第7章-截面几何性质答案

第七章截面几何性质基本要求与重点1.形心与重心（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。（2）能熟练计算组合图形的静矩。（3）熟知面积静矩的重要性质。3.惯性矩与极惯性矩。（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。4.了解惯性积、形心主轴的概念主要内容1.形心与重心（1）概念与性质重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。对均质物体，重心与形心位置重合。若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。（2）计算形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。其中，常用的是代数形式的计算公式：2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。（3）计算根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。3.惯性矩与极惯性矩。（1）定义点对轴的惯性矩：点对点的极惯性矩图形对轴的惯性矩图形对点的惯性矩（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系若是某一图形对直角坐标系中两轴的惯性矩，是对该坐标系原点O的极惯性矩。则：（4）惯性矩的平行轴定理：几何图形对任意轴的惯性矩，等于对与该轴平行、且过形心的轴的惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。（太长了，慢慢读）即：（5）组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。第1步：将图形分割为几个简单图形，按形心计算公式求出总的形心位置。第2步：利用平行轴定理，计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。第3步：将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。4.惯性积、形心主轴的概念惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。惯性积的值可为：正、负或零。当时，对应的坐标轴称为主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩。当坐标原点在形心时，对应的坐标轴称为形心主轴；对应的惯性矩称为形心主惯性矩。两个主惯性矩分别是过该点的所有惯性矩的最大值与最小值。思考题与习题7-1．如图所示T形截面，C为形心，z为形心轴，问z轴上下两部分对z轴的静矩存在什么关系？答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正）。7-2．如图所示矩形截面m-m以上部分对形心轴z的静矩和m-m以下部分对形心轴z的静矩有何关系？答：同上。7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、可负、还可为零？答:定义在主要内容中所详细说明。由定义可知，它们分别是面积元与坐标的函数的积的定积分。面积元为正，坐标可能为正、负、零。所以惯性积，可为正、负、零。而（极）惯性矩是面积与坐标平方的积，恒为正，所以它们的积分也为正。7-4．图a所示矩形截面，若将形心轴z附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图b，问此截面对z轴的惯性矩有何变化？为什么？答：惯性矩为变大。因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b)图离轴远的点更多。7-5．图示直径为D的半圆，已知它对z轴的惯性矩，则对z1轴的惯性矩如下计算是否正确？为什么？答：不对。平行移轴公式中，的轴必须是过形心且与z平行的轴。7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系？惯性半径iz是否就是图形形心到该轴的距离？答：1.惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：。惯性半径不是图形形心到该轴的距离。2.不是，由上式可以看出惯性半径恒大于零，图形形心到该轴的距离可以等于零。（什么时候？）7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为轴，试计算对z1轴的静矩。解：a)b)或c)7-8．如图7—20所示截面图形，求（1）形心C的位置；（2）阴影部分对z轴的静矩。解：1.求形心C的位置。形心在y轴上，设到底边的距离为。2.阴影部分对z轴的静矩若利用图形对形心轴的静矩为零的性质，可以计算上半部分的静矩，取相反数，更简单。即7-9．计算图示矩形截面对其形心轴z的惯性矩；已知b=150mm，h=300mm。如按图中虚线所示，将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字形，计算此工字形截面对z轴的惯性矩，并求出工字形截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。解：1.矩形惯性矩2.工字形惯性矩或用负面积法3.计算增大的百分比p。7-10．计算图示各图对形心轴zc、yc的惯性矩。解：a)图b)图7-11．计算图示图形对其形心轴z的惯性矩。解1.计算形心轴到顶边的距离d。2.计算对形心轴z的惯性矩。7-12．计算图所示组合图形对形心主轴的惯性矩。解：由型钢表可查得。单个参数如下：面积形心到边的距离对平行于边且过形心的轴的惯性矩由于是对称轴，且过形心，根据形心主轴的性质可知、是形心主轴。7-13．要使图示两个№10工字钢组成的截面对两个形心主轴的惯性矩相等，求距离a的值。解：查表得对单个工字钢：面积对两个工字钢要使截面对两个形心主轴的惯性矩相等，即：解得：

补充与拓展1.三角形的形心位置的讨论三角形的形心在顶点与边中点连线的交点上，其到边的垂直距离为高的。下面介绍另一种常见情况，形心到底边一角的水平距离。注意：对于钝角三角形是：推导方法一：按计算形心到E的水平距离，再减去a。推导方法二：用代替a代入到锐角三角形的公式中即可。2.梯形的形心位置梯形也是常见的形状之，下面给出其形心位置公式。1）形心到底的距离用AE将其分为两个三角形计算。公式记忆技巧：三角形到底的公式乘以一个系数，1加远端底与两底和之比。2）形心到底角的垂直距离依然用AE将其分为两个三角形计算。其中，形心到B的垂直距离是这个公式并不好记忆。对于以后用的比较多的直角梯形可化简为：【前面所有公式推导过程中，三角形面积前的都没有写。只是为了省事，非正式的过程中，可以这样做，最后结果不变】2.关于公式与定理的学习公式与定理是力学学习中不可回避的重要部分。这是我们学习的重点过程中的重点。提高这部分内容的学习效率，对整个力学的学习有很大的帮助。大家一定有很多这方面学习的经验，下面我们从另一个角度介绍一下这部分内容学习的一个方法。其基本原理是建立在，“公式是符号化的定理，定理是文字化的公式”。这一命题上的。例子1：用全中文文字述说。答：所有的力对某一点之矩的代数和等于零。例子2：用全中文文字述说答：所有的力分别对不同的三点之矩求代数和，其值都等于零。3.坐标旋转变换设某一平面内的一个直角坐标系，将整体绕其坐标原点O旋转角度，得新的坐标系。某点A在坐标系中的坐标为，。试求，A点在新坐标系中的坐标。解：（1）如图所示，过点A分别作4个坐标轴的垂线得到4个交点，B、C、D