求使aMBC面积最大时点M的坐标；

(3)若尸是对称轴上一动点，。是抛物线上一动点，是否存在尸、Q,使以8、C、F、。为顶点的四边

形是平行四边形？若存在，直接写出点。的坐标.

思路引领：(1)由待定系数法即可求解；

(2)由∕∖MBC的面积=SABNM+SACMN,即可求解；

(3)当BF(BC、BQ)是对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解.

解：(1)把A(1,0)和2(-3,0)代入y=0χ2+⅛v+3(a≠0),得：

fq+hΛlV∩＞解得｛广W

(9Q—3b+3=03=-2

抛物线解析式为y=-7-2x+3；

(2)；例为抛物线上第二象限内一点，如图，过点M作MNJ_x轴交BC于点M

;抛物线解析式为y=-2x+3,β(-3,0)

：.C(0,3),

.∙.OC=3,OB=3,

设直线BC解析式为y=kx+b,则「。二°，

解得：｛£=：,

3=3

・•・设直线BC解析式为y=x+3,

设Λ/（w,-W2-2/77+3）,N（川，m+3）,

：•MN=-τ∏2_2τπ+3_TR_3=_τn^_3τn=_（jxι+务2+—,

Q9

工当m=-小寸，MN有最大值一，

乙4

当m=-∣时，ZXMBC的面积最大，

127

∙*∙∕∖MBC的面积=SZ∖8NΛ∕+SZ∖CMN=ɪ×3×M/V=-ɛ-,

此时点M的坐标为（一?，苧）；

(3)存在.理由如下：

：抛物线解析式为y=-7-2x+3=-(X+I)?+%

抛物线的对称轴为直线X=-1,

设点Q(，〃，-nr-2w+3),点尸(-1,/),

当5C是对角线时，由中点坐标公式得：-3="L1,

解得：m=2,则点Q(-2,3)；

当SF是对角线时，由中点坐标公式得：-3-l=m,

解得：，”=-4,则点Q(-4,-5)；

是对角线时，由中点坐标公式得：∕M-3=-1,

解得：m=2,则点。(2,-5)；

综上所述，点Q的坐标为(-2,3).(-4>-5),(2,-5).

总结提升：本题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，平行四

边形的判定，三角形的面积，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质.

类型五动点产生三角形相似

15.(2022秋•亳州期末)如图RtZ∖4BC的两条直角边AB=4cm,AC=3cs,点力沿AB从A向B运动，速

度是Icmk,同时.，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm∕s.动点E到达点C时运动终止.连接DE.

CD、AE.

(1)当动点运动秒时，△〃£>E与AABC相似;

(2)当动点运动秒时，CDLDE.

C

ADb

思路引领：(1)分当时，当ABDES∕∖BCA时,两种情况利用相似三角形的性质求解即

可；

(2)如图所示，过点E作EFlAB于F,证明48EFS求出BF=∣fc∕n,EF=^tcm,则DF=(4-

,13工

1ɔACDF34-—C

号t)cm,再证明得到诟=―,即Z=—6^-,解方程即可.

解：(1)由题意得AO=fcm,BE=2tcm,则BC=AB-AD=(4-r)cm,

在RtAABC中，由勾股定理得BC=y∕AB2+AC2=5cm,

当48DESz∖BAC时;

.££,££即二.三

••一,L、IJ—,

BDBA4-t4

解得t=~

当ABDEsABCA时，

.更一也即二

BDBC4-t5

解得t=~

综上所述，当t=患或t=?时，Z∖8∕)E与AABC相似，

208

故答案为：■或二；

137

(2)如图所示，过点E作于凡则EF〃AC

o6

BF=-ξtcm,EF=弓fcm，

13

：.DF=BD-BF=（4一菅t）cm

VCD±DE,

INCDE=90°,

/.ZACD+ZADC=90o=∕ADC+NFDE,

：.ZACD=ZFDEf

又•：NCAD=NDFE=9C,

/.IXACDSXFDE,

•.=，KJ-=-7，

ADEFt

解得t=ɪ.

故答案为：ɪ.

总结提升：本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是

解题的关键.

16.（2022秋•渠县校级期末）如图，直线y=-%+8与X轴、），轴分别交于点A、B,一动点尸从点A出发，

沿A一。一B的路线运动到点8停止，C是AB的中点，沿直线PC截4A08,若得到的三角形与AAOB

相似，则点P的坐标是.

y

思路引领：先由直线y=-%+8与/轴、y轴分别交于点A、B,求得A(6,0),B(0,8),再根据勾股

定理求得AB=I0,则AC=C8=5,分三种情况讨论，一是点尸在OA上，且AAPCSA4OB,此时PC

pBCB

//OB可求得P0=AP=3,则P(3,0)；二是点P在。8上，则一=—,可求

9ABOB

7ς77

得PB=牛,所以OB=:,则P(0,-)；三是点P在08上，且4CPBSM0B,此时PC〃。4,可求

zt∙zr4Z

得OP=PB=4,则P(0,4).

4

-

3当X=O时，y=8；

4

当y=0时，则一手τ+8=0,解得x=6,

ΛA(6,0),B(0,8),

VZAOB=W0,OA=6,08=8,

：.AB=y∕0A2+OB2=√62+82=10,

•・・C是AB的中点，

1

：.AC=CB=^AB=5,

如图1,点P在。4上，

，ZAPC=ZAOB,

：.PC//OB,

APAC

•__________1

••——1,

POCB

.'.PO=AP=∣OA=3,

：.P(3,0)；

如图2,点P在上，

PBCB

AB一OBf

ABCB10×5_25

LPB=

OB^^8-=T,

7

245=-

4

7

：.P（O,-）；

4

如图3,点P在03上，且aCP8s∕vi08,

：・/CPB=NAOB,

.∖PC∕∕OAf

OPAC

•_____—1

••—―J，

PBCB

：.OP=PB=∣0B=4,

：.P（0,4）,

7

综上所述，点P的坐标是（3,0）或（0,一）或（0,4）.

4

总结提升：此题重点考查一次函数的图象与性质、图形与坐标、勾股定理、相似三角形的性质、平行线

分线段成比例定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性质强，应注意按点

尸的不同位置分类讨论，求出所有符合题意的答案.

17.(2022秋•唐河县期末)如图，在矩形ABC。中，AB=3cm,BC=6cm,动点M以lc∕n∕s的速度从A点

出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm∕s的速度从点。出发，沿D4向点A运动，设运动的时间

为t秒(0<r<3).

(1)当f为何值时，的面积等于矩形ABCD面积的2?

(2)是否存在某一时刻/,使得以A、N为顶点的三角形与AACD相似？若存在，求出f的值：若

不存在，请说明理由.

思路引领：(1)根据矩形的性质求出/840=90°,求出AM、AM根据三角形的面积公式，利用S=JX18

建立方程，解之即可；

(2)先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的f值即可说明存在，反之则不

存在.

解：(1)：四边形ABC。是矩形，

,∖AD=BC=6cm,NBAD=90°,

AM=tcm,AN=6-It(cm),

∙*∙S,∖AMN=2AN*AM—2×(6-2/)Xt--(t—m)~+4(0≤∕≤3),

依题意得：-(r—?)?+[=2x3X6,

Z2-3f+2=0,

“=2,t2-∖.

1

答：经过1秒或2秒时，的面积等于矩形A8C。面积的一；

9

(2)设运动时间为f秒，

由题意得ON=2f(a”)，AN—(6-2f)(cm),AM—t(cm),

岩ANMASXACD,

则有A。：AN=CD:AM,即6：(6-2/)=3：t,

解得r=L5,

则有AD：AM=CDtAN,即6：1=3：(6-2t),

解得r=2.4,

答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与aACD相似.

总结提升：本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

类型六动点产生两直线位置关系变化

18.(2022秋•路南区校级期末)如图，矩形ABC。中，AB=16,BC=8,点P为AB边上一动点，DP交

AC于点Q.

(1)求证：XhPQS∕∖CDQ∙,

(2)P点从4点出发沿AB边以每秒2个单位长度的速度向B点移动，移动时间为，秒.当，为何值时，

DPLACi

思路引领：(1)根据矩形的性质可得CD//AB,根据平行线的性质可得NoCQ=∕QAP,ZPDC^ZQPA,

进而可得判定AAPQS∕XCQQ;

(2)首先证明4D4PsAABC,结合相似三角形即可得到，的值.

(1)证明：；四边形4BCD是矩形，

.∖CD∕∕AB,

.∖ZDCQ=ZQAP,ZPDC=ΛQPA,

：.MAPQS∕∖CDQ∖

(2)解：当f=2时，DPVAC-,

VZADC=90°,DPLAC,

/AQO=/AQP=∕ABC=90°,

，NC48+NAPQ=ZCA8+NACB=9()°,

ZAPQ=ZACB,

JADNPsXABC,

DAAP

••—，

ABBC

.82t

"16^8

解得：r=2,

即当r=2时，DPLAC.

总结提升：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相

似三角形对应边成比例.

类型七动点产生最值

19.（2022秋•荆门期末）如图，平面直角坐标系中点A（6,0）,以。4为边作等边AOAB,∆OΛ,B1与

△OAB关于y轴对称，M为线段。夕上一动点，则AM+BM的最小值是（）

思路引领：连接4'M.首先证明08'垂直平分线段A'B,推出4'、B关于OB'对称，由M4+MB

=MA'+MA^A,A,可知此时当点M与O重合时，AΛ∕+BM的值最小，最小值为12.

解：连接A'M.

ΛZA,OB'=NAoB=NBOB'=60o,OA'=OB,

"：OM=OM,

.".ΔOMB^ΔOMAl(SAS),

ΛA,M=BM,ZOMA1=NoMB=90°,

：.0B'垂直平分线段A'B,

.∙.A'、B关于OB'对称，

"."MA+MB=MA+MA'^A1A,

/.当点M与。重合时，AM+BM的值最小，最小值为12,

.∙.8M+AM的最小值为12.

故选：C.

总结提升：本题考查等边三角形的性质、轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，属于中考常考题型.

20.(2022•扬州三模)如图，已知正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一动点，连接ED,将ED绕

点E顺时针旋转90°至∣JEF,连接。F,CF,则。F+CF的最小值是()

A.4√5B.4√3C.5√2D.2√13

思路引领：连接8F,过点尸作尸GJLAB交AB延长线于点G,通过证明A4Ef)丝Z∑GFE(A4S),确定尸

点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C,由三角形全等得到NCBF=45°,从而确定C点

在AB的延长线上；当。、F、C三点共线时，OF+CF=QC最小，在RtaAOC中，AD=A,AC=8,求

出Z)C=4√5即可.

解：连接8尸，过点F作尸GL48交48延长线于点G,

,/将ED绕点E顺时针旋转90°到EF,

.∖EF±DE,EF=DE,

.,.ZEDA=ZFEG,

在△△£：£>和AGFE中,

/.A=乙FGE

∆EDA=NFEG,

DE=EF

Λ∆AED^ΔGFE(AAS),

：.FG=AE,AD=EG,

`:AD^AB,

.".AB=EG,

.∙.AE=BG,

.∙.BG=FG,

.∙.F点在8尸的射线上运动，

作点C关于BF的对称点C,

`:EG^DA,FG=AE,

：.AE=BG,

：.BG=FG,

.∙.∕F8G=45°,

ΛZCBF=45q,

；.BF是NCBC的角平分线，

即F点在NCBC'的角平分线上运动，

二。点在AB的延长线上，

当。、F、C三点共线时，。尸+CF=OC最小，

在RtZXAQC中，AD=4,AC=8,

：.DC=y∕AD2+AC2=√42+82=4√5.

J.DF+CF的最小值为4√5,

故选：A.

总结提升：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转

化为共线线段是解题的关键.

21.（2021秋•殷都区期末）如图，在aABC中，ZC<90o,NB=30°,AB=10,AC=J,。为AC的中

点，M为BC边上一动点，将aABC绕点A逆时针旋转角α（0o<α≤360o）得到4A8'C,点M的对

应点为连接。M1,在旋转过程中，线段OM的长度的最小值是（）

B,

C

M

M∖

A.1B.1.5C.2D.3

思路引领：。为AC的中点，M为Be边上一动点，则当。±B'C'时，OM'最短，将aABC绕点

A逆时针旋转角α（0°<a≤360o）的过程中，当OM'在直线AC上时，OM'最短，然后根据旋转的

性质得到NB=NB'=30°,BA=B'4=10,再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AM'=∣β,

A=3,而Ao=3.5,所以M'O=AM'-AO=I.5.

解：连接AM,AM1,

根据题意，点M'在以A点为圆心，AA/为半径的圆上，

1

当AM_L8C时，AM最短，此时AM=WBA=5,

'：M'O^AM'-Ao（当且仅当M'、A、O共线时取等号），

：.M'。的最小值为5-3.5=15

总结提升：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

22.（2022秋•横县期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴A。上的动点，连接EC,将线

段EC绕点C逆时针旋转60°等到尸C,连接。F,则在点E运动过程中，QF的最小值是（)

A

一

A.√3B.1.5C.2√3D.6

思路引领：取线段AC的中点G,连接EG,根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及

NFCD=NECG,由旋转的性质可得出EC=FC,由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出AFCO

AECG,进而即可得出QF=GE,再根据点G为