三角函数的图象与性质-2022年高考数学训练（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练

专题11三角函数的图象与性质

一、单选题(本大题共12小题，共60分)

1.函数f(x)=sin(—2x+》的图象为C,则下列结论中正确的是()

A.图象C关于直线X='对称

O

B.f(x)在区间[一看,争上递减

C.图象C关于点(工,0)对称

D.由y=sin(-2x)的图象向左平移g得到C

【答案】B

【解析】解：由函数f(x)=sin(—2x+)=-sin(2x-)的图象为C,

对于A,X=即寸，fφ=sin(-∣+=)=0,所以图象C不关于直线X=例称，A错误；

对于B,XC[-卷泻]时，2x-^∈[-pɪ],函数f(x)是单调减函数，B正确：

对于C,X=工时，f⅛=-sin(^-=)=-1,所以图象C不关于偌,0)对称,C错误;

对于D,y=sin(-2x)的图象向左平移得y=sin[-2(x+割=sin(-2x-午)的图象，

不是函数f(x)的图象，D错误.

故选：B.

2.函数f(x)=4sin(ωx+=)(ω>0)的最小正周期是3π,则其图象向左平移三个单位长度后

ɔO

得到的函数的一条对称轴是()

Trπ

AA.χ=znB,X=-C—,X=-5πDn,X=—19π

【答案】D

【解析】解：函数£。)=45访(3*+$(3>0)的最小正周期是3死

则：T=3ττ=空，

ω

解得：3=∣,

所以：f(x)=4sin(∣x+^),

其图象向左平移方个单位长度后得到的函数g(x)=4sin(∣x+；+$=4sin(∣x+y)

令：∣×+γ=kπ+^(k∈Z),

解得：X=Ikπ+ɪ(k∈Z),

当k=1时，

故选：D.

3.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往

上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针

方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.

已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度H(m)关于时间t(min)的函数

关系式为H=65-55cos.(0≤t≤30),若甲、乙两人的座舱之间有7个座

舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为

A.25mB.27.5mC.25D.55m

【答案】D

4.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣<习图象相邻的两条对称轴的距离为2π,将函数

y=f(x)的图象向左平移5个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，给出下列命题：

①函数f(x)的图象关于直线X=生寸称;

②函数f(x)在卜三用上单调递增；

③函数f(x)的图象关于点(-零,0)对称.

其中正确的命题个数为()

A.0B.ɪC.2D.3

【答案】C

【解析】由题意可知，函数f(x)的最小正周期为T=4ττ=空,可得3=则f(x)=sin仁+φ),

32\2/

将函数f(x)的图象向左平移三个单位长度后，得到函数g(x)=sin[∣(x+=)+φ]=

SingX+φ+.)的图象，

由于函数g(x)的图象关于y轴对称，则φ+5=kπ+5(k∈Z),解得φ=kτr+5(k6Z),

∙.∙-^<φ<p.∙,φ=p所以，f(χ)=sin(H).

对于①,f(ɪ)=sinɑ×ɪ+=sinɪ=1=f(x)max,

所以，函数f(χ)的图象关于直线χ=m对称，①正确;

对于②，当χe[*用时U≤]+W≤M

所以，函数f(χ)在[γ用上不单调，②错误；

对于③，：f(-y)=sin(-i×y+^)=SinO=0,

所以，函数f(x)的图象关于点(-g,θ)对称，③正确.

故选：C.

5.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m,已知水轮每

分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间X(S)满足函数

关系y=Asin(ωx+φ)+2则()

A.ω=—,A=5B.ω=­,A=5

152π

C.ω=翌，A=3D.3=0,A=3

2π15

【答案】D

【解析】解：已知水轮每分钟旋转4圈∙∙.3=Wm=S

6015

又•••半径为3m,水轮中心O距水面2m,

距水面最高点为5,即A=3,

故选D.

6.在AABC中，若〃V，,则COSASinC的取值范围是()

A.[-1,1]B.咛,等]

c∙[T等]D∙哼,等]

【答案】B

【解析】解：B=45°=p.∙.cosAsinC=cosAsin(A+；)=当COSA(SinA+cosA)=

*(]in2A+号叩=]in(2A+f+号,乂0<A<),：<2A+汴:π,二心+乎≤

1.∕.π∖√21.√2

-Sin(n2AλH—IHl----≤—I----->

2\4/424

即且≤cosAsinC≤亚，故选B.

44

7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0zω>0,∣φ∣<》与

函数g(x)=k(x-k)+6的部分图象如图所示，直线y=A

与g(x)图象相交于y轴，与f(x)相切于点N,向量而在X

轴上投影的数量为一亨且A+3=2k,则函数h(x)=

sin(ωx-φ)+cos(ωx-φ)图象的一条对称轴的方程可以为()

ʌllπŋllπ.13πC7π

ʌ-■-b∙τrc∙--d∙R

【答案】A

【解析】解：•.・函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,∣φ∣<T)与函数g(x)=k(x-k)+6的部分图

象如图所示，

直线y=A与g(x)图象相交于y轴，-k?+6=A,k>0.

再根据向量而在X轴上投影的数量为一?，可得I=9空=?，••・3=2.

444ω4

结合A+ω=A+2=2k,可得k=2,A=2.

・•.f(x)=2sin(2x÷φ),g(x)=2(x—2)+6=2x+2.

再根据f(x)=2sin(2x+φ)的图象位于y轴的右侧且与X轴的第一个交点为舄,0),

・・«-*TTCTT

•2--1-2--1-φ=0,*φ=—6，,

.•・函数h(x)=sin(ωx-φ)+cos(ωx-φ)=sin(2x+}+cos(2x+，)

=√2sin(2x+3+》=V2sin(2x+,

令2x+处=kπ+上求得X=独+三，kEZ,

122224

令k=-1,可得h(x)的图象的一条对称轴的方程可以为X=_詈,

故选：A.

8.已知函数，，八I,人小…的一条对称轴为X=-T■,f(χj+f(χz)=0，且函数

f(x)在(Xl，X2)上具有单调性，则∣X1+X2∣的最小值为

A.ɪB.ɪC,^^D,—

6333

【答案】C

9.已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)÷1(A>0,ω>0,0<φVl)的最大值为3,f(x)的图象

与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(l)+f(2)+f(3)+…+

f(2016)的值为()

A.2468B,3501C.4032D.5739

【答案】C

【解析】解：函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=A∙LtCoS(;)x+2q))+ɪ

=jcos(2ωx+2φ)+1+ɪ(A>0,ω>0,0<φ<T)的最大值为3,

ʌ-+1÷-=3,可求：A=2.

22

•・・函数图象相邻两条对称轴间的距离为2,可得函数的最小正周期为4,即：==4,

••・解得：3=2

4

又・.・哈)的图象与丫轴的交点坐标为(0,2),可得：cos(2φ)+l÷l=2,

・•・cos2φ=0,又“”2,'1∙*2/~，解得：(P=

••・函数的解析式为：f(x)=cos(^x+^)÷2=-sin^x+2,.∙.f(l)+f(2)÷∙∙∙+f(2016)=

-(sinɪ+sinγ+sinɪ+•••÷sinʒ^ɪ)÷2×2016=504×0÷4032=4032.故选：C.

10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣V的部分图象如图，则

A.f(x)=2sin卜X-

5π

b∙f□=衣,^12

C.f(x)的图象的对称中心为(kπ-2,θ)(kez)

D.不等式f(x)≥1的解集为[kπ,kπ+^](k∈Z)

【答案】D

【解析】解：由图象得函数的最小正周期TI■：)丁,

∖IAO)

所以一•2π-2,

π

所以-「，-2*k+：.k6Z./=2k#+]keZ,

326

开

又因为∣φ∣<πJ,所以丁，,，

NU

所以所以错误；

f(x)=2sin(2x+»O,A

因为呜)vG,所以B错误；

∈所以错误;

所以f(X)的图象的对称中心为(pθpZ,C

由f(x)=2sin(2x+，)≥1可得sin(2x+≥

由三角函数图像可得2kπ+[≤2x+l≤2kπ+?,k∈Z,

解得kn<X<kπ+pk∈Z,

故不等式f(x)≥1的解集为M，kπ+=](k∈Z),D正确.

故选D.

11.函数f(x)=Asin(2x÷φ)(∣φ∣≤，A>0)部分图象如图所示，且

f(a)=f(b)=0,对不同的X2∈[a,b]»若f(xj=f(x2),有

f(×ι+x2)=√3*则()y\

A.f(x)在(一手勺上是减函数-ɪ一γ→x

B.f(x)在(一,吟)上是增函数I

在上是减函数

c.f(x)3O

D.f(x)在Gw)上是增函数

3o

【答案】B

【解析】解：∙∙∙f(x)=Asin(2x+φ),・•.函数最小正周期为T=π;

由图象得A=2,且f(a)=f(b)=0,

∙∙∙ɪ•—=b-a,解得b-a=g;

2ω2

又Xi，X2∈[a,b],且f(xι)=f(x2)时，有f(X]+xz)=6,

・•・sin[2(×ι+x2)+φ]=y»即2(x1+x2)+φ=y,

且sin(2•妇产+φ)=1,即2・笠^+φ=]

解得φ=3

・•.f(x)=2sin(2x+^)；

令——+2ku≤2x+—≤+2kτr,k∈Z>

**•-------F2kττ≤2x≤—F2kττ,kEZt

66

解得—,+kτr≤XW己+kττ,kEZ>

••・函数f(x)在区间I-"+kπ*+kπ],k∈Z上是单调增函数，

∙∙∙f(x)在区间(一工,为上是单调增函数.

故选：B.

12.已知函数f(x)=Asin(3χ+φ)(A,3,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=g时，函

数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()

A.f(-l)<f(0)<f(l)B.f(0)<f(l)<f(-l)

C.f(l)<f(-l)<f(0)D.f(l)<f(0)<f(-l)

【答案】A

【解析】解：依题意得，函数f(x)的周期为n,

ω>0,

2π

——=2n.

π

又・・.当X=W⅛函数f(χ)取得最小值,

ʌ2×y+φ=2kπ+y,k∈Z,可解得：φ=2kπ+ɪ,k∈Z,ʌf(x)=Asin(2x+2kπ+弓)=

Asin(2x+-).

6

.∙.f(-l)=Asin(-2+：)=Asin(2+/<0.

f(l)=Asin(2+-)>0,

f(0)=Asin-=Asin->0,

v766

又'W>萼>2+5?而f(x)=ASinX在区间邑9)是单调递减的，

Zo62Lz

Λf(-l)<f(0)<f(l).

故选A.

二、单空题(本大题共4小题，共20分)

13.若A为不等边AABC的最小内角，则f(A)=Jsin∕coSA的值域为____.

''1+sinA+cosA

【答案】(0,√Σ-1]

【解析】解：∙∙∙A为不等边^ABC的最小内角，・•・0VAV；,・•・SinA÷cosA=√2sin(A+》W

(‰√2].

令t=sinA+cosA,则2sinAcosA=t2—1,

2sinAcosA

・•・f(A)==T^=t-l∈(0,√2-l].

1+sinA+cosA

.∙.f(A)的值域为(0,√Σ-1].

故答案为：(0,鱼―1].

14.如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y=

Asin(ωt+φ)+b,φ∈[-π,π],已知某摩天轮的半径为50

米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3

分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.则y(米

)关于t(分钟)的解析式为.

【答案】y=50sin(yt-≡)+60

【解析】(1)由题意,

A=50,b=60,T=3；

故3=拳

故y=50sin(γt÷φ)+60；

则由50sinφ+60=10及φ∈[―π,τr]得,

π

(P=F

故y=ʒθsin(ɪt-ɪ)+60.

故答案为：y=50sin(yt-^)+60.

15.已知函数f(x)=sin(2x+9,将函数y=f(x)的图象向右平移三个单位长度后，得到函数

g(x)的图象,若动直线X=t与函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别交干M,N两点,则IMNl

的最大值为.

【答案】√3

【解析】解：由题意可得卬"；κin(2∙r力，

所以IMNl=∣f(x)—g(x)∣=∣sin(2x+：)-sin(2x-；)|=IlSin2x+ycos2x-∣sin2x+

γcos2x∣

=√3∣cos2x∣,

则cos2x=±l时，IMNl的最大值为√5.

故答案为四.

16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到

应用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画1描绘了筒车的工作原理.假定在水

流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2,将筒车抽象为一

个几何图形(圆)，筒车的半径为4m,筒车转轮的中心O到水面的距离为2m,筒车每

分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即Po时的位置)时

开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为X轴建立平面直

角坐标系xθy.设盛水筒M从点Po运动到点P时所经过的时间为t(单位：s),且此时点P

距离水面的高度为h(单位：m),则h与t的函数关系式为,点P第一次到达

最高点需要的时间为s.

又筒车转轮的中心O到水面的距离为2m,筒车的半径为4m,

所以NE。/：,

从点PO运动到点P时所经过的时间为3则P点对应的以X轴正半轴为始边的角为：.，

由三角函数定义知P点纵坐标为八山(；)；)，

则h与t的函数关系式为h=4sin(猾t-')+2,

若点P第一次到达最高点，则解得t=5s,

1562

故答案为h=4sin(得t-》+2；5.

三、解答题(本大题共4小题，共40分)

17.已知当XeR时，不等式α+cos2x<5-4sinx+√恒成立，求实数。的取值范围.

4

【答案】—≤a<8.

【解析】不等式a+cos2x<5-4sinκ+：5〃-4等价于cos2x+4siox<15〃-4-〃+5，

当x∈R时，不等式α+cos2xV5-4SinX+15〉-4恒成立,等价于当x∈RB⅛,不等式

COS2x+4SinXVJ5〃-4-々+5恒成立,

令/(x)=4sinx÷cos2x,χ∈R,则/(ɪ)=-2sin2x÷4sinx+l=-2(sinx-l)2÷3,

TT

而一l≤sinxVl,于是当SinX=1,即X=2版■+,/eZ)时，/(x)max=3,

a-2≥0r

Z___a-2<0

因此，√5a-4-a+5>3即反N>CL2,从而得<5α-4≥0或解得

[5a-4≥0

5〃-4>(α-2)

4

—≤6f<8

5

4

所以实数。的取值范围是］≤α<8.

18.将函数/(x)=COS2χ+KSinXCoSX的图象向右平移聿个单位长度后，再将所得图象

上各点的横坐标扩大为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.

(I)求函数y=g(χ)的最小正周期；

(H)若g(α)=∙∣,g(0=-∣∙,且求sin(2α-2∕7)的值.

【答案】(I)2万；(II)竺.

625

^^+gin2x」=gin2x+，cos2x=sin(2x+g

【解析】(1)，(X)=

2222216)

.∙∙g(χ)的最小正周期7=2万；

34

(II)g(α)=j,g(4)=-］，

3,6J

a-β∈

4

5coV-7=i

=sin(α十卜。SN戈卜

.,.sin(cr-/7)=sin

c(√α-□sin仿-4=工？7

I6jr6J5525

.,.CoS(α一6)=-y∣l-sin2(a-jβ)=_^»

.,.sin(2a-2/?)=2sin(a-∕7)cos(«-/?)=.

19.已知/(x)=αsinx+Z?COSX,

(1)若f(?)=&且/(x)的最大值为J方，求a、6的值;

(2)若呜)=1且/(x)的最小值为A,求々的取值范围.

［答案］(1)］：=T或］：=；；⑵丘(9,—1］.

［b=3［⅛=-l

【解析】(1)/(x)=J∕+:2Sin(X+0),

/《卜忘’•*+£=&'即“+I，

乂∖∣a2+h2=>∕l()，

.*.cr+b2=10,

〃X)的最小值A=-4r1r=-Ja2+(2-√3^)2,

=-J4/—4Λ∕5Q+4，

20.(1)求方程J5cosx+cos2x+sinX=O在［θ,2π］上的解;

7Γ