2023年高考理科数学《函数的定义与性质》题型训练

2023年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一求函数的定义域、值域

例1(1)函数/(x)=Jin(JX2-3χ+2+J---3χ+4)的定义域为()

X

A.(-∞,-4)U[2,+∞)；B.(-4,0)U(0,1)；C.[,T,0)U(0,l]DI,O)U(0,1)

(2)设/(χ)=Ig/二，则/[5)+/[彳)的定义域为()

A.(-4,0)U(0,4);B.(-4-l)∪(l,4);C(一2,-I)U(1,2)；D.(-4-2)U(2,4)

【答案】(1)D；(2)B

【解析】(1)欲使函数有意义，必须并且只需

X2-3x+2≥0

—x~—3x+4≥0

<l__________=X∈[-4,0)U(0,1)，故应选择

Jx~—3x+2+J-—3x+4>0

x≠Q

—2<--<2,

(2)由2＞0得，的定义域为一2＜无＜2,故，2

2—%

-2<-<2.

X

解得x∈(TT)(1,4)。故/的定义域为(一4,—1)U(1,4).选B.

【易错点】抽象函数的定义域

【思维点拨】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注

意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幕中，底数

不等于0；⑤负分数指数基中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合

的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定

义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数/Tg(x)］的

定义域是满足不等式a≤g(x)≤b的X的取值范围;一般地,若函数/［g(x)］的定义域是,指的是X∈［a,b］,

要求的定义域就是Xe［a,b↑时的值域。

x~+2x+ci

例2.已知函数/(x)=:-------------,x∈［l,+∞).

(1)当时，求函数的最小值；

(2)若对任意X∈［1,+8),/(Λ)>O恒成立,试求实数的取值范围。

7

【答案】(1)在区间［1,+8)上的最小值为/⑴=］

(2)。>一3

【解析】(D当α=’时，f{x)=x+-+2,f∖x)=∖一一二

22x2X2

,∕,(x)>0,在区间［1,+8)上为增函数。

7

在区间［l,+∞)上的最小值为/(1)=-o

r~4-ɔr4-/7

(2)f(x)=-——>0在区间［1,+oo)上恒成立；

X

χ2+2x+a>0在区间工+00)上恒成立；

X2+2x>-a在区间［1,+oo)上恒成立；

函数y=/+2χ在区间［l,+oθ)上的最小值为3,-fl<3

即α>-3

【易错点】不会求函数的值域。

【思维点拨】对于函数/(x)=X+1-+2,若,则优先考虑用均值不等式求最小值,但要注意等号是否成立,

2x

否则会得到/(X)=(x+，-)+2≥2+2=√2+2

2x

而认为其最小值为、历+2,但实际上，要取得等号，必须使得X=」-,这时xed,+8)

2x2

所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常

转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函

数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；

题型二函数图像

例1(1)函数y=e"T-∣x-1］的图象大致是()

(2)设函数的集合

P=<f(x)-∖og2(x+a)+baɪ--,θ,ɪ,1;/?=-1,0,1■,

平面上点的集合

Q=«(x,y)x=-pθɪl;y=-l,O,l■,

则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是

(A)4(B)6(C)8(D)10

(3)如图所示，一质点P(χ,y)在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点Q(X,O)的运动速度

V=VQ)的图象大致为)

【答案】⑴D；

(2)答案B

(3)答案B

13

【解析】(1)当时，y=x-(x-l)=l,可以排除A和C；又当X=］时，y=∣,可以排除B

13

(2)当时，y=χ-(χ-1)=1,可以排除A和C；又当x=2时，ʃ=-,可以排除B

22

(3)解析由图可知，当质点P(X,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点。(X,O)的速度先由正到0、到

负数，再到0,到正，故错误；质点尸(χ,y)在终点的速度是由大到小接近0,故错误；质点P(χ,y)在

开始时沿直线运动，故投影点Q(χ,O)的速度为常数，因此是错误的，故选.

【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。

【思维点拨】可以从特殊点、极限、定义域、值域、函数的性质角度思考

122

例2求函数〃x)=,9(X-3)2+(炉-I2)+∣9χ+fχ-^j的最小值.

【答案】∕≥τ

【解析】由于丫+三一

l∕(x)=(x—34…①

3y∖ɔ?

2(ɜʌ3

令y=上x，此为抛物线方程，其焦点为F[θ,]J,准线方程为y=-：,

记点A(3,4),则①可以改写为

I/(%)=7(-^-3)2+(y-4)2+Jχ2+b-^，它表示为抛物线上的

点M(X,y)到点A与到焦点尸的距离之和：^f=MA+MF,注意点A在抛物线的上方，由于点例到焦

点的距离等于其到准线的距离：Λ∕〜=MH,故当点M移至使在垂线A"∣上时，M4+MH的值最小,

ɜ1g1IQ57

为AΛ∕∣+Λ∕"∣=A∕7∣=4+巳==，即一/2上，所以∕≥3L

,1144344

【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。

【思维点拨】因数配形。

题型三函数的性质

例1(1)函数的定义域为R,若/(x+l)与/(X—1)都是奇函数，则()

A.是偶函数B.是奇函数

Cj(X)=/(x+2)DJ(X+3)是奇函数

(2)对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：∀玉,々eR且々>西，有

-a(x2-xl)</(x2)-/(x1)<cz(x2-%l).下列结论中正确的是()

A.若/(X)∈此］,g(X)∈Ma2,则/(x)∙g(x)∈Mαi∙ɑ2

B.若/(x)eΛ√ɑi,g(x)eMα2,且g*)H。，贝

g(χ)法

c.⅛∕(x)∈Mαl,g(x)∈此2，则∕3+g(x)eM"∣+α2

D.若/(x)∈Λfɑ],g(ɪ)∈Ma2,且%>/，则/(x)-g(x)eM0∣-α2

【答案】(1)D；(2)C；

【解析】(1)/(x+l)与/(x—D都是奇函数，

.∙√(-x+l)=-∕(x+l),∕(-x-D=-f(x-1),

函数关于点，及点(—1,0)对称，函数是周期7=2口一(一1)]=4的周期函数.

.∙./(-Λ-1+4)=-∕(Λ-1+4),/(—X+3)=—/(X+3),即/(x+3)是奇函数。故选D

(2)对于一一玉)</(々)-/(XI)<。(工2-XI)，即有一a<~~/"I<a,令

龙2一玉

,3)'"'J=,,有一α<左<α,不妨设/(x)WMzI,g(x)∈Ma2,即有一4<即<四,

X2~Xl

-a2<kg<a2,因此有一α∣<μ+与<，+%，因此有/(x)+g(x)6/°1+42•

【易错点】函数性质掌握不够透彻

【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证

x∈(0,+∞).

例2.已知函数小)=τ⅛+τ⅛r信'

(1).当α=8时，求/(x)的单调区间;

(2).对任意正数α,证明：l<∕(x)<2.

【答案】F(X)在(0,1]中单调递增,而在口,+8)中单调递减.

【解析】(1)、当α=8时，/(X)=:亘+！，求得r(x)=—

于是当x∈(o,ι时,∕,(x)≥0;而当XGn,+8)时，∕,(x)≤o.

即F(X)在(0,1］中单调递增，而在［1,+00)中单调递减.

(2).对任意给定的α>0,Λ>0,由/(x)

Q111

若令b=—，贝IJCibx=8...①，而于(尤)=iT—/T—/...②

ClXyj∖-∖-XΛ∕1+Q>J∖+b

(一)、先证/(x)>l;因为一----,----->-----,r>-->

√l+x1+x√1+Σ]+α√l+⅛l+⅛

又由2+α+L+x≥2j^+≥阑2abx=8,得α+A+x≥6.所以

ʃ,1111113+2(〃+/?+%)+(Clb+0r+bx)

f(Xx)=/H—/H—/>-----------1-----------1---------

√l+x√1+ΣJl+/?1+x]+Ql+⅛(l+x)(l+α)(l+力

、9+((2+∕?+x)+(ab+ox+bx)1+(tι÷∕?+x)+(ab+ox+bx)+abx1

(1+x)(l+Q)(1+。)(1+x)(l+α)(l+Z?)

(二)、再证/(x)<2;由①、②式中关于x,α,人的对称性，不妨设XNa2爪则0<0≤2

(i)-.当a+Z?»7,则α≥5,所以无≥α≥5,因为一,<1,

√l+⅛

112,…\111

-/H—/≤-/<1,此时f(X)——]H—/H—]<2.

√l+x√1+Σ√l+5√l+x√1+ΣJl+/?

(ii)、当a+b<7……③，由①得，x=§,-TL=J—

ab√1+ΛNab+8

因为τ⅛<>上+h2，[1——--]2所以-J=<ι——--

7④

1+b4(1+⅛)22(1+份√∏与2(1+勿

同理得/<1-------------⑤，于是

√l+A2(1+a)

/(x)<2-∣ab

---------1---------⑥

、1+Q1+〃。〃+8,

今证明T⅛+T⅛>2忌・一⑦,因为

只要证—————即ab+8>(∖+a)(l+b),也即α+0<7,据③，此为显然.因此⑦

(l+^)(l+⅛)。8+8

得证.故由⑥得f(x)<2.

综上所述，对任何正数α,X,皆有l<∕(x)<2.

【易错点】函数性质掌握不够透彻

【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证

【巩固训练】

题型一求函数的定义域和值域

1.设表示不超过的最大整数(如[2]=2,[5]=1),对于给定的N*,定义C；=〃(〃-D—目+1),[1,+00),

4X(X—1)■(ɪ—Ixj+1)

-3、

求当-,3时，函数的值域

L2)

【答案】(4,1]U(可,28]

v

【解析】(4,—]∪(—,28]；当xe[3,2)时，[x]=l,C8=-,因为函数〃在B,2)上是减函数，

332X尤2

得4<日≤3;当xe[2,3)时，㈤=2,=56,因为2<x(xT)<6,由单调性得

X3x(x-l)

—<-56-≤28,故当∣^±3]时，函数的值域是(4,3]U(型,28]

3X(X-I)L2)33

2.设函数/(X)=In4三，则函数g(x)=/(-)+/(ɪ)的定义域是.

2-X2X

【答案】(-4,—)U(—,4)

22

-2<-<2

2+无

【解析］由士±」>0得，的定义域为一2<x<20故12

2-Λ

-2<-<2

X

解得一4<x<一工或LVXV4。

22

3.求函数f(x)=J—厂+1OX—9+∖∣-f+68x—256的最大值.

【答案】最大值3庄.

【解析】f(x)=√(x-l)(9-x)+λ∕(x-4)(64-X),则定义域为4≤x≤9.

为了从两个根式中移出相同的常数，注意(X-1)+(64-X)=63,即

9—X

令ʃ=sin夕,—^―=COS/?,夕为锐角;

所以JX-I=V^COSα,∖j9-x=ʌ/ʒcosβ,764-Λ=ʌ/ðɜsina,

∖∣x-4=V^Sinβ,于是,

f(x)=3Λ∕35(COSaCOS∕?+Sinasinβ}=3√35cos(a-∕?)≤3√35,当α=/?时等号成立，此时

x—19—x(X-I)+(9—x)

~63^~~5~~63+5

8_2126,126143而詈∈[4,9]

x—l——,x=l+——

68^∏171717

即当X=史，/(X)取得最大值3屈.

解二：利用4ab+4cd≤y∣(a+c)(b+d)，

(因为4b+Cd+2&由Cd≤ab+cd+(ad+hc),即+VZJ)?≤(a+c)(b+d),

两边开方便得上式，其中取等号当且仅当αd=bc):

因此f(x)=yJ(x-V)(9-x)+Λ∫(64-x)(x-4)≤λ∕(x-l+64-x)(9-x+x-4)

=√63^5=3√35,其中取等号当且仅当(x—l)(x—4)=(9—x)(64-x),即x=——.

题型二函数图像问题

1.已知定义在R上的奇函数，满足/(x—4)=—/(x),且在区间［0,2］上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间

［一8,8］上有四个不同的根玉,工2，工3，％4,则玉+工2+%3+/=.

【答案】-8

【解析】因为定义在R上的奇函数，满足/(X—4)=—/(x),所以/(x—4)=.f(—x),所以，由为奇函数,所

以函数图象关于直线对称且/(0)=0,由/(%-4)=-/(%)知/(x—8)=f(x),所以函数是以8为周期的周

期函数,又因为在区间［0,2］上是增函数,所以在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示,那么方程0）=111（01>0）在区

间［一8,8］上有四个不同的根玉,工2，工3，彳4，不妨设演<%2<%3<%4由对称性知X∣+々=-12七+/=4所

以％+%2+X3+X4=-12+4=—8

2.如图，动点在正方体ABC。-A4GA的对角线上.过点作垂直于平面。。的直线，与正方体表面

相交于M,N.设BP=%,MN=y,则函数y=∕（x）的图象大致是（）

A.

【答案】B；

【解析】过点作垂直于平面B4A。的直线，当点运动时，线与正方体表面相交于M,N两点形成的轨迹

为平行四边形，可以看出与的变化趋势是先递增再递减，并且在的中点值时取最大

3.证明：满足不等式‘1一+—2++—竺200一>10的实数X的集合E可以表为一些互不相交的开区间之

x-lx-2x-200

并，试求出这些区间长度的总和.

200

【答案】S=Zxj-IOX2010=2010

i=l

12200

【解析】考虑函数/(X)=——+——++——――10,由于当x<l时，/(x)<(),故在区间(—8,1)

x—1%-2x-200

内，不存在使/(x)>()的实数X；

对于集｛1,2,,200｝中的任一个上,由于当x→Z-0时，/(Λ)→-∞,而当

x→Z+O时，/(x)→+8,且当X→∙F8时，x→-10,所以方程/(x)=0在区间

(1,2),(2,3),,(199,200),(20(),+∞)内各有一个解；依次记这200个解为x∣,%，,⅛>

于是函数y=f(x)的图像大致如下:

y

今构作多项式P(X)=(X—l)(x—2)(x-2(X))√(x),由于P(X)是一个200次多项式，故方程

P(X)=O至多有200个互异根，显然每个使/(x)=0的Xj都是P(X)=O的根(注意

X=1,2,,200都不是P(X)=O的根，因为每个X=左均使/(x)无意义).

因此七,工2，，Woo便是P(X)=O的全部根.这表明,每个队是其所在区间

(k,k+l),k=∖,2,,199及(200,4W)中的唯一根.

从而不等式/(X)>O的解集是E=(Lx)UQ,/)-:.(200,⅛),故得所有区间长度的总和为

—

S=(x∣—1)+(%22)++(X2oo—200)

200

=(x1÷x2++x200)-(1+2++200)=XXj-IOX2010......①

/=1

12200

注意p(%)=(x-l)(x-2)(x-200)∙(—→—-++——-10)…②

x-lx-2%-200

如将P(X)展开，其最高项系数为-10,设

2001m

p(x)=-IOx+alx"+a2x+∙∙∙+αl99x+a200......③

XWP(X)=-IO(X-Xl)(X-X2)--(X-X200)......④

200I

据③④得，EWal(其中4为P(X)的¢99的系数)

/=1lθ

下面由②直接计算的系数q:

1ɔ7∩n

由于在MX)=(X—l)(x—2)(x-200)∙(——+——++—--------10)中，寸99的系数是

X—1X—2X—200

L

10∙(l+2++200)=10x20100,(这是因为，在(x—l)(x—2)(x—200)∙-中，x"9的系数为女，

x-k

Z=I,2,,200.)

所以P(X)中的/9的系数是QO+1).20100,即Ol=11-20100；

2001200

从而ZXj=-4=11x2010.由①得，S=ZXj-IOX2010=2010.

I=IlθI=I

题型三函数的性质

1.设函数/(x)在(—,KO)上满足/(2—x)=∕(2+x),∕(7-x)=∕(7+x),且在闭区间上，只有

/(1)=/(3)=0.

(I)试判断函数y=∕(x)的奇偶性；

(11)试求方程/(x)=0在闭区间【-2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.

【答案】见解析

【解析】(I)方法一：若是偶函数，则

/(-X)=/[2-(x+2)]=∕[2+(x+2)]=/(4+X)=/(x)

于是有/(7)=/(4+3)=/(3)=0,这与在闭区间上，只有/(1)=/(3)=0.矛盾

故不是偶函数；

若是奇函数，则/(O)=/(-0)=—/(0)=0,这与在闭区间上，只有/(1)=/(3)=0.矛盾，故若不是奇

函数

所以既不是偶函数，也不是奇函数

方法二：因为在闭区间上，只有/(1)=/(3)=0.故/(0)≠0,即不是奇函数

又由/(2-x)=∕(2+x)知,/(-1)=/(5),而/(5)≠0,所以/(—1)≠0,又/⑴=0.

所以/(一1)¥/«),可见不是偶函数

所以既不是偶函数，也不是奇函数

(H)方法一：因为/(X)=∕T2+(X-2)]=力2-(x-2)]=∕(4-x)

/W=∕[7+(x-7)]=/[7-(x-7)]=∕(14-x)

所以/(14-x)=∕(4-x),即/[10+(4-x)]=/(4-X)

所以/(10+x)=/(%),即f(x)=f(x+lθn)(n∈Z)

X/(D=/(3)=O.,所以x=l(M+l和X=I0〃+3(〃eZ)都是方程/(x)=0的根

由一2005≤10;1+1≤2(X)5和一2005≤10n+3≤2005及“eZ得到

n=0,±l,zt2,∙∙∙,±200

故方程/(x)=0在闭区间[一2005,2005]上的根至少有802个

如果存在Ce(7,10]使得/(c)=0,则/(14-C)=/(c)=0

但7>14-cN4,这与在闭区间上，只有/(1)=/(3)=0.矛盾

故/(x)=O在［0,10］上只有两个根，即和

设是方程/(x)=0在闭区间［-2005,2005］上任意一个根，则存在整数，使得

d=iθn+r,r^［0,10］,且f(d)=/(10〃+r)=/(r)=0

由上可知或，所以。=Io"+1或d=10"+3CneZ)

所以故方程/(x)=0在闭区间［-2005,2005］上仅有802个根

方法二：由/(X)=。2+(%—2)］=02—。-2)］=/(4—力

=/［7-(3+x)］=∕［7+(3+x)］=/(10+x)知是周期为10的函数，

由/(7-x)=/(7+x)知的图象关于直线X=7对称

又因为/(x)=0在上仅有/(1)=/(3)=0.所以/(x)=0在［7,10］上没有根

即/(x)=0在［0,10］上只有两个根，即和

于是，/(x)=0在［0,2000］内只有400个根，在［2000,2005］上仅有2个根，在［—2000,0］内仅有400个

根，在［—2005,-2000］上没有根。

所以故方程/(x)=0在闭区间［一2005,2005］上仅有802个根

γ

2.定义在R上的奇函数有最小正周期4,且x∈(0,2)时，/W=F求在［-2,2］上的解析式。

0,x∈{-2,0,2},(—4,-■-)U(ɪ,4)

【答案】/(X)=

22

【解析】(1)当一2<x<0时，0<-x<2,∕(-x)=^—

9^jr+l9v+l

γ

又为奇函数，；./(X)=-/(-》)=--，

1+9

当时，由/(-0)=-/(0)=>∕(0)=0/(x)有最小正周期4,

.∙-∕(-2)=/(-2+4)=/(2)n/(-2)=/(2)=0

(3"

-ɪ-,0<x<2,

9'+l

综上，/(X)=0,x∈{-2,0,2},

3Λ'

一一ɪ—,-2<x<0

[9v+l

3.已知函数的图象在回可上连续不断，定义：

工(x)=min{/(r)|«≤r≤x)(x∈[Λ,⅛]),f2(X)=max{∕(∕)∣w≤f≤x)(x∈[«,/?]),

其中min{∕(x)IXe£)}表示函数/(x)在。上的最小值，max{∕(x)∣x∈£>}表示函数/(x)在。上的最大

值.若存在最小正整数3使得Λ(x)-Z(x)MMX-")对任意的X∈[a,b]成立，则称函数“x)为[”封上的“Z

阶收缩函数

(I)若/(x)=COSX,XE[O,Λ∙],试写出工(x),&(x)的表达式;

(H)已知函数/U)=/,χ∈[-l,4],试判断/(x)是否为[-1,4]上的“上阶收缩函数”，如果是，求出

对应的A；如果不是，请说明理由;

(Ill)已知b>0,函数〃x)=-v+3f是［0,可上的2阶收缩函数，求6的取值范围.

【答案】最大值3庄.

【解析】(I)由题意可得/(X)=COSX,X∈[θ,jτ],力(X)=1,x∈[θ,%].

x∈[-1,0)χ∈[-l,l)

(II)E(X)=

OXw[0,4]"：2x∈[l,4]

1-X2Λ∈[-1,0)

人(x)-/(X)=TX∈[O,1)

X2x∈[l,4]

当xw[-l,0]时，I-X2≤k(χ+ι),解得左≥l-%,故左≥2;

当Xe(0,1)时，l≤Z(x+l),解得左≥-L,故∕≥1;

x+1

当x∈[l,4]时，X2≤A(x+l),解得攵≥-^∙,故女≥∙^,

综上所述，k≥-.

5

即存在％=4,使得/(x)是上的4阶收缩函数.

(III)∕,(x)=-3X2+6x=-3x(%-2),令/(力=0,得X=O或X=2.

函数Γ(χ)，/(χ)的变化情况如下:

X(-∞,o)O(0,2)2(2,+∞)

广⑺-O+O-

ʃ(ɪ)减极小值O增极大值4减

令"x)=0,解得X=O或3.

(i)6≤2时，/(x)在[0,句上单调递增，因此，^(X)=∕(Λ)=-X3+3