广东省潮州市2022-2023学年高三上学期期末教学质量检测数学含解析

潮州市2022-2023学年度第高三学一期期末教学质量检测卷

数学试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：L答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和考号填写在答题卡

上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如

需改动,用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅

笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。

一、选择题(本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题)

(―)单项选择题(本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分)

1.已知集合A={(x,y)∣y=/},B={(x,y)∣y=3x},则AC3=()

A.{O,3}B.{(O,O),(3,9)}C.[(0,0)}D.{(3,9)}

2.已知复数Z满足z(l-3i)=5-5i,则复数Z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率。

先利用计算器或计算机产生0〜9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7,故我们用0、1、

2表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3

例手术的结果。经随机模拟产生如下10组随机数：856、832、519、621、271、989、730、

537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

4.若(X+I)，=α°+qx+%/+/d+%/+%/,贝I]4+2/+3/+4/+5%=()

A.4B.8C.80D.3125

力1

5.如图是函数“X)的图象，则函数“X)的解析式可以为()1/

A.ev+ln∣x∣

C.f+上D.χ~∣—2

I4v

6.若正实数x,y满足=1,且不等式χ+彳≥,"2-3机恒成立，则实数m的取值范围()

7χy4

A.(-4,1)B.(-∞,-l)u(4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,-l]u[4,+∞)

7.已知抛物线E：V=4x的焦点为过户的直线与E交于AB两点，且IAFI=3|8用，

AAOB的面积为()

C.4√3D.8√3

8.点M,N分别是棱长为2的正方体ABCD-Λ∣B1C,D∣中棱BC,CG的中点，动点P在正

ɪʌ.__________Q

方形BCGBI(包括边界)内运动.若P4〃面AMN,则PA保^√171'

度的最小值是();Γp.V

A.√3

(二)多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题

全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分)

9.下列说法正确的是()

A.X~N(μ,σ2),当〃不变时，。越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平

B.运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点&J)

C.相关系数r越大，y与X相关的程度就越强

D.利用/进行独立性检验时，/的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系

10∙已知函数/(x)=2sin(ft2X-y)+^(69∈N*)在区间

[言,葛]上单调递减，则下列叙述正确的是()

A./(X)的最小正周期为2万B./(x)关于直线X=-专轴对称

c.y*)在[三m上的最小值为-3D./(χ)关于点(二,0)对称

243

27____

11.已知双曲线c：工-E=I(4>0力>0)的左，右焦点为6，居，记C=而｝,则下列结论中

a^h^

正确的有()

A.^a>b,则曲线C的离心率e∈(l,√∑)

B.若以Fl为圆心，人为半径作圆巴，则圆Z与C的渐近线相切

C.直线y=与双曲线C相切于一点

a

D.若M为直线X=《上纵坐标不为O的一点，则当M的纵坐标为土生时，AOMF?外接圆

CC

的面积最小

12.已知函数/(x)的定义域为(0,+8),导函数为/(x),满足W(X)-/(x)=(x-l)e”,(e为自

然对数的底数)，且/⑴=0,则()

A.3/⑵>2/⑶B.∕d)<∕(2)<∕(e)

C./O)在x=l处取得极小值D./(x)无极大值

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.设A,8是圆C上的两点，且AB=2√L则布.就=.

14.在等比数列｛%｝中,a5-α3=12,a6-a4=2A,记数列｛4,｝的前几项和、前〃项积分别为

S“T11,则(S“+♦的最大值是.乐

15.如图，正四棱锥P-ABCO的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形.若半

球。的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球。与球M的半径之

比为.

16.定义在R上的奇函数/(x)满足∕U)=∕(2-x),且当x∈[0,l]时，/(x)=2'-1,则函数

g(x)=/U)-(ɪ)3的所有零点之和为.

三、解答题(本题共6道小题，第17题10分，第18~22题每小题12分，共70分)

17.(本小题满分10分)

对于数列盘"｝,若对任意〃∈N*,都有&J*<χ,用成立，则称数列｛★｝为

“有序减差数列”设数列｛0,｝是递减

等比数列,其前几项和为S〃，且｛αι,。2,⑹=｛—4,—3,—2,1,2,3,4｝.

(1)求数列｛z｝的通项公式，并判断数列｛S"｝是否为“有序减差数列”；

⑵设勿=脸对，G=心丝鳌，求G+C2+∙∙∙+Q的值.

也,〃为偶数

18.(本小题满分12分)/

在平面四边形ABC。中，BCLCD,AC=BAD=I,=30°

(1)求CD的长；

(2)若AABC为锐角三角形，求BC的取值范围.

19.(本小题满分12分)Λ∖

在四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，/!\

KZABC=60%AB=2,PA=3,PA_L平面ABCD./

(1)若。是线段PC上的任意一点，证明：平面巩平面QB选”三

(2)当CQ=gcP时，求平面PBC与平面QBD的夹角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液

或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性。根据统计发

现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为P(OCpVl)。现有4例疑似病例，分别对其取样、

检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本

中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样

本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验。现有以下

三种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：四个样本混合在一起化验；

方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验。

在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.

(1)若p=g,现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？

(2)若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求P的取值范围.

21.(本小题满分12分)

已知椭圆C=W+E∙=l(α>O力〉0)的左、右顶点分别为A,B,点P(Xo,%)为椭圆C上一点

ab-

,点M,N关于y轴对称，且诉=赢，∖MN∖=4,ZXPAB的面积的最大值为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线PMPN分别交X轴于点。，E,若IAr)∖DE∖,|即成等比数列,求点M的纵坐标.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=X?-«x+1,g(x)=lnx+a,(α∈/?),

⑴若α=l,求函数∕x)=∕(x)-g(x)在区间AH(其中,<f<e,e是自然对数的底数)

ee

上的最小值；

(2)若存在与函数/(x),g(x)的图象都相切的直线，求实数。的取值范围.

潮州市2022-2023学年度第学一期期末高三级教学质量检测卷

数学答题卡

三

题号一~*总分

Dlr

｛阳171819202122

得分

本框为考号填涂区和选择题答题区,必用2B铅笔填涂，考号填涂区

填涂的正确方法是：・

⅛

一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）

1副南・酸7晶晶・装□□□□□

2做3IiIi霞8踮晶・酸S目

3篇3曲霞9躇硝i∙后<<<<

4踏国i∙酸1通晶■）1►►►►►

0

⅛

5躇3ι趣酸1躇晶■）霞▼▼▼▼▼

以下为非选择题答题区必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定的区域内作答，否则答案无效.

_______6融a6d⅛∣¾i⅛1疆岫d⅛陷___________►►►►

患

二、填空题（每小题5分，共20分）

13>_________]4、___________]5、____________6_____________

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

17、（本小题满分10分）

料

凶

潮州市期末考成数学答题卡第3贝（共6贝）

19、（本小题满分12分）

潮州市期木考成数学答题卡第4贝（共6贝）

20、（本小题满分12分）

21、（本小题满分12分）

22（本小题满分12分）

潮州市期末考成数学答题卡第8贝（共6贝）

潮州市2022-2023学年度第一学期末考试高三级教学质量检测卷

数学参考答案

一、选择题(本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题,

每小题5分，共60分)

题号123456789101112

答案BABCDCADBDBCABDBCD

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

1

13.614.815.耳16.18

部分解析：

4.两边同时求导得5(8+1)4=q+2限+3叩2+4“*+56/.令x=l,可得答案选C.

5.对于A：/食)=靖+111∣x∣显然在(0,+oo)单调递增，故A错误；

对于B：f(x)=e-'+e2，定义域为R,故B错误；

对于C:/a)=/+:在(y,0)单调递减，故C错误；故选：D

6.Y不等式x+5≥m2-3〃z恒成立，(x+^-)rnin^m2-3m,∙.∙χ>0,γ>0,且!+'=1,

'.x+y=(×+^-)(-+-)=γ-+-+2≥2∣^---+2=4,当且仅当：=即x=2,y=8时等号

44Xy4xyy4xy4xy

成立，.∙.(x+2)”">ι=4,故-―3∕w≤4,gp(m+l)(∕7z-4)<0,解得一10彷4,实数机的取值范

4

围是[-1，4].选C

7.设直线AB的方程为x=my+l,联立卜'“八所以产一加一=。，

[x=my+1

所以BWZr,又因为IAFI=3∣BF∣,所以y=-3%，所以所以布=；,不妨取，"邛，

则寸，所以∣M-%∣=J[41+I6=华，所以SAA(W=3•。尸∙∣χ-y2∣=gχiχ孚=华，故

2

yly2=-4Vvɔ√ɔ'33

选A.

8.取BG的中点应B囱的中点m连结4E,AiF,EF,取所'中占。.连结40,

A1__________-ɑ

•；点M,N分别是棱长为2的正方体ABCr)-A山IGfh中棱ɪ

J.AM∕∕A∖E,MN//EF,ɪη∖'^'^'

,:AMΠMN=M,AIECEF=E,平面AMN〃平面AlEf`,1/

9

∙.∙动点P在正方形BCGBl(包括边界)内运动，且PAI〃面AMN,

二点P的轨迹是线段EF,

IAiE=AF=收+1=后,EF=VFTT=Z：.A\OLEF,

.∙.当P与。重合时，P4的长度取最小值40=)(扬2_(*)=岑,故选：D.

9.对于A,根据正态曲线的几何特征，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误;

对于B,运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点丘亍)，故B正确；

对于C,线性相关系数r绝对值越接近1,表明2个随机变量相关性越强，故C错误；

对于D,随机变量/的观测值越大，则两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小,

故D正确。

r

10.由条件知J∙τ=工≥红一女=红，,∙,ω≤-,∙.∙ω≡N,.∙.0=1或0=2,

2ω612125

当O=I时，/(X)在区间［区,至］上不单调递减.∙.o=2,/(χ)=2sin(2x-马+。，故选BC.

12634

11.对于A,因为。〉匕，所以∕=d=d±殳=1+(分<2，故C的离心率ee(l,√∑),A正确；

a2a2a

对于B,因为耳(-c,0)到渐近线云-αy=0的距离为d==所以B正确；

-Jb2+a1

对于C,直线y=2χ+t,与双曲线C相交于一点，所以C不正确；

a

对于D,由正弦定理，可知AOMQ外接圆的半径为R=―国一，所以当SinNQMK最大，

2sinZOMF2

即OMLg时，R最小.由直角三角形性质可得M的纵坐标为土弛，所以D正确.

c

12.因为M∙'(x)-/(X)=(X-I)e",所以货(X)=R≤,所以［&］，=［£：］，=生学i,

XXXXxt^

所以四在(1,+8)单调递增，牛<冬,3八2)<2/⑶，A错误

X23

由［1@了_［£_了=O,得F(X)=e*+ex,又f(l)=0,所以e+c=O,即c=-e,

XX

所以/(X)=ex,f'(x)=ex-e,当x>l时，八%)〉()，/(x)单调递增，所以A正确

当OVXVI时，/(x)<°,/(X)单调递减，所以/极小(x)=/(1)—e-e=0,故8C。正确

13.过点C作CD,AB于D,则AD=；AB=√J,AB-AC=AB(AD+DC)

=AB∙AD+AB∙DC=2√3∙√3+0=6

,,ln

14.由%—%=12,%—=24得公比q=%—4=2,从而q=1,an=2"»Sn=2—19

TIT

O2

τι=2-2'∙2…∙∙2"T=2亍，生±121=三L=2%"S=23吟"京，所以当〃=2或〃=3时,

nrrn-n

"2~r

⑸+V取最大值8.

T1.

15.如图，连接PO,BD,取CD的中点E,连接PE,0E,过。作

OHLPE于H.易知POL底面ABCD,设AB=4,

则BZ)=ΛW+8d2=4√5,θO=^βD=2√2,PO=4B产-BeP=2亚∙/；

设球M的半径为R,半球0的半径为Ro∙则R=2√5∙

RPOOE2√2×22√2班&-OHOE_\

故K-记一至一⑹

16.依题意,定义在R上的奇函数“X)满足/(x)=∕(2r),

所以f(x)关于X=I对称，从而可知/⑺是周期为4的周期函数.且/(x)关于点(2,0)对称.

由于函数尸(常］关于(2,0)对称，画出y=∕(x),y=(若J的图象如下图所示，

由图可知，y=f(x),y=(需］有9个公共点，所以g(x)的所有零点和为9x2=18.

17.(1)数列｛小｝是递减的等比数列，所以数列｛“〃｝的公比q>0,

又因为｛4ι,Q2,s｝q｛-4,—3,—2,1,2,3,4｝,所以q=4,g=2,%=1，.2分

14(1

所以4=π==彳.......3分S=------=8(I-L.....................4分

a2n12H

i1----

2

S"+S,,+2=4(1--!-)+4(1—⅛-8(l—=」_々+3=」<0,........5分

2〃+1`2“/`2〃+2/`2/+∣/2"2"”2"+]2〃

即S,,∖S,+2<s.M成立,所以数列｛S"｝是“有序减差数列”。.......6分

QQ

v,

(2)由(1)得%=环，.....7分bn=Iog2an=Iog2—=Iog22'=3-n…8分

J^T以G+。2+…+C9=(q+Cly+%+%+。9)+”+“6+”8)

TT

18.(1)解：在N∖ACO中，由余弦定理得:

AD2=AC2+DC2-2ACDCcosZACD2分

即DC2_3£>C+2=O,解得DC=I,或DC=2.........................4分

(2)解法一：由BC_LC3,且ZACO=30。，可得ZAe6=60。，

在..ABC中，设3C=",由余弦定理可得AB=Ja?+3_弦〃...........6分

因为二ABC为锐角三角形，所以H........................8分

[AC~<AB+BC

目0cι~<cι~+3-ʌ/ɜtz÷3

分

'3<a2+3-V36t+tz210

解得曰<。<2有，所以BC的取值范围为快2.

……12分

(2)解法二：由5CJ_CD,且248=30。，可得NAe3=60。,

BCAC

在一ABC中,由正弦定理

SinNBACsinB

/日ACsin/朋C_百Sin（120。—8）_√3

9分

sinBsinB（2tanB2,

因为一ASC为锐角三角形，0o<ZBAC=120o-B<90o,0o<B<90o,

所以30。<8<90。，可得tan8>3,.........................10分

3

则0<」<百，所以‘<W-+!<2,所以更<BC<2g,

tanB22tanB22

所以BC的取值范围为,26..........................12分

19.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC,BD.........................1分

又PAL平面ABCD,所以PAj_BD.........................2分

又ACePA=A,所以BDJ_平面PAC.........................3分

因为BDU平面QBD,所以平面PAC_L平面QBD.........................5分

(2)设BD与AC的交点为0,以OB、OC所在的直线分别为x、y轴，与AP同方向的直线为Z

TZ

轴建立空间直角坐标系，则Q(ψ),P(0,T,3),B(√3,0,0),C(0,1,0),D(-√3,0,0)

BQ=(-√3,g,1)，^BD=(-2√3,O,O).........................6分

设平面QBD的一个法向量为;;=(χ,y,z)，则

■-----------f-ɪ

/%=0,所以一限+y+z=0

n-BD=0-2√3x=0

令y=3,得x=0,z=-l,7=(0,3,-1).........................8分

同理可得，平面PBC的一个法向量为蔡=(再,3,2).........................9分

--,9-27√10「ʌ

cos<zt,m>i=-7=——=................ɪɪJJ

√lθ×440

所以平面PBC与平面QBD的夹角的余弦值为迎............12分

40

20.(1)方案一：逐个检验，检验次数为4；.........................1分

方案二：混合在一起检测，记检测次数为X,则随机变量X的可能取值为1,5

所以P(X=I)=(1-』)4=收，P(X=5)=1-3=奂，...........2分

3818181

所以方案二检测次数X的数学期望为E(X)=IX"+5x%=却；.........3分

818181

方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为(>g)2=j…4分

若呈阳性则检测次数为3次，其概率为-d=2,

99

设方案三的检测次数为随机变量K则y的可能取值为2,4,6,

所以P(y=2)=(S=3，p(y=4)=ci∙-∙-=-»p(y=6)=(-)2=—>................6分

98129981981

所以方案三检测次数Y的期望为E(Y)=2χ3+4x史+6x生=生，.......7分

81818181

因为4VE(X)VE(T),所以选择方案一最优............8分

(2)方案二：记检测次数为X,则随机变量X的可能取值为1,5,

所以P(X=I)=(l-p)4,P(X=5)=l-(l-p)4,.........................9分

所以随机变量X的数学期望为E(X)=(I-p)4+5x[l-(l-p)4]=5-4(l-p)4,...........10分

由于'‘方案二''比"方案一”更“优”，则E(X)=5-4(l-∕√<4,.........................11分

TJ

解得o<p<ι-5,即当o<p<ι-当时，方案二比方案一更"优”•...........12分

21.(1)由诉=而，I加|=4,可得加=4，解得4=2，.......................2分

又APAB的面积的最大值为2,所以;χ4χb=2,解得5=1,.......................3分

所以椭圆C的方程为I+y2=1........................4分

4

(2)由题意知，点P与点A,B不重合，设M(-2,m),N(2,m),

则直线PM的方程为y-%=&■3(X-X°),令y=0得XLXOi'M"+-,............5分

⅞÷2Vn

同理得XE=X(I......................6分

所以IACl=IX。—X>(x(>+2)+21=|'"(X。+2)1,.......................7分

%一团为一机

vu2>，()Gv+2)

IDEI=I[x0-∙°θ~^-[x0-°]I=I1,.......................8分

%一m％一机为一根

IEBI=I2-x0+½z22∣=∣皿2-x。)∣,............9分

%一m%一加

因为IAD|,∣DE∣,IEB咸等比数列,

所以IADMEBl=IDEF，即等上芈=厂*，...........10分

(%一加)(No一6)

因为]+y；=l，即4-片=4只，

所以m2=4,即m=±2........................12分

22.(1)由题意,可得力(X)=F(X)-go)=%?-χ-inχ,

、οɪ(2x+l)(x-l)八

h(X)=2x-l1——=---------------,.......................1分

XX