高中数学必做100题

./必修1P<1>1.试选择适当的方法表示下列集合：〔1函数的函数值的集合；〔2与的图象的交点集合.参考答案：〔1

……〔3分,……〔5分故所求集合为.……〔6分〔2联立,……〔8分解得,……〔10分故所求集合为.……〔12分2.已知集合,,求、、、.

参考答案：,……〔3分,……〔6分,……〔9分.……〔12分3.设全集,,.

〔1求,,,；参考答案：,……〔1分,……〔2分,……〔3分.……〔4分〔2求,,,；解：,……〔5分,……〔6分,……〔7分.……〔8分〔3由上面的练习,你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.解：,……〔9分.……〔10分Venn图略.……〔12分4.设集合,.〔1求,；〔2若,求实数a的值；〔3若,则的真子集共有_____个,集合P满足条件,写出所有可能的集合P.参考答案：<1>>①当时,,,故,；……〔2分②当时,,,故,；……〔4分③当且时,,,故,.……〔6分<2>：由〔1知,若,则或4.……〔8分<3>若,则,,故,此时的真子集有7个.……〔10分又,满足条件的所有集合有、.……〔12分5.已知函数.〔1求的定义域与值域〔用区间表示〔2求证在上递减.参考答案：〔1要使函数有意义,则,解得.……〔2分所以原函数的定义域是.……〔3分,……〔5分所以值域为.……〔6分〔2在区间上任取,且,则……〔8分,……〔9分又,,……〔10分,……〔11分函数在上递减.……〔12分6.已知函数,求、、的值.详解：,……〔3分,……〔6分.……〔12分7.已知函数.〔1证明在上是减函数;〔2当时,求的最大值和最小值.参考答案：〔1证明：在区间上任取,且,则有……〔1分,……〔3分∵,,……〔4分∴即……〔5分∴,所以在上是减函数．……〔6分〔2由〔1知在区间上单调递减,所以……〔12分8.已知函数其中．〔1求函数的定义域；

〔2判断的奇偶性,并说明理由；〔3求使成立的的集合.

参考答案：〔1.若要上式有意义,则,即.……〔3分所以所求定义域为……〔4分〔2设,则.……〔7分所以是偶函数.……〔8分〔3,即,.当时,上述不等式等价于,解得.……〔10分

当时,原不等式等价于,解得.……〔12分综上所述,当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为.9.已知函数.

〔1判断的奇偶性；

〔2若,求a,b的值.参考答案：〔1定义域为R,,故是奇函数.……〔6分〔2由,则.……〔8分又log3<4a-b>=1,即4a-b=3.……〔10分由,解得a=1,b=1.……〔12分10.对于函数.〔1探索函数的单调性；〔2是否存在实数a使得为奇函数.参考答案：<1>的定义域为R,

设,则=,……〔3分,,……〔5分即,所以不论为何实数总为增函数.……〔6分〔2假设存在实数a使为奇函数,……〔7分即,……〔9分

解得:……〔12分11.〔1已知函数图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.x－2－1.5－1－0.500.511.52f<x>－3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89〔2已知二次方程的两个根分别属于<-1,0>和<0,2>,求的取值范围.参考答案：〔1由,,,……〔3分得到函数在〔－2,－1.5、〔－0.5,0、〔0,0.5内有零点.……〔6分〔2设=,则=0的两个根分别属于<-1,0>和<1,2>.所以,……〔8分即,

……〔10分∴．……〔12分12.某商场经销一批进货单价为40元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50515253545556日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润,售价定为多少时较为合理？参考答案：由题可知,销售单价增加1元,日均销售量就减少2个.设销售单价定为x元,则每个利润为〔x－40元,日均销量为个.由于,且,得.……〔3分则日均销售利润为,.……〔8分易知,当,y有最大值.……〔11分所以,为了获取最大利润,售价定为57元时较为合理.……〔12分13.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式,其中是臭氧的初始量.

〔1随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少？〔2多少年以后将会有一半的臭氧消失？参考答案：〔1∵,,,∴为减函数.……〔3分

∴随时间的增加,臭氧的含量是减少.……〔6分〔2设x年以后将会有一半的臭氧消失,则,即,……〔8分

两边去自然对数,,……〔10分解得.……〔11分

∴287年以后将会有一半的臭氧消失.……〔12分14.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了以后估计每个月的产量,以这三个月的产品数据为依据.用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系,模拟函数可选用二次函数〔其中为常数,且或指数型函数〔其中为常数,已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.参考答案：当选用二次函数的模型时,∵,由,有,解得,……〔4分∴.……〔5分当选用指数型函数的模型时,∵由有,解得,……〔9分

∴.……〔10分根据4月份的实际产量可知,选用作模拟函数较好.……〔12分15.如图,是边长为2的正三角形,记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式,并画出函数的图象.参考答案：〔1当时,如图,设直线与分别交于、两点,则,又,,……〔4分〔2当时,如图,设直线与分别交于、两点,则,又,……〔8分〔3当时,.……〔10分……〔12分16.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y〔微克与时间t〔小时之间近似满足如图所示的曲线.〔1写出服药后y与t之间的函数关系式y=f<t>；〔2据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？参考答案：〔1当0≤t≤1时,y=4t；……〔2分当t≥1时,,此时在曲线上,∴,这时.……〔5分所以.……〔6分〔2∵,

……〔8分解得,……〔10分∴.……〔11分∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时.……〔12分必修2P<1>1.圆锥底面半径为1cm,高为cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.参考答案：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDD1C1,如图所示.…2分设正方体棱长为x,则CC1=x,C1D1。作SOEF于O,则SO,OE=1,……………….5分,∴,即………..10分∴,即内接正方体棱长为cm……….12分2.如图〔单位：cm,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.参考答案：由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面.……….3分

S半球=8π,S圆台侧=35π,S圆台底=25π.故所求几何体的表面积为68π………..7分由,………9分…………….11分所以,旋转体的体积为……12分3.直角三角形三边长分别是、、,绕三边旋转一周分别形成三个几何体.想象并说出三个几何体的结构,画出它们的三视图,求出它们的表面积和体积.

参考答案：以绕5cm边旋转为例,其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为：其表面是两个扇形的表面,所以其表面积为；3分体积为。………………….4分同理可求得当绕3cm边旋转时,。…….8分得当绕4cm边旋转时,。……………….12分4.已知空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC、CD上的点,且.求证：〔1E、F、G、H四点共面；〔2三条直线EF、GH、AC交于一点.

参考答案：证明：〔1在△ABD和△CBD中,∵E、H分别是AB和CD的中点,∴EHBD…………….3分又∵,

∴FGBD.∴EH∥FG.

分所以,E、F、G、H四点共面.7分〔2由〔1可知,EH∥FG,且EHFG,即直线EF,GH是梯形的两腰,所以它们的延长线必相交于一点P.……………9分∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线,而点P是上述两平面的公共点,∴由公理3知PAC.

………11分所以,三条直线EF、GH、AC交于一点……..12分5.如图,∥∥,直线与分别交,,于点和点,求证：.参考答案：证明：连结,交于,连…………3分则由得……7分

由得………………..10分所以………..12分6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

〔◎P79B2求证：〔1B1D⊥平面A1C1B；

〔2B1D与平面A1C1B的交点设为H,则点H是△A1C1B的垂心.参考答案：〔1连,,又面,所以,面,因此。

同理可证,所以B1D⊥平面A1C1B。……6分

〔2连,由,得

,因此点为的外心。又为正三角形,所以是的中心,也是的重心。………….….12分7.〔06年北京卷如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,平面,且,点是的中点.〔1求证：；〔2求证：平面；〔3求二面角的大小.

〔2参考答案：〔1∵PA⊥平面ABCD,∴AB是PB在平面ABCD上的射影.又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,∴AC⊥PB.……4分〔2连接BD,与AC相交于O,连接EO.∵ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点又E是PD的中点,∴EO∥PB.又PB平面AEC,EO平面AEC,∴PB∥平面AEC……………..8分〔3取AD的中点F,的中点,连,则所以是所求二面角的平面角,且与对应相等。易知由图可知,为所求。……………12分8.已知,,,求点D的坐标,使直线CD⊥AB,且CB∥AD．参考答案：设点D的坐标为〔x,y,由已知得,直线AB的斜率KＡＢ＝３,……………2分.直线ＣＤ的斜率KＣＤ＝,直线ＣＢ的斜率KＣＢ＝－２,直线ＡＤ的斜率KＡＤ＝。……………8分由CD⊥AB,且CB∥AD,得,………11分所以点Ｄ的坐标是〔０,１……..12分9.求过点,并且在两轴上的截距相等的直线方程.参考答案：因为直线ｌ经过点Ｐ〔２,３,且在ｘ轴,ｙ轴上的截距相等,所以〔１当直线过原点时,它的方程为；……………5分〔２当直线不过原点时,设它的方程为由已知得,所以,直线的方程为。……….11分综上,直线的方程为,或者。……………..12分10.三角形的三个顶点是A〔4,0、B〔6,7、C〔0,3.〔1求BC边上的高所在直线的方程；

〔2求BC边上的中线所在直线的方程；〔3求BC边的垂直平分线的方程．参考答案：〔１所以ＢＣ边上的高所在直线的斜率为又过点,所以直线的方程为即；……………..4分〔２BC中点坐标为,所以所在直线的方程为即。..8分〔3易知即为所求。…….12分11.在x轴上求一点,使以点、和点P为顶点的三角形的面积为10.参考答案：依设,,直线AB的方程是。……….3分在中,设AB边上的高为,则,…………..7分设,则P到AB的距离为所以,…………….10分解得或。……………….11分所以,所求点的坐标是,或。…….12分12.过点有一条直线l,它夹在两条直线与之间的线段恰被点P平分,求直线l的方程.

参考答案：如图,设直线夹在直线之间的部分是AB,且ＡＢ被平分。设点Ａ,Ｂ的坐标分别是,则有,………4分又Ａ,Ｂ两点分别在直线上,所以。…………..8分由上述四个式子得,即Ａ点坐标是,……….11分所以由两点式的ＡＢ即的方程为。….12分13.的三个顶点的坐标分别是、、；,求它的外接圆的方程.参考答案：设所求圆的方程为,…………….2分则依设有。……………11分所以,为所求。……….12分14.已知线段AB的端点B的坐标是<4,3>,端点A在圆上运动,求线段AB的中点轨迹方程.参考答案：圆的圆心为P<-1,0>,半径长为2,………….4分线段AB中点为M<x,y>.……5分取PB中点N,其坐标为<,>,即N<,>……7分∵M、N为AB、PB的中点,∴MN∥PA且MN=PA=1.……………….9分∴动点M的轨迹为以N为圆心,半径长为1的圆.所求轨迹方程为：……………..12分15.过点的直线l被圆所截得的弦长为,求直线l方程.参考答案：由,所以圆心坐标为,半径。……..3分

因为直线被圆所截得的弦长是,所以弦心距为,……………….5分因为直线过点,所以可设所求直线的方程为,即。….7分依设得。………..10分所以,所求直线有两条,它们分别为

或。即或。………..12分16.求圆心在直线上,并且经过圆与圆的交点的圆的方程.参考答案：解法一：设两圆交点为Ａ,Ｂ,由方程组,所以,…………5分因此ＡＢ的中垂线方程为。由,所求圆心Ｃ的坐标是。

…………9分,

……10分所以,所求圆的方程为即…………12…………5分解法二：设过圆与圆交点的圆的方程为,……4分即……….6分其圆心坐标是,….8分因为圆心在上,所以,解得。………10分所以,所求的圆的方程为,即……….12分必修3P<1>1.设计一个算法求的值,并画出程序框图.

参考答案：2.对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下.

〔1列出频率分布表；〔2画出频率分布直方图；〔3估计元件寿命在100～400h以内的在总体中占的比例；〔4估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例.〔12分参考答案：〔1样本频率分布表如右.3分〔2频率分布直方图如下.6分〔3元件寿命在100h～400h以内的在总体中占的比例为0.65.9分〔4估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例为0.35.12分3.甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的株高如下〔单位：cm：甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：〔1哪种玉米的苗长得高？〔2哪种玉米的苗长得齐？〔12分参考答案：〔1,.,即乙种玉米的苗长得高.6分〔2,.,即乙种玉米的苗长得高,甲种玉米的苗长得整齐.12分4.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y〔万元,有如下的统计资料：

〔1回归直线方程；〔2估计使用年限为10年时,维修费用约是多少？〔参考：〔12分参考答案：〔1所以回归直线方程为9分〔2,即估计用10年时维修费约为12.38万元.12分5.在一次商贸交易会上,商家在柜台开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.〔1若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球,当两个球同色时则中奖,求中奖概率；

〔2若甲计划在9：00～9：40之间赶到,乙计划在9：20～10：00之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.〔12分参考答案：〔1从袋中10个球中摸出2个,试验的结果共有〔种.中奖的情况分为两种：〔i2个球都是红色,包含的基本事件数为；〔ii2个球都是白色,包含的基本事件数为.所以,中奖这个事件包含的基本事件数为15+6=21.因此,中奖概率为.5分〔2设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟.

用表示每次试验的结果,则所有可能结果为

；记甲比乙提前到达为事件A,则事件A的可能结果为

.如图所示,试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD.而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分.根据几何概型公式,得到

.所以,甲比乙提前到达的概率为.12分6.〔20XXXX模拟某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩〔均为整数分成六段,…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题：〔1求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图；〔3估计这次考试的及格率〔60分及以上为及格和平均分；〔3从成绩是80分以上〔包括80分的学生中选两人,求他们选在同一组的概率.〔12分参考答案：〔1因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：.直方图如右所示.4分〔2依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,频率和为.所以,抽样学生成绩的合格率是%.利用组中值估算抽样学生的平均分＝＝71.估计这次考试的平均分是71分.8分〔3,的人数是15,3.所以从成绩是80分以上〔包括80分的学生中选两人,他们选在同一组的概率为.12分7.〔08年XX卷.文某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.〔1求x的值；〔2现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名？〔3已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.〔12分参考答案：〔1,

.4分〔2初三年级人数为y＋z＝2000－〔373＋377＋380＋370＝500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为：〔名.8分〔3设初三年级女生比男生多的事件为A,初三年级女生男生数记为〔y,z；由〔2知,且,基本事件空间包含的基本事件有：〔245,255、〔246,254、〔247,253、……〔255,245共11个.事件A包含的基本事件有：〔251,249、〔252,248、〔253,247、<254,246>、<255,245>共5个.

12分8.〔09年XX卷.文随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高〔单位：cm,获得身高数据的茎叶图如图.〔1根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；〔2计算甲班的样本方差；〔3现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.〔12分参考答案：〔1由茎叶图可知：甲班身高集中于之间,而乙班身高集中于之间.因此乙班平均身高高于甲班;4分〔2,

甲班的样本方差为＝57.8分〔3设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：〔181,173

〔181,176〔181,178〔181,179〔179,173〔179,176〔179,178

〔178,173

<178,

176>

〔176,173共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件.

.12分必修4P<1>1.已知角a的终边经过P<4,-3>.〔1求2sina－cosa的值；

〔2求角a的终边与单位圆的交点P的坐标.参考答案：〔1∵,

。。。。。。。2分

∴,.

。。。。。。6分∴2sina－cosa.

。。。。。。。8分〔2角a的终边与单位圆的交点P的坐标为,即.。。。。12分2.已知,计算：

〔1；

〔2；

〔3；〔4.3.求函数的定义域、周期和单调区间.参考答案：〔1由,解得.∴定义域.。。。。。3分〔2周期函数,周期.。。。。。。6分由,解得∴函数的单调递增区间为.。。。。。12分4.已知tanα＝,计算：

〔1；

〔2.参考答案：5.画函数y＝3sin<2x＋>,x∈R简图,并说明此函数图象怎样由变换而来.参考答案：由五点法,列表：

描点画图,如下：。。。。。。。。。。6分这种曲线也可由图象变换得到,即：y＝sinx。。。。。。。。。12分6.某正弦交流电的电压〔单位V随时间t〔单位：s变化的函数关系是

.〔1求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅；〔2当,时,求瞬时电压；〔3将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V的霓虹灯的两端,求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？〔说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光.取参考答案：〔1周期,频率,振幅.。。。。3分〔2时,〔V；时,〔V.。。。。6分〔3由及,得.。。。。。9分结合正弦图象,取半个周期,有,解得.

所以,半个周期内霓虹灯管点亮的时间为〔s.。。。。。12分7.平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态,,,与的夹角为,求：〔1的大小；

〔2与夹角的大小.

参考答案：∵三个力平衡,∴F1＋F2＋F3＝0,。。。。。。2分∴|F3|＝|F1＋F2|＝＝＝＝+1,。。。。。。。。。。。。。。6分而－F3与F1的夹角可由余弦定理求得,cos＜－F3,F1＞＝＝,∴－F3与F1的夹角为30°.。。10分则F3与F1的夹角为180°－30°＝150°.。。。。。。12分8.已知,,〔1求与的夹角；〔2若,且,试求.参考答案：〔1∵＝61,∴＝,。。。。。。4分∴.。。。。。。。。。。6分〔2设,则,解得或.。。。。。10分所以,或.。。。。。。。12分9.已知,,求的值.

参考答案：10.已知,,,,求的值.已知,0＜β＜,cos<－α>=,sin<+β>=,求sin<α+β>的值.参考答案：∵+β－<－α>=+<α+β>,。。。。。。。2分∴sin<α+β>=－cos［+<α+β>］=－cos［<+β>－<－α>］=－[cos<+β>cos<－α>+sin<+β>sin<－α>]

。。。。。4分∵＜α＜＜－α＜＜－α＜0,0＜β＜＜+β＜π.。。。。。。6分∴sin<－α>===,。。。。8分cos<+β>===.。。。。。10分由<1>得:

sin<α+β>=－［×+×<>］=.。。。。。12分11.〔1〔07年XX卷.11已知,,求的值；〔2已知,,求的值.参考答案：〔1∵cos<α＋β>＝cosαcosβ－sinαsinβ＝①；cos<α－β>＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝②.。。。。。。。2分①＋②得cosαcosβ＝,②－①得

sinαsinβ＝,。。。。。14分∴

tanα·tanβ＝＝.。。。。。。。6分12.已知函数.

〔1求它的递减区间；〔2求它的最大值和最小值.参考答案：13.已知函数.〔1求的最小正周期；

〔2当时,求的最小值以及取得最小值时x的集合.参考答案：14.已知函数的最大值为1.〔1求常数a的值；

〔2求使成立的x的取值集合.参考答案：15.〔20XXXX卷.理16已知向量与互相垂直,其中．〔1求和的值；〔2若,求的值.参考答案：〔1∵与互相垂直,则,。。。2分即,代入,解得.。。。。6分又,∴.。。。8分〔2∵,,∴,则.。。。。。。10分∴.。。。。。12分16.已知,且.〔1求及；

〔2求函数的最小值.参考答案：〔1,。。。。2分

.。。。。。4分

∵,

∴.

∴.。。。。6分

〔2.必修5P<1>1.在△ABC中,已知,,B=45°,求A、C及c.参考答案：解一：根据正弦定理,.

……〔3分∵B=45°<90°,且b<a,∴A=60°或120°.

……〔6分当A=60°时,C=75°,；……〔9分当A=120°时,C=15°,.

……〔12分解二：根据余弦定理,.将已知条件代入,整理得,解得.

……〔6分当时,,从而A=60°,C=75°；

……〔10分当时,同理可求得：A=120°,C=15°.

……〔12分2.在△ABC中,若,判断△ABC的形状.参考答案：,,

……〔4分化简得：,即.

……〔9分①若时,,此时是等腰三角形；②若,,此时是直角三角形,所以是等腰三角形或直角三角形.

……〔12分3.在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,且a2＋b2＝c2＋ab.〔1求C；

〔2若,求A．

参考答案：〔1∵a2＋b2＝c2＋ab,

∴,∴cosC＝,∴C＝45°.

……〔6分〔2由正弦定理可得,∴∴sinBcosC＝2sinAcosB-sinCcosB,∴sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB,∴sin<B＋C>＝2sinAcosB,∴sinA＝2sinAcosB.

……〔9分∵sinA≠0,∴cosB＝,∴B＝60°,A＝180°－45°－60°＝75°.……〔12分4.如图,我炮兵阵地位于A处,两观察所分别设于C,D,已知△ACD为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时,测得∠CDB＝45°,∠BCD＝75°,试求炮击目标的距离AB．〔结果保留根式形式参考答案：在中,,.∴.

……〔5分在中,,.∴.

……〔12分5.如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为,经过2分钟后又看到山顶的俯角为,求山顶的海拔高度.参考答案：在中,,,.

……〔3分根据正弦定理,,

,

.……〔6分.……〔10分所以,山顶P的海拔高度为〔千米.

……〔12分6.已知数列的第1项是1,第2项是2,以后各项由给出.〔1写出这个数列的前5项；〔2利用上面的数列,通过公式构造一个新的数列,试写出数列的前5项.参考答案：⑴由,得,；

……〔5分⑵依题意有：,,,,.

……〔12分7.已知数列的前项和为,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是,它的首项与公差分别是什么？参考答案：⑴①当时,；

……〔2分②当时,由得……〔7分又满足,所以此数列的通项公式为.

……〔9分⑵因为,

所以此数列是首项为,公差为2的等差数列.……〔12分8.〔09年XX卷.文17等比数列中,已知.

〔1求数列的通项公式；〔2若分别为等差数列的第3项和第5项,试求数列的通项公式及前项和.参考答案：〔1设的公比为,

由已知得,解得.……〔3分所以.

……〔4分〔2由〔1得,,则,.

……〔6分设的公差为,则有解得.

……〔9分从而.

……〔10分所以数列的前项和.

……〔12分9.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么它的前15项的和等于多少？解法一：,,……〔3分又成等比数列,所以,

……〔8分所以.

……〔12分解法二：设等比数列的首项为,公比为,则：==①,同理②,因为,所以由①得,所以,代入②,得.10.已知数列的前项和为,.〔1求

〔2求证：数列是等比数列.参考答案：〔1,解得.

……〔2分由,解得.

……〔5分〔2,则,

……〔8分整理为,即,所以是等比数列.

……〔12分11.已知不等式的解集为A,不等式的解集是B.〔1求；〔2若不等式的解集是求的解集.参考答案：〔1解得,所以.

……〔3分解得,所以.

∴.

……〔6分〔2由的解集是,所以,解得

……〔9分∴,解得解集为R.

……〔12分12.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏；若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格〔不能低于15元？参考答案：设每盏台灯售价元,则

……〔6分即,所以售价在.

……〔12分13.电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中,连续剧甲每次播放时间为80min,广告时间为1min,收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min,广告时间为1min,收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放6min广告,而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟.问两套连续剧各播多少次,才能获得最高的收视率?参考答案：将所给信息用下表表示.设每周播放连续剧甲x次,播放连续剧乙y次,收视率为z.则目标函数为z=60x+20y,约束条件为,作出可行域如右图.

……〔5分作平行直线系,由图可知,当直线过点A时纵截距最大.

……〔6分解方程组,得点A的坐标为<2,4>,zmax=60x+20y=200<万>.…〔11分所以,电视台每周应播放连续剧甲2次,播放连续剧乙4次,才能获得最高的收视率.14.已知为正数.〔1若,求的最小值；〔2若,求的最大值.参考答案：〔1∵,∴≥.……〔4分当且仅当时,上式取等号.所以的最小值为.

……〔6分〔2.

……〔10分当且仅当即时等号成立.

……〔12分15.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？参考答案：设水池底面一边的长度为xm,则另一边的长度为m,又设水池总造价为y元.根据题意,得y＝150×＋120〔2×3x＋2×3×

……〔4分＝240000＋720〔x＋

……〔6分≥240000＋720×2＝240000＋720×2×40＝297600.……〔9分当x＝,即x＝40时,y有最小值297600.

……〔11分因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元.16.〔20XX北京春招经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量〔千辆/小时与汽车的平均速度〔千米/小时之间的函数关系为：．〔1在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大？最大车流量为多少？〔2参考答案：〔1依题意得．

……〔4分当且仅当即时取等号．故千辆/小时．……〔6分〔2由条件得．……〔8分整理得．

……〔10分解得．……〔12分选修1-1P<1>1.已知,,若的必要不充分条件,求实数的取值范围.

参考答案：∵﹁p是﹁q必要不充分条件,

∴,即.……〔3分解得,即：.

……〔6分解变形为,解得,即.

……〔9分由,则,解得.所以实数的取值范围。

……〔12分选修1-1P<1>1.设函数.〔1求函数f<x>的单调区间；〔2求函数f<x>的极大值和极小值.参考答案：∵f′<x>=－x2+4x－3=－<x－3><x－1>,……〔2分〔1由f′<x>>0,解得：1<x<3；由f′<x><0,解得：x<1或x>3,则函数f<x>的单调递增区间为〔1,3,单调递减区间为〔－∞,1和〔3,+∞.……〔6分〔2由f′<x>=0,解得：x=1或x=3.列表如下：……〔9分x<－∞,1>1<1,3>3<3,+∞>f′<x>—0+0—f<x>单调递减↘－单调递增↗0单调递减↘∴函数f<x>的极大值为0,极小值为－.……〔12分2.点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数,求M的轨迹.参考答案：设是点到直线的距离,根据题意得,点的轨迹就是集合,……〔4分由此得。将上式两边平方,并化简,得。即。……〔9分所以,点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。.……〔12分3.双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,求此双曲线的方程.参考答案：椭圆焦点为,根据题意得双曲线的焦点为,……〔3分设双曲线的标准方程为,且有。……〔6分又由,得,得,……〔10分所求双曲线的方程为。……〔2分4.倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.参考答案：设,到准线的距离分别为,由抛物线的定义可知,于是。……〔3分由已知得抛物线的焦点为,斜率,所以直线方程为。……〔6分将代入方程,得,化简得。由求根公式得,……〔9分于是。所以,线段AB的长是8。……〔12分5.当从到变化时,方程表示的曲线的形状怎样变换？参考答案：当时,,方程表示圆心在原点的单位圆。……〔3分当时,,方程表示圆心在原点的单位圆。……〔5分当时,,方程,得表示与轴平行的两条直线。……〔7分当时,,方程表示焦点在轴上的双曲线。……〔9分当时,,方程表示焦点在轴上的等轴双曲线。……〔12分6.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米,拱顶距离水面6.5米.〔1建立如图所示的平面直角坐标系xoy,试求拱桥所在抛物线的方程；〔2若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥？参考答案：〔1设抛物线方程.……〔2分由题意可知,抛物线过点,代入抛物线方程,得

,解得,所以抛物线方程为.……〔6分〔2把代入,求得.……〔9分而,所以木排能安全通过此桥.……〔12分7.已知椭圆C的焦点分别为F1〔,0和F2〔2,0,长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求：〔1线段AB的中点坐标；

〔2弦AB的长.参考答案：设椭圆C的方程为,由题意a=3,c=2,于是b==1.……〔3分∴椭圆C的方程为＋y2＝1．……〔5分联立方程组,消y得10x2＋36x＋27＝0,因为该二次方程的判别式Δ＞0,所以直线与椭圆有两个不同的交点,……〔9分设A〔x1,y1,B〔x2,y2,则x1＋x2＝,故线段AB的中点坐标为〔．……〔12分8.在抛物线上求一点P,使得点P到直线的距离最短,并求最短距离.参考答案：设与直线平行,且与抛物线相切的直线为.……〔3分由,消x得.……〔5分∴,解得,即切线为.……〔7分由,解得点.……〔9分∴最短距离.……〔12分9.点M是椭圆上的一点,F1、F2是左右焦点,∠F1MF2=60º,求△F1MF2的面积.参考答案：由,得a=8,b=6,.……〔3分根据椭圆定义,有.……〔5分在△F1MF2中,由余弦定理,得到.即,……〔7分,解得.……〔10分△F1MF2的面积为：.……〔12分10.〔06年XX卷已知三点P〔5,2、〔－6,0、〔6,0.

〔1求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；〔2设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。参考答案：〔1设所求椭圆方程为<a>b>0>,其半焦距c=6,……〔2分……〔4分∴,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为．……〔6分〔2点P<5,2>、F1<-6,0>、F2<6,0>关于直线y=x的对称点分别为点P,<2,5>、F1,<0,-6>、F2,<0,6>.……〔8分设所求双曲线的标准方程为,由题意知,半焦距c1=6,,,b12=c12-a12=36-20=16.所以,所求双曲线的标准方程为．……〔12分11.已知函数〔为自然对数的底.〔1求函数的单调递增区间；〔2求曲线在点处的切线方程.参考答案：,因此有……〔3分

〔1令,即函数的单调递增区间是；……〔6分〔2因为,,……〔9分所以曲线在点处的切线方程为,即.……〔12分12.〔06年XX卷已知函数的图象在点处的切线方程为.〔1求函数的解析式；〔2求函数的单调区间.

参考答案：〔1,.……〔2分又函数的图象在点处的切线方程为x+2y+5=0,……〔4分所求函数解析式为.……〔6分〔2解得……〔8分当或时,当时,在和内是减函数,在内是增函数.……〔12分13.已知a为实数,,〔1求导数；〔2若,求在上的最大值和最小值；〔3若在和上都是增函数,求a的取值范围.

〔☆P45例3参考答案：〔1因为=,所以.……〔3分〔2由,得,此时有

所以……〔5分由,得或,又因为,所以在上的最大值为,最小值为.……〔8分〔3的图象为开口向上且过点〔0,-4的抛物线.由条件得

即,解得.所以的取值范围为.……〔12分14.〔20XX全国卷III.文用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成〔如图,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

参考答案：设容器的高为x,容器的体积为V,……〔1分则V=〔90-2x〔48-2xx,〔0<x<24……〔5分=4x3-276x2+4320x∵V′=12x2-552x+4320令V′=12x2-552x+4320=0得x1=10,x2=36.……〔8分∵令V′>0得x>36或x<10；令V′<0得10<x<36.函数在上递增,在上递减.当x=10时,V有极大值=19600.又=0,=0,

所以当x=10时,V有最大值=19600cm.……〔12分15.〔20XXXX卷已知函数在与时都取得极值,〔1求a、b的值与函数的单调区间.〔2若对时,不等式恒成立,求c的取值范围.参考答案：〔1,.……〔3分由,得a＝,b＝－2,当x变化时,、的变化情况如下表：函数的递增区间是〔－¥,－和〔1,＋¥；递减区间是〔－,1.……〔6分〔2＝x3－x2－2x＋c,……〔8分又＝,,,＝c+2.＝c+2为最大值.……〔10分要使在恒成立,只需＝c+2,解得c<－1或c>2.……〔12分选修1-2P<1>1.考点：①会画散点图②能利用公式求线性回归方程某种产品的广告费用支出〔万元与销售额〔万元之间有如下的对应数据：〔1画出散点图；〔2求回归直线方程；〔3据此估计广告费用为9万元时,销售收入的值．参考公式：,其中.参考答案：〔1作出散点图如下图所示：〔2,,,,.,．因此回归直线方程为；〔3时,预报的值为〔万元．2.考点：①会根据数据绘制列连表②能利用公式判断两个量之间的相关性〔独立性检验甲乙两个班级均为40人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格与不及格进行统计,甲班及格人数为36人,乙班及格人数为24人.〔1根据以上数据建立一个的列联表；〔2试判断是否成绩与班级是否有关？

参考公式：；参考答案：〔12×2列联表如下：〔2由,所以有99.5%的把握认为"成绩与班级有关系".3.考点：合情推理及证明已知,分别求,,,然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.参考答案：由,得；；.归纳猜想一般性结论为.证明如下：4.〔同上考点：合情推理及证明〔1若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积,根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个