（新高考）2024年高考物理复习第19讲 圆周运动的临界问题（知识讲义）（原卷版+解析）

页掌握水平面内圆盘模型的动力学分析及临界条件。掌握竖直面内圆周运动的基本规律，并能够联系实际问题做出相应问题的分析。考点要求考题统计考情分析（1）水平面内圆周运动临界（2）竖直面内圆周运动临界2022年全国甲卷第1题2022年1月浙江卷第21题2021年湖北卷第15题高考对圆周运动的临界问题的单独考查不是太常见，大多在综合性的计算题中出现的比较频繁，并且会结合有关的功能关系。考点一水平面内的圆盘临界模型知识点水平面内的圆盘临界模型临界规律①口诀：“谁远谁先飞”；②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度：；①口诀：“谁远谁先飞”；②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：；③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB整体：μmAg+μmBg=mBω22rBAB相对圆盘滑动的临界条件：①口诀：“谁远谁先飞”；②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：；③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时，临界条件：隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rBAB相对圆盘滑动的临界条①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）；②轻绳出现拉力临界条件：；此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断；④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出；2）当mBrB<mArA时，fA↑=μmBg+(mArA-mBrB)ω2↑→fA达到最大→ω↑→T↑→fB↓→fB=0→反向→fB达到最大→从A侧飞出；AB相对圆盘滑动的临界条临界条件：①，；②，临界条件：①②考向水平面内的圆盘临界模型临界规律应用1．如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（）A．a可能比b先开始滑动B．a、b所受的静摩擦力始终相等C．是b开始滑动的临界角速度D．当时，a所受摩擦力的大小为【答案】CD【详解】AB．两个木块的最大静摩擦力相等，木块随圆盘一起转动，木块所受静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得，木块所受的静摩擦力满足由于两个木块的m、ω相等，a的运动半径小于b，所以b所受的静摩擦力大于a的静摩擦力，当圆盘的角速度增大时，b的静摩擦力先达到最大值，所以b一定比a先开始滑动，故A、B错误；C．当b刚要滑动时，物块所受静摩擦力达到最大，则有解得b开始滑动的临界角速度为故C正确；D．当a刚要滑动时，物块所受静摩擦力达到最大，则有解得a开始滑动的临界角速度为因为所以a相对圆盘静止，此时a物块所受摩擦力是静摩擦，则有解得a所受摩擦力的大小为故D正确。故选CD。2．如图，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力Fmax＝6.0N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以角速度＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，木块到O点的距离可能值（）A．0.40m B．0.25m C．0.20m D．0.06m【答案】BC【详解】由于木块所受静摩擦力的方向不确定，故我们需要求出两种临界情况。情况一，当方向指向圆心的摩擦力达到最大静摩擦力时，此时木块到O点的距离最大，对木块根据牛顿第二定律有Fmax＋mg=Mω2rmax代入数据解得rmax=0.32m情况二，当方向背离圆心的摩擦力达到最大静摩擦力时，此时木块到O点的距离最小，根据牛顿第二定律有mg－Fmax=Mω2rmin代入数据解得rmin=0.08m所以木块到O点的距离应该在0.08m~0.32m之间。故选BC。3．如图所示、放在水平转台上可视为质点的长方体A、B、C随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与C之间的动摩擦因数为2μ、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A、C以及B离转台中心的距离分别为1.5r、r。设最大静靡擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（）A．物体A受到的摩擦力大小为6μmgB．转盘对物体C的摩擦力大小为9C．维持物体A、B、C能随转台一起转动，转盘的角速度应满足D．随着转台角速度增大，最先被甩出去的是物体B【答案】C【详解】A．若物体AC随转盘一起转动恰不相对转盘滑动，则解得则此时AC之间的静摩擦力物体AC之间的最大静摩擦力为则此时AC之间不会产生滑动，则物体A受到的摩擦力大小为3μmg，选项A错误；B．当转盘以角速度ω匀速转动时，转盘对物体C的摩擦力大小为选项B错误；CD．若转盘角速度增加，若B恰能产生滑动，则根据可得可知随着转盘角速度增大，最先被甩出去的是物体AC；若要维持物体A、B、C能随转台一起转动，这只需AC相对转盘不产生滑动，则即转盘的角速度应满足选项C正确，D错误。故选C。4．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的倍，两物体用一根长为L（L<R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，让圆盘从角速度为0开始转到，角速度逐渐增大，两物体与圆盘不发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速度为g）则下列说法正确的是（）A．随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加再逐渐减少B．随着角速度的增大的过程中，物块M始终受到摩擦力C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过【答案】D【详解】AB．当圆盘角速度较小时，m的向心力由静摩擦力提供，绳子没拉力，由牛顿第二定律m受的静摩擦力随角速度增大而增大，当角速度增大到时，静摩擦力达到最大静摩擦力，角速度再增大，绳子拉力出现，由牛顿第二定律随着角速度增大，m受的摩擦力保持不变，一直为最大静摩擦力。则随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加后保持不变，当绳子有力时，M开始受到摩擦力作用，故AB错误；CD．当绳子的拉力增大到等于甲的最大静摩擦力时，角速度达到最大，对m和M，分别有；联立可得故C错误，D正确。故选D。5．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为的细绳连接，木块与转的最大静摩擦力均为各自重力的倍，A放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）A．当时，A、B相对于转盘会滑动B．当时，绳子一定有弹力C．在范围内增大时，B所受摩擦力变大D．在范围内增大时，A所受摩擦力一直不变【答案】B【详解】A．开始角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，B先到达最大静摩擦力，角速度继续增大，则绳子出现拉力，角速度继续增大，A的静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动，A、B相对于转盘会滑动，对A有对B有解得故A错误；B．当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力解得则当时，绳子一定有弹力，故B正确；C．时B已经达到最大静摩擦力，则ω在内，B受到的摩擦力不变，故C错误；D．绳子没有拉力时，对A有则随转盘角速度增大，静摩擦力增大，绳子出现拉力后，对A有对B有联立有则当ω增大时，静摩擦力也增大，故D错误。故选B。6．如图所示，两个质量相同的小物块A、B（可视为质点），用一根长为的细线（不计质量）相连，放在绝缘的水平圆形转台的一条直径上，A、B与转台间的动摩擦因数都是。转台可绕过圆心的竖直轴以角速度逆时针转动（俯视），且A、B到转轴的距离分别为和。初始时，A、B间的连接细线恰好拉直但没有张力，转台的角速度极为缓慢地增大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，则（）

A．当时，连接细线不会产生张力B．当时，随着的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小C．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B一定会和转台保持相对静止D．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B已经与转台发生相对滑动【答案】BD【详解】A．在B的静摩擦力达到最大时，连接细线刚要产生张力，对B有解得可知当时，细线产生张力，故A错误；B．当从继续增大时，B所需向心力是A的两倍，由受力分析可知，A所受指向圆心的静摩擦力将减小，当A所受静摩擦力为0时，对B有对A有联立可得可知当时，随着的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小，故B正确；CD．当两物块即将相对滑动时，对系统用牛顿第二定律，有解得若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，除摩擦力外，A、B所受的洛伦兹力的合力是从A指向B的，即有可知在的情况下，所解得的比小，当时，物块A、B已经与转台发生相对滑动，故C错误，D正确。故选BD。考点二竖直面内圆周运动临界模型知识点1常见绳杆模型特点及临界规律轻绳模型轻杆模型情景图示弹力特征弹力可能向下，也可能等于零弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图力学方程mg＋FT＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)临界特征FT＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg模型关键(1)“绳”只能对小球施加向下的力(2)小球通过最高点的速度至少为eq\r(gr)(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力(2)小球通过最高点的速度最小可以为0知识点2拱形桥和凹形桥类模型特点及临界规律拱形桥模型凹形桥模型情景图示弹力特征弹力可能向上，也可能等于零弹力向上受力示意图力学方程临界特征FN＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)模型关键①最高点:，失重；②，汽车脱离，做平抛运动。①最低点：，超重；②，v越大，FN越大。考向1绳类模型1．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（）A．轻质绳长为B．当地的重力加速度为C．当时，轻质绳的拉力大小为D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为【答案】D【详解】A．小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律有可得可知图线斜率为可得轻质绳长为故A错误；B．由图像可知纵轴上截距的绝对值为则有故B错误；C．由图像可知故当时，有故C错误；D．从最高点到最低点，由机械能守恒有在最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律有联立可得小球在最低点和最高点时绳的拉力差为故D正确。故选D。2．如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（）A．x＝2.5B．y＝40C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80mD．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm【答案】ABD【详解】AB．从A到B，根据动能定理可得在B点，根据牛顿第二定律得联立解得结合题图乙可知，故AB错误，AB满足题意要求；D．恰能通过最高点时，在最高点，根据牛顿第二定律可得从最低点到最高点，根据动能定理可得解得故D错误，满足题意要求；C．从最高点做平抛运动，则有，；且联立解得当解得，取最大值，可得故C正确，不满足题意要求。故选ABD。考向2杆类模型3．如图所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，已知小球质量为m，杆长为L，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（）A．小球在最高点时，小球的速度大小为B．小球在最低点时，小球的速度大小为C．小球在最低点时，杆对小球的作用力大小为D．当杆处于水平位置时，杆对小球的作用力大小为【答案】CD【详解】A．小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的速度恰好为零，A错误；B．从最高点到最低点对小球应用动能定理可得解得，B错误；C．最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律解得，C正确；D．从最高点到水平位置对小球应用动能定理可得由牛顿第二定律解得，D正确。故选CD。4．一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为，小球的速度大小为v，其图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（）

A．小球的质量为B．圆形管道内侧壁半径为C．当时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为D．小球在最低点的最小速度为【答案】AB【详解】A．规定竖直向下为正方向，设圆形管道内侧壁半径为R，小球受到圆形管道的作用力大小为，在最高点，由牛顿第二定律，当时当时，由重力提供向心力有解得当时，由牛顿第二定律有解得当时，由牛顿第二定律有解得故故小球的质量为或，故A正确；B．当时；解得圆形管内侧壁半径故B正确；C．当时，小球受到外侧壁竖直向下的作用力，由牛顿第二定律有解得故C错误；D．根据能量守恒定律，当小球在最高点具有最小速度（为零）时，其在最低点的速度最小，即；故D错误。故选AB。考向3拱形桥和凹形桥类模型5．在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（）A．小球从A点出发的速度大小B．小球经过B点时的速度大小C．小球经过B点时速度变化率大小为D．小球落在C点时的速度方向竖直向下【答案】C【详解】A．根据题意可知，小球在A点没有脱离轨道，则小球对圆轨道的压力不为零，由牛顿第二定律有解得故A错误；B．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，设此时小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律有解得故B错误；C．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，小球的加速度为，即小球经过B点时速度变化率大小为，故C正确；D．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，速度方向为斜向下，只受重力作用，水平方向做匀速直线运动，小球落地时，水平方向速度不为零，则小球落在C点时的速度方向不可能竖直向下，故D错误。故选C。6．汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A、B、C处，其中B处的曲率半径最大，A处的曲率半径为，C处的曲率半径为，重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为m的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为，当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是（）A．汽车经过A处时处于失重状态，经过C处时处于超重状态B．汽车经过B处时最容易爆胎C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过D．汽车经过C处时所受的摩擦力大小为【答案】AC【详解】A．小车经过A处时具有向下指向圆心的向心加速度