2023届新教材高考数学二轮复习解答题练习 数列B卷

(4)数列

B卷

1.已知数列｛%｝的前5项分别为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,数歹U｛4｝满足

an

⑴求他｝的前〃项和S

(2)求数列[岩的前〃项和Tn.

.ɔ-J

2.已知数列｛%｝满足at=1,2S,,=3a,l-4n.

(1)证明：数歹∣J｛∕+2｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)设Vj),求数列｛4｝的前九项和小

3.已知等差数列｛%｝的各项均为正数，其前〃项和为S,,且满足q+为=^^，S]=63.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列"｝满足4=%,且鼠「2=4+|,求数列的前〃项和

I"n

；%+〃,〃为奇数

4.已知数列｛%｝满足q=l,a,向

all-2M,〃为偶数

(1)求牝，aτ,；

(2)设2=%,-2,求证：数列也｝是等比数列，并求其通项公式；

(3)已知c.=log∣M,J,求证：-ɪ-+-^-++—i—<1.

ICQc2c3cπ,,cπ

5.7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该

款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服

装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.

(1)求7月几日该款服装销售最多，最多售出几件.

(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连

续下降并低于20件时，则不再流行.求该款服装在社会上流行几天.

6.已知｛4.｝是各项均为正数的数列，其前〃项和为S,,,且S“为明与5的等差中项.

（1）求证：数列£；｝为等差数列；

（2）设"=a,求｛a｝的前IOO项和小.

an

7.已知数列｛对｝的前〃项和为Sn,且2%=2+S,,.

（1）求数列｛对｝的通项公式；

（2）若-J,求数列也,｝的前〃项和7；.

8.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,.

（1）若，=2,Sn+l=25,,+2,证明：Sn=an+l-2;

（2）在（1）的条件下，若d=log24,数列出｝的前〃项和为7；,求证

111IC

T1T2T｝Tn

2

9.设数列也｝的前n项和为Sn=2n-l,数列出｝的前〃项和为Q,=2h,,-2.

（1）求数列｛0,,｝和低｝的通项公式；

（2）设c,,=%,求数列｛c,,｝的前〃项和T1,.

bn

10.已知在等差数列也｝中，4+4=4,α4=3,也｝是各项都为正数的等比数列，

α

bi=11，⅛i4=1.求：

（1）数列｛q｝,他,｝的通项公式；

（2）数列｛“也｝的前〃项和小

答案以及解析

1.答案：(1)⅛ax=1,¾=1+2,%=1+2+3,%=1+2+3+4,...,得an=+".

所以d=工

册

2

所以S〃=2l-l÷l-l÷L÷i

223n~n+↑

n、[2÷2H+I2+2rt+,

(2)记%==-5—=∕z+∕z∙2.

2-d∏-ιf

n

则看=q+C2+L+Cn

=(l+2+L+H)+[2+2∙22+3∙23+L+5-l)∙2"T+"∙2"]

=wt7^lj+[2+2∙22+3∙23+L+(rt-l)∙2,,^'+n∙2n].

设M,=2+2∙22+3"+L+5-l)∙2""+"∙2",①

则2M,,=22+2∙23+3∙24+L+(w-l)∙2n+M∙2Π+'.(2)

23nn+l

触②，得-Mn=2+2+2+L+2-n∙2,

所以叫,=5-l)∙2向+2.

所以北=n(n+l)+(^_1)2),+l+2

2.答案：(1)数列｛%｝满足α∣=1,2S“=3a“-4〃，

a-2

当”≥2时,an=Sn-Sn-i=^an-2n-^an-1+2(n-l)=^an-n-ι»

13c,

-¾=^¾-ι+2，「•%=3a“_]+4,

.∙.¾+2=3(¾-1÷2).

q+2=3,

.•・数列｛%+2｝是首项为3,公比为3的等比数列,

.%+2=3"9.,.册=3"-2.

(2)b=bg3(%+2)二喝3〃二〃

m--¾+2-3n^F

H----，

3"

123n

又—+-7+-r+H------,

I=3,-233343M+,

两式相减,得

Irr11

-T=-I-r—τ+十------

3"332333〃22-3"3'

,-ɜ

.∙.Z=3-≥±2

'44∙3"

3.答案：(1)方法一设等差数列｛%｝的公差为"，且4>0,

+a+4d=,(〃]+2df

则”λ

lax+21d=63

q=3

d=2

,

..an=2n+1.

方法二设等差数列｛%｝的公差为

｛4｝是等差数列，且q+%=,〃；，「.2%=∙∣店,

又a”>O,.,.¾=7.

S1=7卜"+%)==63,/.a4=99

d=a4-a3=29

.aπ=〃3+(〃-3)d=2H+1.

(2)4=4,〃+[-2=4+]且/=2〃+1,

.*.bx=3,bn+l—bn=2〃+3.

当"≥2时，bn=(bn-bn_｛)+(⅛.ι-bn_2)++(⅛-⅛1)+fe1=

(2〃+1)+(2〃-1)++5+3=Π(M+2).

当〃=1时，4=3,满足上式，.∙.%=〃(〃+2),

—1—------1-----=—1ɪ_1

bn〃(〃+2)2nn+2

,=lll÷÷-L÷l

ηb∖+⅛+⅛bn-∖hn

1

=2i1fι÷2i-n-+-↑--∕?+q2√

3.lf_LO.

=42(〃+l+/7÷2√

4.答案：(1)由数列MJ的递推关系，易知

(2)

h

n+ι=%，，+2—2=B¾,,+l+(2〃+1)—2=ga2n+l+(2n-l)=

^(¾,-4∕t)+(2rt-l)=^¾n-l=^(¾,-2)=^⅛,,.

,CI

⅛1=α2-2=-—>

二数列出｝的各项均不为0,

...-Λ-,-÷-∣—_―ɪ,

bn2

即数列｛或｝是首项为-;，公比为;的等比数列,

(3)由(2)矢口%=log∣MJ=log∣(；)=n.

c&C2C3%%

111

----1-----H+二---r—

1×22×3(π-l)n

n

<1.

5.答案：（1）设7月〃日售出的服装件数为为（∕ι∈N*,l≤"，最多售出4件.

A[;}:”解得厂

由题意知,

一2(31-攵)=3[4=39

；.7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.

(2)设S“是数列｛叫的前〃项和,

3〃,1≤〃≤13

由(1)及题意知4=65-2n,14≤H≤31'

(3+3〃)〃

,l≤w≤13

「•S”=«2

273+(5113),14≤"≤31

513=273>200,

，当1≤"≤13时，由S,,>200,得12≤“≤13,

当14≤“≤31,日销售量连续下降，由4<20,得23≤ZZ≤31,

.∙.该服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).

6.答案：(1)由题意知25“=%+’,即2SM,-C=L①

a

n

当〃=1时，由①式可得S：=l,

当〃22时，a“=S“-S“_1,

代入①式得2S,,(S.-S,-)-(S,「S,-F=1,

整理得S；-HT=1("≥2),

••.£；}是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)由(1)可得S,；=l+〃-l=〃，

{4}的各项都为正数，∙∙.S,,=五，

CI11=S11-S,,-l=Tn-√n-1(〃≥2),

又4=B=1满足。“=∖fn-y/n-1,

:.an=∖[n->Jn-↑,

.a;2J#为(6+g),

7

an，〃一√〃一1\

∙M0)=τ+(3+1)-(6+3)+.-(√ι∞-ι+√ιoo-2)+(√ιoo+√ιoo-ι)=√ioδ=ιo,

.•・{〃}的前100项和7；OO=10.

7.答案：(1)2an=2+S“，①

.∙.2^+1=2÷S,,+l,②

由②-①,可得2(/+「/)=%,即誓=2.

又2α∣=2+q,/.Q∣=2.

故数列｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列，因此q=2〃.

(2)由(1)可得a,=2",.∙.⅛=(2n-l)×2"--ɪ-.

nyn+∖)

设G=(2"-l)x2∙,其前〃项和为A“，

,,lπ

则4=1x2+3x22+5x2'++(2n-3)×2^+(2n-l)×2,①

.∙.2A,,=l×22+3×23+5×24++(2π-3)×2,'+(2n-l)×2n+l,②

由①-②,得

334,,+l

-An=2+2(2+2+2++2)-(2∕ι-l)×2"≈

2+2x」(：：)-(2"l)χ2,"∣=(3-2")χ2""-6,

ʌʌ,=(2n-3)×2,'+l+6.

设丁J=其前〃项和为田，

n∖n÷1)∖nπ+17

++6I

则纥(⅛4)⅛^⅛]]=(^⅛)∙

故z,=A,「纥=(2∕t-3)×2,,+l+6-6θL)=(2"-3)x2"+∣+*.

8.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)因为S∣=2,S,,+l=2Sn+2,

所以与∣+2=2(S.+2),S1+2=4,

所以数列｛S,,+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以S,,+2=2"∣,

-c—m+ιɔ

n

当〃*2时，Sχ=2"-2,Sn-Sl,.l=al,=2,

当"=1时，q=S∣=2满足上式，

所以4=2",所以S,,=q,+∣-2成立.

(2)由(1)矢口4=2",

t>n=Iog2aπ=n,

Tn/?(/?+1)n+∖)

g”111IC(IlIIl

加以——+—+—++—=2x1——÷------+--------++-

T｝T2T3Tn(22334/

所以_L+_L+_L++_L<2成立.

τiτ2τ3τn

9.答案：(1)数列｛叫的前〃项和为5“=2/一1,

22

.∙."≥2时，atl=S11-S11^=2n-]-[2(n-l)-]~]=4n-2.

〃=1时，q=£=1,不满足上式.

∫1,∏=1,

"a"~∖4n-2,n≥2.

数列也｝的前〃项和为Q=Ibn-2.

“≥2时，Qka,可得。=2⅛-2%,

整理得2=2⅛τ.

〃=1时，伪=2=2伪一2,解得伉=2.

.∙.数列也｝是等比数列，且首项与公比都为2.

∙∙∙⅛=2n.

(2)c=—,当〃=1时，C.=ɪ;当〃≥2时，c=—

"bn'2"

.∙.〃=1时，T1=C1=-;

2M"'

2/1—1

ɪɪ-r

2n-↑7C42n-l

d+2χ++L+Γ=—+2×

⅛F2〃4ɪT

2

整理得TG-+3

当”