辽宁省大连市中山区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年度第一学期期末质量检测

八年级数学

本试卷共六大题，25小题，满分120分.考试时间100分钟.

一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的）

1.下列手机中的图标是轴对称图形的是（）

【答案】c

【解析】

【分析】直接根据轴对称图形的概念求解.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念.解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念.

2.使有意义的尤的取值范围是（）

A.x<3B.x<3C.x>3D.x>3

【答案】c

【解析】

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于X的不等式，求出尤的取值范围即可.

【详解】解：•••式子有意义,

.*.x-3>0,

解得这3.

故选c.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键.

3.平面直角坐标系中，点(T,3)关于y轴对称的点的坐标为()

A.(4,-3)B.(4,3)C.(-4,-3)D.(3,T)

【答案】B

【解析】

【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求出对称点.

【详解】解：点(-4,3)关于y轴对称的点的坐标是(4,3),

故选：B.

【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是熟知关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐

标互为相反数.

4.下列运算正确的是()

A.3tz,2a=6(7B.(a-)=a，C.a"=2D.(a+〃)=4+b?

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用单项式乘单项式的法则、幕的乘方、同底数塞的除法法则和完全平方公式分别进行计算，

最后进一步加以判断即可.

【详解】A：3a2-2a=6a3.计算错误，不符合题意；

B:(。一2,3=。6,计算正确，符合题意；

C：a4^a2=a2,计算错误，不符合题意；

D：(a+b)1=a2+2ab+b2,计算错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式的法则、幕的乘方、同底数塞的除法法则和完全平方公式，熟练

掌握相关运算法则及公式是解题关键.

5.下列计算错误的是()

A.6+6=也B.“3)2=3c.V3xV2=V6D.后+6=收

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次根式的加法，乘除法和二次根式的性质求解判断即可.

【详解】解：A、出和血不是同类二次根式，不能合并，计算错误，符合题意;

B、"3）2=百=3,计算正确，不符合题意；

C、73x72=76.计算正确，不符合题意；

D、=计算正确，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，二次根式的性质，熟知二次根式的相关运算法则是解题的

关键.

与分式士^

6.相等的是（

-a-b

a+ba-ba-b

A-------B.-------c.3D.---------

a-ba+ba-ba+b

【答案】B

【解析】

【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时乘-1即可.

一八-a+b-ia-b\a-b

【详解】解：——-=4—/=-

-a-b-ya+b)a+b

故选B.

【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是灵活运用分式的基本性质解决问题，属于基础题，中考

常考题型.

7.如图，要测量一条河的宽度A3,先在A3的垂线上取两点C、D,使BC=CE>,再过点。作

DELBF,要使点A、C、E在同一条直线上，则可以说明△ABC之△EDC，从而得到=因

此测得OE的长就是AB得长，判定△ABC之△EDC的依据是（）

A.SASB.HLC.SSSD.ASA

【答案】D

【解析】

【分析】根据对顶角相等得出NAGB=NECD,根据题意得出3C=CD,根据垂直的定义得出

ZABC=ZEDC,即可根据ASA证明△A3C名AEDC.

【详解】解：在一ABC和△石。。中，

ZACB=ZECD

<BC=CD

ZABC=ZEDC

：.ABC^EDC（ASA）,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有

SSS,SAS,ASA,AAS,HL.

8.若多项式k+^+c因式分解的结果为（龙―2）（x+3）,则匕+c的值为（）

A.—5B.—1C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】由整式乘法与因式分解互逆，则根据多项式乘多项式即可求得仇c的值，即可求解.

【详解】解:（x-2）（x+3）=x2+x-6,

x2+bx+c=x1+x-6，

..—1?c——6,

Z?+c=1+(—6)=—5,

故选：A.

【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，以及求代数式的值，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则.

9.如图，AABC%ADEC,点、B,C,。在同一条直线上，且CE=1,CD=3,则BD的长是（）

A.1.5B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质得出5C=EC=1,,根据5D=5C+CD即可求解.

【详解】解：•；AABgADEC,CE=1,CD=3,

：.BC=EC=1,

BD=BC+CD=l+3=4,

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解本题的关键.

10.如图所示，以/AOB的顶点。为圆心，适当长为半径画弧，交。4于点C,交03于点

再分别以点C、D为圆心，大于-CD长为半径画弧，两弧在NAOB内部交于点E，过点、E

2

作射线OE,连接CD•则下列说法错误的（）

A.射线OE是ZAOB的平分线

B.ACOD是等腰三角形

C.C、D两点关于OE所在直线对称

D.。、£两点关于CD所在直线对称

【答案】D

【解析】

【分析】根据题中作图得到射线OE是ZAOB平分线，OC=OD,推出△COD是等腰二角形,

点、C、D两点关于OE所在直线对称，由此判断.

【详解】解：由题意得射线OE是ZAOB的平分线，OC=OD,

•••△COD是等腰三角形，点C、£＞两点关于OE所在直线对称，

故A、B、C正确，故不符合题意；D错误，故符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考查了角平分线作图，等腰三角形的定义，轴对称的性质，正确掌握角平分线的作图是解

题的关键.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

1

11.化简忑=•

【答案】聂

5

【解析】

【分析】分子，分母都乘以君即可得到答案.

【详解】解：3=/「二立,

V5V5xV55

故答案为：叵.

5

【点睛】本题考查的是分母有理化，掌握分子分母都乘以分母的有理化因式进行分母有理化是解题的关

键.

12.因式分解X3—9X=.

【答案】X(x+3)(X-3)

【解析】

【分析】先提取公因式无，再利用平方差公式进行分解.

【详解】解：x3-9x,

=x(x2~9),

=x(x+3)(x—3).

【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式

要彻底.

13.计算：(15。2匕-10。/)+5。匕=.

【答案】3a—2b

【解析】

【分析】根据多项式除以单项式法则进行计算即可.

【详解】解：(15a2b-10ab2^5ab

=15a2b4-5ab-1Oab2+5ab

=3a—2b

故答案为：3a—2b

【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式：多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，再把所

得的商相加，掌握多项式除以单项式法则是解题的关键.

14.如图，是屋架设计图的一部分，点。是斜梁的中点，立柱BC,OE分别垂直于横梁AC,若

AB=7.6m,NA=30°,则立柱DE的长为m.

【答案】1.9

【解析】

【分析】根据题意，在RtABC中运用“30°所对的直角边等于斜边的一半”求解BC,进而由中位线的

判定及其性质可得OE.

【详解】解：在RQABC中，AB=7.6m,ZA=30°,

：.BC=-AB=3.8m,

2

由题意，知：BC±AC,DEIAC,

：.DE//BC,

为AB的中点，

/.OE是的中位线，

/.DE=-BC=1.9m,

2

故答案为：1.9.

【点睛】本题考查含30°直角三角形，三角形中位线的判定及其性质，熟练理解并运用定理是解题关

键.

15.如图，已知：ABC中，ZC=90°,AC=40,应）平分/ABC交AC于。，AD;DC=5;3,则

。点到AB的距离是.

【答案】15

【解析】

【分析】先求出CD的长，再根据角平分线的性质即可得出结论.

【详解】解：VAC=40,AD:DC=5:3,

3

DC=40x-=15.

8

,/3D平分NABC交AC于D,

点到A3的距离是15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.

16.如图，ABC中，AB,AC的垂直平分线4,4相交于点。，若4c等于0，则•（用

含a的式子表示）

【答案】900-a

【解析】

【分析】连接。4,根据线段垂直平分线的性质得到Q4=OB,OA=OC,再根据等腰三角形的性质以及

三角形的内角和定理即可求解.

【详解】解：连接Q4,如图所示：

4，4分别是AB，AC的垂直平分线，

:.OA=OB,OA=OC,

NOBA=NOAB,ZOCA=ZOAC,

.­.ZOBA+ZOCA=ZOAB+ZOAC=ZBAC=a,

OA^OB,OA^OC,

OB—OC,

ZOBC=ZOCB=1[180°-(NBAC+ZOBA+ZOCA)]=1(180°-2«)=90°-«,

故答案为：90°—。.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握垂直平分线上任意

一点到线段两端点的距离相等.

三、解答题(本题共4小题，其中17题6分，18题、19题、20题每题各8分，共30分)

17.如图，NB=NC=90。，点、E、产在线段上，AF=DE,BE=CF.求证：AB=DC.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据5E=C/，得出BF=CE,再利用HL证明直角三角形全等，即可得出结论.

【详解】证明：：5石=。万，

：.BE+EF=CF+EF,

：.BF=CE,

在Rt^ABF和RtVDCE中，

AF=DE

BF=CE'

RtAABF^RtADCE(HL),

：.AB=DC.

【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形的判定方法.

18.计算：

(1)2712-6^1+3^/48；

⑵(6+3收-2).

【答案】(1)1473

⑵.3+有

【解析】

【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后再合并即可.

（2）利用多项式乘法展开，然后再合并即可.

【小问1详解】

解：原式=46—2百+128=14百

【小问2详解】

解：原式=（有『+36-26-6=3+6-6=-3+百

【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，

然后合并同类二次根式.在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰

当的解题途径，往往能事倍功半.

19.计算：

,、11〃+3

（1）-------•—---'-----；

CL+2〃+1CL—1〃+1

Y3Y

（2）解方程：'一=〜一+1.

x+12x4-2

2

【答案】（1）2（2）x=—

3

【解析】

【分析】（1）先将分母位置的多项式进行因式分解，再将除法化为乘法，再根据分式的乘法运算进行约分计

算即可；

（2）两边先同时乘以最简公分母，化为整式方程再解方程即可，注意检验.

【小问1详解】

1（«+l）（a-l）a+3«-1a+32a+2

胜.尿队（a+i）21a+1a+1a+1a+1

【小问2详解】

解：方程两边乘2（x+l）,得2x=3x+2（x+l）.

29

解得：x=――,检验：当％=—§时，2（x+l）w0,

所以，原分式方程的解为x=

3

【点睛】本题主要考查的是学生对分式的化简以及分式方程的掌握程度，需要注意的是解分式方程时要对

根进行检验.

20.列方程解应用题

甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间于乙打180个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙

少打15个字，求甲平均每分钟打字的个数.

【答案】甲平均每分钟打45个字.

【解析】

【分析】设甲平均每分钟打x个字，则乙平均每分钟打(x+15)个字，根据甲打135个字所用时间与乙打

180个字所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解方程即可得出结论.

【详解】设甲平均每分钟打了个字，则乙平均每分钟打(尤+15)个字.根据题意，得：

135180

x%+15

解得：％=45.

检验：当x=45时，x(x+15)w0.

所以，原分式方程的解为x=45.

答：甲平均每分钟打45个字.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

四、解答题(本题共2小题，其中21题9分，22题9分，共18分)

21.如图，_ABC中，AB=AC=a,BC=b,ZA=40°.

(1)作边A3的垂直平分线MN,交AC于点。；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)连接3D,求的度数；

(3)△3CD的周长为.

【答案】(1)见解析(2)30°

(3)a+b

【解析】

【分析】(1)利用基本作图作A3的垂直平分线；

(2)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可计算出NA3C=70°,再利用线段垂直平分线的性质得到

ZM=,所以ZABD=ZA=40°,然后计算出ZABC-ZABD即可.

(3)利用垂直平分线的性质知=再利用周长的定义即可得解.

【小问1详解】

如图所示

A

【小问2详解】

,：AB=AC,：.ZABC=ZACB,

：.ZABC=1(180°-ZA)=1(180°-40°)=70°,

：MN垂直平分AB,ZM=Q5，

ZABD=ZA=40°,ZDBC=ZABC-ZABD=70°-40°=30°.

【小问3详解】

：垂直平分AB,ZM=Qg，

C-BD+CD+BC—AD+CD+BC—AC+BC=a+b

DRLr-LnJ

即△BCD的周长为a+b.

故答案为：a+b

【点睛】本题考查了作图-基本作图：作线段的垂直平分线及等腰三角形的性质，熟练掌握用尺规作线段垂

直平分线的方法及线段垂直平分线的性质是解题的关键.

22.(1)如图1,将边长为(a+b)的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是；(填序号)

①+=a2+2ab+b2；②(a—=cr-2ab+b2

(§)(a+/?)(«-Z?)=a2-b1；=a2+ab

(2)利用上面得到的乘法公式解决问题：

①已知a+方=5,ab=3,求/+/的值；

②如图2,点C是线段A3上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接若AB=7,两正方形

的面积和工+S2=23,求△3CD的面积.

图1

【答案】(1)①；

13

(2)①19；②一

2

【解析】

【分析】(1)根据正方形的面积有两种不同的表示方法即可得出等式.

(2)①根据乘法公式(々+人)2="+2m+廿，将。+匕=5,。/?=3整体代入即可求出/+后的值；

②设正方形ACDE的边长为。，正方形BCFG的边长为6,由题意得a+b=7,标+廿=23。根据乘法

公式(。+人)2=/+2必+/,将。+/?=7,=23整体代入即可求出"的值，进而求出△3CD的

面积.

【详解】解：(1)图1的正方形的面积可以表示为(a+b)2,也可以表示为/+/+/?+〃，即

c^+lab+b2，因此可以验证的乘法公式是(a+b)2=/+2"+〃.

故答案为：①

(2)@-：a+b=5,

(«+/?)'=25，

a2+2ab+b2^25

又,：ab=3,

・•・/+从=25-2仍=25-6=19.

(2)设正方形ACDE的边长为。，正方形5c5G的边长为人，

由于AB=7,两正方形的面积和$+82=23,

:•a~\~b=1,/+/=23,

*.*(〃+6)2-+2〃人+62,

即49=23+2",

ab=13,

113

・・・阴影部分的面积为一〃b=—,

22

13

即△3CD的面积为一.

2

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用.熟练掌握完全平方公式，并且会灵活变形解决相关问题是解

题的关键.

五、解答题（本题共2小题，其中23题10分，24题12分，共22分）

23.定义:若分式M与分式N的差等于它们的积，即M-N=2VW,则称分式N是分式〃的“关联分式”.

222

（1）已知分式一一，试说明是一一的“关联分式”；

u—16Z+1CL—1

1

（2）小聪在求分式三一r的“关联分式”时，用了以下方法：

x+y

111

设▼的“关联分式”为N'则▼一NA7=AT

/

—\—•N=

x2+y2'x2+y2+l

请你仿照小聪的方法求分式;;—x+一y的“关联分式”.

2x-3y

（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式一乙的“关联分式”：______

b-a

n—2H7+2

②若------;—是」一^的“关联分式”，则m+〃的值为.

mx+m~+nmx+n

【答案】（1）见解析（2）；/

3x-2y

（3）①；；②J

b/

【解析】

【分析】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可；

（2）仿照小聪的方法进行求解即可；

（3）①根据解析（2）找规律求出，的关联分式即可;

b-a

n-2="i+2①

②根据关联分式分子，分母规律可知,然后整理求出结果即可.

mx+m2+n=mx+n2+m+2②

【小问1详解】

222(a2+l)-2p-l)4

g.••----------=—1--------1---L=----------

*a2-la2+l(«2-1)(«2+1)(«2-1)(«2+1)

224

____x____—____________

a2-1a2+1(a2T(a?+])，

22

•..一丁是一「的关联分式.

a+1d—1

【小问2详解】

x+V

解：设^—1的关联分式是N,贝!J：

2x-3y

(、

%+y

-----+1-N=

(2x-3y)2x-3y

3x-2y.N=关+y

2x-3y2x-3y

x+y

NA7=---.

3x-2y

【小问3详解】

解：①根据解析（2）可知，一心的关联分式为：

b-a

a（ayabab-aa

__________F]=____；----=_________=一

b-a\b-a）b-ab-ab-abb

故答案为：—；

b

n—2日m+2

的“关联分式”，

mx+m2+〃mx+n2

n-2=m+2®

mx+根2+〃=mx++加+2②

由①得加一〃，

由②得：m2—n2=m—n+2f

即（机+〃）（根一〃）=根一〃+2,

把加一〃■代入得：-4（m+?i）=-2,

解得：m+n=—.

2

故答案为：

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是找出关联分式中分子、分母的规律，得出

n-2=m+2

<

mx+rrr+n=mx+rr+m+2

24.—ABC是等边三角形，点。是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AD=CE.

图1图2

（1）如图1,当点。是AC的中点时，求证：DB=DE-,

（2）如图2,当点。是AC上任意一点时，取的中点产，连接AF,AE.求44七的度数

【答案】（1）见解析（2）60°

【解析】

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出NA5C=NACB=NA=60。，再由“三线合一”的性质及角平分

线得出NDBE=/DEB,再由等角对等边即可证明；

（2）延长■至G,使”=FG,连BG,根据全等三角形的判定得出之△GEB（SAS）,

△ABG^AACE（SAS）,再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果.

【小问1详解】

证明：在等边一ABC中，AB=BC=AC,

：.ZABC=ZACB=ZA=60°,

。是AC的中点，

：.AD^CD,8。平分/ABC,

；AD=CE,

**.CD-CE,

ZDEC=NCDE=-ZACB=30°,ZDBC=ZABD=-ZABC=30°,

22

ZDBE=ZDEB，

：.DB=DE.

【小问2详解】

如图所示，延长A厂至G,使萧=尸6,连BG,

:产为的中点,

:•BF=DF,

在△AED和一GEB中,

FD=BF

<ZDFA=ZBFG,

FA=FG

：.在△GEB(SAS),

:.AD=BG,ZADF=ZGBF,

：.BG//AC.

AZGBC=ZACB=60°,ZABG=ZABC+Z.GBC=120°,ZACE=1300-ZACB120°,

：.ZABG^ZACE

又；AD=CE,

：.BG=CE

在.ABG和中，

AB=AC

<ZABG=ZACE,

BG=CE

AABG^AACE(SAS),

ZBAG=ZCAE,

ZFAE=ZFAD+ZDAE=ZFAD+ZBAF=ABAC=60°.

【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题

意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键.

六、解答题（本题12分）

25.如图，ADB与V3c4均为等腰三角形，AD=AB=CB,且NABC=90°,E为03延长线上一点,

ZDAB=2ZEAC.

A

DBE

(1)若NE4C=20。，求NCBE的度数；

(2)求证：AE±EC；

⑺若BE=a,AE=b,CE=c,求一ABC的面积(用含。，b,c的式子表示).