2023年中考数学知识点练习-二次函数的实际应用题型分类（附例题讲解）

2023年中考数学重点核心知识点专题讲练•二次函

数的实际应用题型分类（附例题讲解）

♦题型一：增长率问题

思维形成：

1.增长率是指两年的平均增长率；

2.注意题中所给的结果是和还是单个数值。

ILBl例题精讲：

【例1】我市2017年平均房价为6500元和2.若2018年和2019年房价平均增长率为X,则

预计2019年的平均房价y（元加2）与X之间的函数关系式为.

【答案】y6500（1∙Λ）1

【分析】苜先根据题意可得2018年的房价=2017年的房价x（l+增长率）,2019年的房价=2018

年的房价x（l+增长率），由此可得2019年的平均房价y与X之间的函数关系式.

【详解】解：由题意得：V=6500（1+√

故答案为：V=6500（1+√

需真题演练:

1.(2022.福建漳州.福建省漳州第一中学校考模拟预测)据省统计局公布的数据，合肥市2021

年第一季度GZ)尸总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，

平均每个季度GO尸增长的百分率为X,则y关于X的函数表达式是()

A.y=2.4(l+2x)B.y=2.4(I-Jt)2

C.y=2.4(l+x)2D.y=2.4+2.4(l+x)+2.4(l+x)2

【答案】C

【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为X,第二季度季度GD尸总值约为2.4(l+x)

元，第三季度GDP总值为2.4(l+x)2元，则函数解析式即可求得.

【详解】解：设平均每个季度GCP增长的百分率为X,

则y关于X的函数表达式是：y=2.4(l+x)2.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式,正确理解增长率问题是解题关键.

2.(2020•安徽淮北•校联考一模)据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GO尸总

值约为79千亿元人民币，若我省第四季度GOP总值为1千亿元人民币，平均每个季度

GOP增长的百分率为1,则1关于、的函数表达式是()

A.v=79(1∙lτ)B.V=79(1-t)

C.v=79(l*t)jD.V=79>790+.τ)+79(1+Λ)1

【答案】C

【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为X,第三季度季度GDP总值约为7.9(l+x)

元，第四季度GDP总值为7.9(l+x)2元，则函数解析式即可求得.

【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为X,则y关于X的函数表达式是：y=7.9

(l+x)2.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式,正确理解增长率问题是解题关键.

3.(2022•宁夏银川・银川唐徐回民中学校考三模)为执行国家药品降价政策，给人民群众带

来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率相

同，则每次降价的百分率为.

【答案】2O›o

【分析】设每次降价的百分率为X,由题意得Ioo(I-XF=64,求解即可.

【详解】解：设每次降价的百分率为X,由题意得

100(1Λ)64，

解得X=O.2=2(FaL=I8(舍去)，

，每次降价的百分率为2»。，

故答案为：2伊o∙

【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题列方程的方法是解题的

关键.

4.(安徽淮南.统考一模)我市2017年平均房价为6500元加2.若2018年和2019年房价平均

增长率为X,则预计2019年的平均房价y(元加2)与X之间的函数关系式为.

【答案】P6500(l∙X

【分析】首先根据题意可得2018年的房价=2017年的房价x(l+增长率),2019年的房价=2018

年的房价x(l+增长率)，由此可得2019年的平均房价y与X之间的函数关系式.

【详解】解：由题意得：y=6500(1+、),

故答案为：V=6500(l+x)；

【点睛】本题考查了二次函数增长率问题，解决本题的关键是熟练掌握增量率模型.

5.(2022•广东广州・广州大学附属中学校考二模)为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推

出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设.

(1)根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求

该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；

(2)该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000

元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的

最高投入费用是多少元？

【答案】(1)20%；(2)612500()(元)

【分析】(1)设平均增长率为X,根据题意列式求解即可：

(2)设多改造y户，最高投入费用为W元，根据题意列式

H'=(300+∏)(2O(MX)-5αfl)=-5O(Λ-5O)2+612500›然后根据二次函数的性质即可求出最

大值.

【详解】解：(1)设平均增长率为X,则x>0,

由题意得：3(1+1)2=432，

解得：x=0.2或4-2.2(舍)，

答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；

(2)设多改造“户，最高投入费用为卬元，

由题意得：W'≡(3∞♦«).(2000050fl)v:50(fl50•612500«

Va=-50,抛物线开口向下，

当α-5O=O,即。=50时，W最大，此时W=612500元，

答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二

次函数的性质进行求解.

6.（2019•山东东营•统考一模）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560

万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资

金3200万元.

（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？

（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩

需3.5万元，安装一个8型充电桩需4万元，且4型充电桩的数量不多于B型充电桩的一

半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？

【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）

A、8两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元

【分析】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为X,根据

等量关系，列出方程，即可求解；

（2）设安装A型充电桩。个，则安装8型充电桩（20Oa）个，所需资金为“，万元，列不等式，

求出a的范围，再求出W的函数解析式，进而可求出答案.

【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为X,

根据题意得：2560（1+Xy=2560+3200，

解得:怎=0.5=50%,演=-2.5（舍去）.

答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；

（2）设安装A型充电桩4个，则安装8型充电桩仁OOα）个，所需资金为Ir万元.

根据题意，得：《［（200a）,

解得:ɑ:66-,

3

»•-=35Λ+4（2OOa）=-050ι8∞,

∙--05<0.

，W随α的增大而减小.

为整数，

二当α=66时，M最小，最小值为-OJ66+800=767（万元）.

此时，200-aT34∙

答：4、8两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.

【点睛】本题主要考查一次函数,二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系,

列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.

.题型二：拱桥问题

柘!思维形成：

L若题中没有坐标系，建立适当的坐标系解题，一般以顶点为原点或让顶点在y

轴上；

2.把题中给的长和宽准确的转化成坐标。

IH例题精讲：

【例2】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米,

水面宽8米.

<--------------6米---------A

【答案】—##1-

99

【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（-3,0）,求出二次函数解析式，

再根据把44代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案.

【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴X通过A8,纵轴y通过4B中点O且通过C点,

通过以上条件可设顶点式）="∕+2,把点A点坐标（-3,0）代入得,

*'•Ski÷2=O,

2

・・ɑ:—，

9

.∙.抛物线解析式为：V：X2.2;

9

当水面下降，水面宽为8米时，有

把工一4代入解析式，得y=-4,÷2ɪ-16÷2--：

999

・・・水面下降米；

9

故答案为：—；

9

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是

解决问题的关键.

盟真题演练：

I.(2020•浙江绍兴•模拟预测)一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米.

(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

(2)如图，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

【答案】(1)①抛物线解析式为：v=-1τ+4;②要使高为3米的船通过，则其宽度须不

超过10多少米；

(2)①圆的半径为∣4S米；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过4、5米.

【分析】(1)①利用待定系数法求函数解析式即可；

②根据题意得出P=3时，求出X的值即可；

(2)①构造直角三角形利用£相WC产，求出即可；

②在RtZMFG尸中，由题可知，JFF=145,rG=14I=IJS,根据勾股定理知:

GF2=WF2ITU*,求出即可.

【详解】(D解：①设抛物线解析式为：＞，=0√+c,

；桥下水面宽度4B是20米，高CQ是4米，

.t.4(-10.0),8(10.0),O(O∙4),

100σ+c=0.,A=-----

ʌ,解jz得r：，25，

c=4

c≡4

，抛物线解析式为：v^-l.√÷4;

25

②Y要使高为3米的船通过，

JyT,则3-LT：4,

25

解得：X=±5，

EFnIO米：

答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过IO米:

(2)解：①设圆半径，米，圆心为W,

∙BF2=ΛCJ+CF2-

∙∙∙L=(r-W+lO3'

解得：r=l43即圆的半径为145米；

②在RtZJFG尸中，由题可知，Ir尸=∣4S,IFG=IJ5-1=13$，

根据勾股定理知：Gr=Jr/∏U^-

即G尸)=1452-13f=28，

所以G尸=2，？，

此时宽度月尸=S米.

答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过4々米.

【点睛】此题考查/待定系数法求函数解析式、垂径定理以及勾股定理的应用等知识，利用

图象上的点得出解析式是解决问题关键.

2.（2022.四川广安.统考中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6

米，水面下降米，水面宽8米.

6米

【答案】—##1-

99

【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（-3,0）,求出二次函数解析式，

再根据把Λ-=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案.

【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴X通过A2,纵轴y通过4B中点。且通过C点,

则通过画图可得知。为原点，由题意可得：40=08=3米，C坐标为（0,2）,

<------------6代---------A

通过以上条件可设顶点式y="2+2,把点A点坐标（-3,0）代入得,

∙'.<ta+2=0.

2

•・0=——，

9

.∙.抛物线解析式为：V=-Nl+2；

9

当水面下降，水面宽为8米时，有

把代入解析式，得y=-2Γ+2=--16+2=--；

999

水面下降9米；

9

故答案为：—；

9

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是

解决问题的关键.

3.（2022.陕西.统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE

表示水平的路面，以。为坐标原点，以OE所在直线为X轴，以过点O垂直于X轴的直线为

y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：O6-10川，该抛物线的顶点P到OH的距离为

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、JB处分别安装照

明灯.已知点A、B到OH的距离均为6m,求点A、B的坐标.

【答案】⑴.v--(.T5),+9

⑵/(5.毡,6),B(5+毡,6)

【分析】(1)根据题意，设抛物线的函数表达式为y=Mx-5)3+9,再代入(0,0),求出

a的值即可；

(2)根据题意知，4,B两点的纵坐标为6,代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可

解决问题.

【详解】(1)依题意,顶点解19),

设抛物线的函数表达式为.V=fl(x-5y'+9,

Q

将(0.0)代入，得0=a(0-5)'+9∙解之，We---.

・・・抛物线的函数表达式为V--2(N5)∙<9.

•25

9%

(2)令】；二6,得—(Λ5)4+9-6.

解之，得％=您+5,马=-毡+5∙

力3之3

∙∙-4(5-∙^^,6),B(5+^^,6)•

【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的

运用，解答时求出二次函数的解析式是关键.

4.(2021・贵州安顺•统考中考真题)甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥

拱截面084可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽Q4=8m,桥拱顶点；到

水面的距离是4m.

图①

(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

(2)一只宽为I%”的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点()4m时，桥下水

位刚好在0.4处.有一名身高16⅛u的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会

触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)：

(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线T=S-∙c(α=0),该抛物线在`轴下方部

分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移∙0)

个单位长度，平移后的函数图象在8时，1的值随'值的增大而减小，结合函数图象，

求的取值范围.

【答案】(I))=-Lr2+2t(0M8);(2)他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；(3)59^8

4

【分析】(I)设二次函数的解析式为：y=α(x-8)x,根据待定系数法，即可求解；

(2)把：χ=l,代入)=-∙Lχ2+2x,得到对应的)，值，进而即可得到结论；

(3)根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到的范围.

【详解】(1)根据题意得：4(8,0),8(4,4),

设二次函数的解析式为：y=α(x-8)x,

把(4,4)代入上式，得：4=°x(4-8)x4,解得：π--ɪ,

4

.∙.二次函数的解析式为：)=-一(X-8)x=--/+2入一(0W烂8)；

44

(2)由题意得：x=0.4+1.2÷2=l,代入y=-1∕+2χ,y=^ɪ×↑^+2×l=->1.68,

444

答：他的头顶不会触碰到桥拱；

2

(3)由题意得：当0人8时，新函数表达式为：y=^x-2χf

当XVO或x>8时，新函数表达式为：y=--x2+2χ

4f

-X2-2X(0≤X≤8)

・・・新函数表达式为:4

-ɪ.X3+2ι(.t(Ollt)S)

•••将新函数图象向右平移"』(川0)个单位长度，

Cf0),A'(∕n+8,0)>B'(〃?+4,-4),如图所示,

根据图像可知：当桁+色9且壮8时，即：59E8时，平移后的函数图象在8•「9时，「的

值随Y值的增大而减小.

【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像

和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键.

5.(2021•浙江衢州•统考中考真题)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与

桥长Co均为24m,在距离。点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离E尸为1.5m,以桥拱

顶点。为原点，桥面为X轴建立平面直角坐标系.

(1)求桥拱项部。离水面的距离.

(2)如图2,桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的

钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m.

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.

1

【答案】(1)6m；(2)(T)v∙=l(χ÷6)+∣;②2m

【分析】(I)设M=q∕,由题意得F(6.-L5),求出抛物线图像解析式，求当广12或k-12

时V的值即可；

(2)①由题意得右边的抛物线顶点为(6.1),设力y(x6尸∙1,将点，代入求值即可；

②设彩带长度为6，则%代入求值即可.

【详解】解(D设M=Q/,由题意得F(6,-L5),

Λ-l5=36^,

V∣=----Λ-，

E24

.二当公二12时/v∣=-—∙12*=-6，

24

桥拱顶部离水面高度为6m.

(2)①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1),

••设力=—61+1,

v∕∕(OJ),

.4-Λ(0-6)J÷b

.Vj=ʌ(t-6)j+l∙

14

1

(左边抛物线表达式：V∙ɪ-L(1+6)+I)

12

②设彩带长度为/?,

则〃—vɔ—V)=—(.⅜-6)"*1—(-----I')二一''-1+'1»

'"12248

Λ当x=4时，Q=2,

答：彩带长度的最小值是2巾.

【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结

合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键.

6∙(2022∙甘肃定西∙统考模拟预测)有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，

跨度为Io如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2)如图，在对称轴右边］∣u处，桥洞离水面的高是多少？

【答案】⑴V=-

(2)在对称轴右边Im处，桥洞离水面的高是一m

【分析】(1)根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点(0.0),代入即可求

解；

(2)根据对称轴为：t=5,得出对称轴右边Im处为：i=6,代入即可求解.

【详解】(1)解：由题意可得：抛物线顶点坐标为(5,4),

设抛物线解析式为：V="(一斤+4，

:抛物线过点(0.0),

O=fl(O-5)*+4>解得："=--^―>

.∙.这条抛物线所对应的函数关系式为：V=V-Sf+4.

(2)解：对称轴为：ι=S,则对称轴右边Im处为：i=6，

将t=6代入V=-■—(I-5)2÷4»可得：V=-■—(6—5)j÷4)解得：V=竺，

25并,25

答：在对称轴右边Im处，桥洞离水面的高是？m.

25

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式.

♦题型三：面积问题

柘!思维形成：

1∙求完长度一定要检验结果是否符合题意，不能超过墙的长

度；

2.表示面积的时候注意是否有门。

IfflI例题精讲：

［例］3］北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大

可用长度为12米.另三边用总长为26米的木板材料围成.车棚形状如图中的矩形心C7）。

为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。

（1）求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时月8与公「的长分别为多少米？

（2）如图2,在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的

小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？

【答案】⑴最大面积为96平方米，此时4。米，，48=8米;

（2）小路的宽为1米

【分析】（1）设AP为X米，则48为二X米,列出车棚面积的函数表达式，求出X的

取值范围，再求出函数的最大值，同时求出AZ）和A8的长即可；

（2）设小路宽为小米.根据题意列出方程，解方程即可.

【详解】（1）解：设40为X米，则48为；一I米,

根据题意得：S=∖26+27」；+%,

2

由题意得,τ≤12,

X>0

解得0<Λ≤I2,

Va=-ɪ<0>开口向下，

,当KVI4时，S随X的增大而增大，

∙,0<x≤12.

.∙.当κ=12时，S有最大值，SZ=96,

此时AD=x=12,AB="6+-_1=8,

2

答：最大面积为96平方米，此时40」2米，.4H=8米.

(2)解：设小路宽为布米.

根据题意得(12-2Λ*8-"∣)=70

解得网13(舍)，”,一I

答：小路的宽为1米.

【点睛】此题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，读懂题意，列出函数表达式和一

元二次方程是解题的关键.

盟真题演练：

1.(2022•江苏苏州•模拟预测)用28米长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形.

(1)当垂直于墙的一边比另一边少T米时，求长方形的面积.

(2)按表中列出的数据要求，填写表格.

观察表格，你感到长方形的面积会不会有最大的情况？如果会，可能是多少？

垂直于墙的一边比另一边少(U"1»710

长方形的面积—————

【答案】(l)98(m1

⑵见解析，会，98(∏r)

【分析】(1)设垂直于墙的一边为X,平行于墙的一边为y,根据三边长为28,且垂直于墙

的一边比另一边少了米，列出关于x、y的方程组，即可求得面积

(2)根据题意完成表格，设长方形的面积为S,可得S=2(t7)；+98，即可得到结果

【详解】(1)设垂直于墙的一边为X,平行于墙的一边为y,且垂直于墙的一边比另一边少7

米，

.∫lt+.V=28

¾〜V-I=7

∣zX=7

解得:

Lv=14

xf-9t,

答：长方形的面积为98(n∕)

(2)完成表格如下:

垂直于墙的一边比另一边少(m)1J71013

长方形的面积9096989690

设长方形的面积为S,

则：S-π

=ΛΓ(28-1V)

»-Zx2428Λ

=-2(Λ-7)J+98

•∙.当\7时，长方形的面积取得最大值，最大值为98(m)

【点睛】本题主要考查二次函数的应用和二元一次方程组的应用，根据长宽之间的关系列出

方程组和函数解析式是解题的关键

2.(2022•广东茂名•统考二模)如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，

其中猪圈一边靠墙另外三边用围栏围住，在8C边开个门(宽度为1米)，MN的长度

为15m,

MN

-^A}Γθ-

BC

(1)为了让围成的猪圈(矩形A88)面积达到112n√,请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别

是多少？

(2)当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？

【答案】(1)长是14米，宽是8米

(2)猪圈的长是15米，宽是3米时，猪圈的面积最大，为半米

*4

【分析】(1)设猪圈的长为30∙则宽为Em,其中「•：，根据SetJeB(30lx)<=112,

计算求出满足要求的，的值，进而可得结果；

(2)由(D可知与(*6-(30It)t1?♦30Λ2X三•卜・，根据二次函数的性

质可确定最大值时的N值，进而可得结果.

(1)

解：设猪圈的长为30-2xm,则宽为Xm,其中工21；，

.∙.矩形ABCO的面积与,修工，(30lt)Λ-112,

/.(τ7)(Λ8)=0,

解得X=7(不合题意，舍去)，或3=8,

二3O-2,t=3O-2∙8=14)

二猪圈的长为14m,宽为8m.

(2)

解：由(1)可知Sevg=(30-21)，=-2«2+3(h=+学，

-2<0.

.∙.当'时，耳帆3最大，

.∙.猪圈的长为15m,宽为±m时，猪圈的面积最大，最大值为二m2.

♦*

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值等知识.解题的关键在于根据题

意列等式.

3.(2021•四川绵阳•统考二模)如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间

用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1"?宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34〃?，设

AB的长为X米，养殖房总面积为S

F-------20m

~ɪlID

BFC

(1)求养殖房的最大面积∙

(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并

且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪儿种购买方案？

【答案】(I)IO8平方米

(2)5种购买方案.

小鹅05101520

小鸡8073665952

【分析】(1)根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；

(2)设买小鸡。只，小鹅6只，根据5α+76=400,且“≥26,求出“，。的整数解即可.

【详解】(1)解：由题意得：

S=X(34-3x+2)=X(36-3x)=-31+36X=-3(x-6)2+IO8,

；-3<0,

当x=6时，S有最大值，最大值为108,

•••养殖房的最大面积为108平方米：

(2)设买小鸡“只，小鹅人只，

则5α+7b=400,且θ≥2b,

则⅛≤-ɪy,且b>0,

又•."，。都为非负整数，

可为0,5,10,15,20,

此时α对应为80,73,66,59,52,

该养殖户共有5种购买方案：方案1：小鸡80只，小鹅。只；方案2：小鸡73只，小鹅

5只；方案3：小鸡66只，小鹅10只；方案4：小鸡59只，小鹅15只；方案5：小鸡52

只，小鹅20只.

【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式.

4.(2022.江苏泰州.模拟预测)用总长为60m的篱笆围成矩形场地.

(1)根据题意，填写下表：

矩形一边长W5IOIS20

矩形面积加「1r

(2)设矩形一边长为∙m,矩形面积为Qi/,当X是多少时，矩形场地的面积S最大？并求出

矩形场地的最大面积；

(3)当矩形的长为m,宽为m时，矩形场地的面积为

【答案】(1)见解析

(2)当X是ISm时，矩形场地的面积S最大，最大面积为T5n∕

(3)18,12

【分析】(1)根据一边长及周长求出另一边长，再根据矩形面积公式计算可得；

(2)先表示出矩形的另一边长，再根据：矩形面积公式，可得面积S关于X的函数解析式,

配方成顶点式可得其最值情况；

(3)在以上函数解析式中令S=216,解方程可得X的值.

【详解】(I)解：若矩形一边长为IOm,则另一边长为10-20m,

此时矩形面积为：IO.20=200m'，

若矩形一边长为15m,则另一边长为1515m,

此时矩形面积为：］5T5=225nJ,

若矩形一边长为20m，则另一边长为20IOni,

此时矩形面积为：］0.20=200∏√,

完成表格如下：

矩形一边长加1510r20

矩形面积加,2(.M∣225200

(2)解：设矩形一边长为κm,则另一边长为丁-x(Jo∙x)m,

•••矩形场地的面积S“30N).√+3Qτ(x15)2♦225，

当X=”时，S取得最大值，最大值为225m，

答：当X是ISm时，矩形场地的面积S最大，最大面积为225n?；

(3)解：根据题意,得：-乂：+30*=216，

解得：xT2或x=18,

.∙∙当矩形的长为18m，宽为Ilm时,矩形场地的面积为216m'，

故答案为：18,12.

【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题意表示出另一边长，将长

乘以宽得出面积并配方找最大值是解题的关键.

5.（2022.内蒙古包头.校考三模）北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中

一面靠墙，墙的最大可用长度为12米.另三边用总长为26米的木板材料围成.车棚形状如

图中的矩形HC0。为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。

（1）求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时AS与A匚的长分别为多少米？

（2）如图2,在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的

小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？

【答案】⑴最大面积为96平方米，此时4）_12米，48=8米;

（2）小路的宽为1米

【分析】（1）设为X米，则为二；米,列出车棚面积的函数表达式，求出X的

取值范围，再求出函数的最大值，同时求出AD和AB的长即可；

（2）设小路宽为米.根据题意列出方程，解方程即可.

【详解】（1）解：设为X米，则48为“二,米,

根据题意得：S=X2-2-ɪ-l（τ-H）i+98,

由题意得∙x≤12,

X>0

解得0<x≤12,

=开口向下,

2

・・・当Λ∙∙14时，S随X的增大而增大,

∙0vχ≤12,

・・・当.1-12时，S有最大值，SnIT=96,

此时4D=x=12,AB=~λ=8,

2

答：最大面积为96平方米，此时40.12米，,48=8米.

（2）解：设小路宽为/M米.

根据题意得（12-加）（8-间=：0

解得网13（舍），Hi-I

答：小路的宽为1米.

【点睛】此题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，读懂题意，列出函数表达式和一

元二次方程是解题的关键.

6.（2022.辽宁沈阳.统考模拟预测）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架

ABCD,铁丝恰好全部用完.

（1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米?

（2）矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米.

【答案】（I）AB的长为8厘米或12厘米.

（2）150

【分析】（1）设48的长为尤厘米，则有ZlD=空史厘米，然后根据题意可得方程

竺二巴τ=144,进而求解即可;

（2）由（1）可设矩形框架ABCO的面积为S,则有S=竺W-Io）2+150,然

22

后根据二次函数的性质可进行求解.

【详解】（1）解：设AB的长为X厘米，则有XO=竺二2厘米，由题意得:

竺丛…,

1

整理得：20κ+96=0,

解得：W=&玉=12,

∙'∙O<i<20，

...«,=8,\=12都符合题意，

答：48的长为8厘米或12厘米.

（2）解：由（1）可设矩形框架48CZ）的面积为S平方厘米，则有：

S=⑷，3.1X3+30ι=—：（.、T+150,

222

,/——<0，且O<X<2O,

2

；•当XTO时,S有最大值,即为STS0;

故答案为：150.

【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关

系.

7.（2022•山东威海•统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三

边用木栅栏围成.已知墙长25m,木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出Im宽的出入口（另

选材料建出入门）.求鸡场面积的最大值.

//4/////////////////

出入口

【答案】288m2

【分析】设与墙平行的一边为ʌm（烂25）,则与墙垂直的一边长为犷±um,设鸡场面积

2

为ym2,根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可.

【详解】解：设与墙平行的一边为Xm（Λ≤25）,则与墙垂直的一边长为C："m,设鸡场

面积为）加，

根据题意，得y=X；T--♦24r-24）s»288,

.∙.当户24时，y有最大值为288,

二鸡场面积的最大值为288n√.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式.

8∙（2022∙江苏无锡•统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，

该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成

两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为Xm（如图）.

(1)若矩形养殖场的总面积为36u√,求此时X的值；

(2)当X为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【答案】(I)X的值为2m；

(2)当X=与时∙，矩形养殖场的总面积最大，最大值为竿m2

【分析】(1)由8C=x,求得BD=3x,AB=8-x,利用矩形养殖场的总面积为36“/，列一元

二次方程，解方程即可求解；

(2)设矩形养殖场的总面积为S,列出矩形的面积公式可得S关于X的函数关系式，再根

据二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：∙.∙8C=x,矩形CDEF的面积是矩形BCE面积的2倍，

.∖CD=2x,

,∖BD=3xfAB=CF=DE=^(24-BD)=8-x,

3

依题意得：3x(8-x)=36,

解得:X∣=2,&=6(不合题意,舍去)，

此时X的值为2m；

(2)解：设矩形养殖场的总面积为S,

由(1)得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48>

•・•墙的长度为10,

Λ0<3x<l0,

Λ0<x<-,

V-3<0,

.∙.χV4时，S随着X的增大而增大,

当时，S有最大值，最大值为”3，4)，,481卷，

即当1一州时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为更m2.

33

【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌

握二次函数的性质是解题的关键.

9.(2022•湖南湘潭•统考中考真题)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的

意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙，围成I、∏两块矩形

劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费

篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：

图Q图;2

(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在I区中留一个宽度AeIm的水池且需保

证总种植面积为3Znr，试分别确定。7、DG的长；

(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大

面积为多少？

【答案】(I)CG长为8mDG长为4,〃

⑵当BC=Zm时，围成的两块矩形总种植面积最大=㈣加2

24

【分析】⑴两块筒笆墙的长为12m,篱笆墙的宽为AQ=G"=BC=(21-12)÷3=3m,设CG为

am,Z)G为(12-a)m,再由矩形面积公式求解；

(2)设两块矩形总种植面积为y,BC长为Xm,那么AD=HG=8C=xm,OC=(21-3x)m,由

题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BCXDC,代入有关数据再把二次函数化成顶点式

即可.

【详解】(1)解：两块篱笆墙的长为12m,篱笆墙的宽为AQ=GH=BC=(21-12)÷3=3m,

设CG为4m,Z)G为(12-o)m,那么

AD×DC-AE×AH=32

即12×3-1×(12-67)=32

解得：0=8

.*.CG=8m,Z)G=4m.

(2)解：设两块矩形总种植面积为yr!?,BC长为Xm,那么AD=HG=BC=xm,Z)C=(21-3x)m,

由题意得，

两块矩形总种植面积=5CXDC

即产v(21-3x)

.,.y=-3ɪ2÷21x

=-3(χ-Z)⅛ψ

V21-3x≤12

Λx>3

71.17

2

当BC--m时，yjgʌ=——m.

【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方

程.

10.(2020•山东日照•中考真题)如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCQ,

为美化环境，用总长为100〃?的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不

计).

(I)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE=3BE;

(2)在(1)的条件下，设BC的长度为加1,矩形区域ABC。的面积为"A求y与X之间

的函数关系式，并写出自变量X的取值范围.

A∖H∖ID

【答案】(D见解析；(2)v=-∣χ¼40Λ∣0<Λ<y见解析.

【分析】(1)由题意易得AM=2ME,故可直接得证；

(2)由(1)及题意得2AB+G4+3BC=100,设BC的长度为m?,矩形区域ABCD的面积

为即可得出函数关系式.

【详解】解：(1)证明：；矩形MEFN与矩形EBC尸面积相等，

：.ME=BE,AM=GH.

∙.∙四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND=2S矩形MEFN,

∙"M=2ME,

：.AE=3BE；

（2）.；篱笆总长为100/77,

,2A6+GH+38C=100,

即2.4B」/A+3Br=IOO，

2

6

.'.AB=40——BC

5

设BC的长度为xm,矩形区域48Co的面积为y/,

则ywBCΛRΛ∣40ð.τ|-g.Y♦40Λ,

6

AB-IO——BC

51

402

•∙EB————［二X），

35

解得XV吗

3

J.y=-x1+40τ∣0<t<

"5I

【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列

出函数关系式即可.

♦题型四：抛球问题

行!思维形成：

1.适当建系；

2.把长度和高度准确转化成坐标问题。

Ql例题精讲：

【例］4］如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的

平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离X（单位：m）之间的关系是

2

y-JV+τ+∖则铅球推出的水平距离OA的长是m.

1233

y∖

【答案】IO

【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0,将y=0

代入函数的解析式，求出X的值，再舍去不符合实际的一个X的值即可.

【详解】将y=0代入V=-L/Jx+」;

1233

Cɪj25

1233

j

整理得：λ-8r-20=0

(X-Io)(x+2)=0

解得：X=Io或不=-2(舍去)

.∙.铅球推出的水平距离OA的长是10m.

故答案为：10

【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的

关键.

需真题演练:

1.(2022•河北石家庄•石家庄市第四十一中学校考模拟预测)如图,排球运动场的场地长18〃?,

球网在场地中央且高度为2.24〃?，球网距离球场左、右边界均为9〃葭排球发出后其运动路

线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分.某次发球，排球从左边界的正上方发

出，击球点的高度为历“，当排球运动到水平距离球网3〃i时达到最大高度25”，建立如图

平面直角坐标系.