数学培优竞赛新方法(九年级)-第10讲-二次函数与二次方程

第十讲二次函数与二次方程知识纵横方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题。在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答。二次函数，令，那么得，这是一个关于的一元二次方程，它们的联系表现在：方程实根的个数、抛物线与轴交点的个数的探讨都可以转化为由根的判别式来讨论，特别地，设，为抛物线与轴的两个不同交点，那么〔1〕，；〔2〕例题求解：【例1】〔1〕在直角坐标系中，抛物线与轴交于两点。假设点A、B到原点的距离分别为OA、OB，且满足，那么的值为。〔全国初中数学竞赛题〕〔2〕直线〔为实数〕与函数的图象至少有三个公共点，那么实数的取值范围是。〔海南省竞赛题〕思路点拨：对于〔1〕，设，，把OA、OB用、的式子表示，建立的方程，解题关键是判断、正负性；对于〔2〕，作出函数图象，借助图象解题。【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么的取值范围是〔〕A、B、C、D、思路点拨：；在根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满足的的值，注意判别式的隐含制约。【例3】关于的二次函数的图象经过点，且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是〔1，0〕。〔1〕求的值；〔2〕求的取值范围；〔3〕该二次函数的图象与直线交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记的面积为，的面积为，当时，求证：常数，并求出该常数。〔2011年广州市中考题〕思路点拨：对于〔2〕，由判别式建立的不等式；对于〔3〕，将转化为易求出或易表示的三角形的面积差。【例4】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点。连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，且点是抛物线的顶点。〔1〕假设，抛物线经过点，当时，求的取值范围；〔2〕点，抛物线与轴交于点B，直线与抛物线有且只有一个交点，请判断形状，并说明理由。〔厦门市中考题〕【例5】抛物线。〔1〕，，求该抛物线与轴公共点的坐标；〔2〕，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；〔3〕假设，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？假设有，请证明你的结论；假设没有，阐述理由。〔天津市中考题〕三个两次【例6】设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值。〔全国初中数学联赛题〕思路点拨：由，得，由条件得，因此不等式对任意实数都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解。学力训练根底夯实：1、二次函数的局部图象如下图，那么关于的一元二次方程的解为。〔江西省中考题〕2、抛物线的局部图象如下图，假设，那么的取值范围是。〔新疆建设兵团中考题〕3、如图，二次函数的图象经过点，该图象与轴的另一个交点为，那么长为。〔2011年舟山市中考题〕4、以下表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程〔、、为常数〕的一个解的范围是〔〕。6.176.186.196.20－0.03－0.010.020.04A、B、C、D、〔兰州市中考题〕5、如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标为1，那么关于的不等式的解集是〔〕。A、B、C、D、〔2011年无锡市中考题〕6、函数，且使成立的值恰好有三个，那么的值为〔〕A、0B、1C、2D、3〔2011年黄冈市中考题〕7、函数〔是常数〕。〔1〕求证：不管为何值，该函数的图象都经过轴上的一个定点；〔2〕假设该函数的图象与轴只有一个交点，求的值。〔2011年南京市中考题〕8、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数，令，可得，我们说1是函数的零点。函数〔为常数〕。〔1〕当时，求该函数的零点；〔2〕证明：无论取何值，该函数总有两个零点；〔3〕设函数的两个零点分别为和，且，此函数图象与轴的交点分别为A、B〔点A在点B左侧〕，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。〔2011年长沙市中考题〕9、关于的一元二次方程有两个实数根，且满足。〔1〕证明：；〔2〕证明：；〔3〕对于二次函数，假设自变量取值为，其对应的函数值为，那么当时，试比拟与的大小。能力拓展：10、设是整数，且方程的两根都大于而小于，那么。〔全国初中数学联赛题〕11、二次函数〔其中是正整数〕的图象经过点，点，并且与轴有两个不同的交点，那么的最大值为。〔全国初中数学竞赛题〕12、设二次函数的图象顶点为A，与轴交点为、，当为等边三角形时，的值为。〔太原市竞赛题〕13、假设方程的一个根大于1，另一个根小于1，那么的值为〔〕。A、不大于1B、大于1C、小于1D、不小于1〔2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题〕14、方程的解的个数为〔〕。A、1个B、2个C、3个D、4个〔2011年全国初中数学联赛题〕15、假设对所有的实数，恒为正，那么〔〕。A、B、C、或D、〔第21届江苏省竞赛题〕16、抛物线上有一点位于轴的下方。〔1〕求证：此抛物线与轴交于两点；〔2〕设此抛物线与轴的交点为，且，求证：。〔天津赛区选拔赛试题〕17、抛物线与动直线有公共点,且，求实数的取值范围。〔全国初中数学竞赛题〕综合创新：18、如图①，抛物线经过,两点。〔1〕抛物线的解析式；〔2〕设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点。现将抛物线平移，保持顶点在直线上。假设平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；〔3〕如图②将抛物线平移，当顶点至原点时，过作不平行于轴的直线交抛物线于E、F两点。问在轴的负半轴上是否存在点P，使的内心在轴上？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由。