2021-2022学年浙江省绍兴市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试(含答案)

2021-2022学年浙江省绍兴市普通高校对口

单招高等数学二自考模拟考试(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

ɪ设/(x)的一个原函数是(x+l)SinX,则，/(x-Ddx=

A.A.sinlB.-sinlC.0D.1

设“(X)是可导函数，且U(X)≠(),则UnU2(幻］'=

∖)O

9

U

A.u

U/

√

JrD.

2u

C.u

D2〃/

3.

若/,(X)<O(α<xWb)且f(b)>O,则在(atb)内必有

A./(x)>OB./(x)<0C./(x)=0D./(x)符号不定

4.当x∙→2时，下列函数中不是无穷小量的是()。

A.√-8

B.sin（x2-4）

C.e∕-5

D.In（3r）

5.

2/G）的一个原函数为∣n*,则/'（工）等于（）.

6.曲线y=χ3的拐点坐标是()。

A.(-l,-1)B.(O,0)C.(l,1)D.(2,8)

已知/是/(幻的一个原函数,则/(1)=()

7.A∙⅞÷CB.x2

广义积分广

设U(X)是可导函数，且U(X)≠0,则［lnιΛχ)f=

A.u

B.

D.2UU'

10.曲线y=α-(x-b)ιz3的拐点坐标为

A.A.(a,0)B.(a,-b)C.(a,b)D.(b,a)

设函数/Q)在点所处连续.则下列结论忏定正确的是()

Λ.Iim"三七"必存在

Hhmyw=O

C当∙r~.r,时./0)—八四)不是无穷小愤

ɪɪI).'l1.r-*j时》/(1)一/JC)必为无穷小版

12若/(H∙y)=Jjy+:，则/,(2.1)=.

13E巢在区间内∙M故，“满足，””.「，，73则再收CN*川？

A.单调递增且曲线为凹的B.单调递减且曲线为凸的C.单调递增且曲

线为凸的D.单调递减且曲线为凹的

14.定积分/C"工等于().

A.0B.2(e-1)C.e-1D.l∕2(e-1)

15.若事件A与B为互斥事件，且P(A)=0.3,P(A+B)=0.8,则P(B)

等于().

A.A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

16.设函数/C)=Jg-丽则/3有()A.极大值1/2B.极大值-1/2C.极小

值1/2D.极小值-1/2

”对函数/(χ,y)=A7B7,原点(0,0)C

A.是驻点，但不是极值点B.是驻点且是极值点C.不是驻点，但是极大

值点D.不是驻点，但是极小值点

18.

设八H)=一工,则工=］是八外在［-2,21上的

A.极小值点,但不是最小值点

B.极小值点，也是最小值点

C.极大值点，但不是最大值点

D.极大值点，也是最大值点

19设函数/(?)=4工一√TT7^ɑ≠o)则/(H)等于()

4ZTTT

A.A.

4∙J2+1

B.7-ΓTΓ

4ɪ-∙J∖÷ɪ

C.

设小V都是可导函数，⅛v≠0,!lɪj(-)'=

20.V

A.A.v

uv-uv,

B.V2

uv^uv,

C.V2

UV^UV

D.一

当工T时,ʃ?与sinʃ比较是()

A.较高阶的无穷小量

B.等价的无穷小量

C.同阶的无穷小量

21.D.较低阶的无穷小量

22.

.sin(ɪ-2)

1llɪɪɪ2Λ等于

L2炉一4

1

A.0BdD.1

C.T

SinJ+ei*j-I

X≠0.

设/(ɪ)=<1在工=0处连续,则a

23.%J=O

24已知/(x)是可导的连续函数，则f∕'(3x)<k=

A./⑶~/(1)

B.∕(9)√(3)

∣[<<3)-ʃ(l)]

C.3

1(/(9)-/(3)]

D.3

25.5人排成一列，甲、乙必须排在首尾的概率P=Oo

A.2/5B.3/5C.l/10D.3/10

26.不定积分

27.设函数K'以则）.

A.2x+3y

B.2x

C.2x+3

3

D.W+χ-y3

2

若刀=-1和刀=2都是函数/（幻=（。+刀把”的极值点，则小力分别为

28.A.l,2B.2,lC∙—2，—1D・—2，1

29.把两封信随机地投入标号为1,2,3,4的4个邮筒中，则1,2号邮筒

各有一封信的概率等于【】

A.l/16B.l/12C.l/8D.1/4

∙v=j^ln'r在点才=1处的切线方程是.

二、填空题(30题)

31.

..5+1)(〃+2)(〃+3)

Iim--------------------------=.

"→~n

32.

设Z=Zly+犬，则芸+言=.

33.

-10123

设随机变轨的分布列为7αW2αα则α=

IOIo-101010

34.由曲线y=x和y=x2围成的平面图形的面积S=

35.

LdX_π

贝

'β4+x2^8IJa-

36.

37.

设/(x)二阶可导,y=e,则)■"=

38.设函数y=e2x,则y"(0)=

∣xd(cosx)=_________________

39.j

40.

4产网代d∙33——・

42.设：y=y(x)由x2+2xy-y2=2x确定，且

y∖=0.则》'=.

.5+1)5+2)(〃+3)

1Iim-----------=______________.

FITB，/

43.

44.

.X2÷2x÷5dx=----------------,

45.

设函数Z=COS(Z2+y2),则富=.

∂χ----------------

46.

曲线＞=x3-3x2-5x+6的凸区间为.

f'(^-τ+l)d⅛≡.

ΛΠj-'1+X2-----------------

48.曲线y=x3-3x2+5x-4的拐点坐标为

XX≥0,2

设/(x)="

。'则也=

49.β^XVJ-J(X)

ςftIim光=

.■τ'÷5

已知厂上TdX=1,则/=

51.j+X

52.

已知3(工)=ʃarccos，dt,贝!]φ,(x)=.

53.

Γ⅛=r则。

54.

设z=∕(x,则票

y∂x

设/(x)=(ln(t'l)d/,W∣J∕,(x)=

55.

下列由数中为奇函Jk的是

A.,y≡co**xB.y-J+Sitvr

Dk图

57.

58.

ʃX1-HZdH=.

59.

∣x∕(x2)∕(x2)dx=•

6θle-^dx=---------1

三、计算题(30题)

61计算定根分

巳知曲线y・I二成求，

<1)曲线在点”・1)处的切蚊方程与法线方程；

62.(2)曲线上骞一点处的切拨与直线y=4x-l早行？

63.

计算二重积分I=UVd工dy∙其中D为由曲线y=1-ɪɪ与y=*'—1所围成的区域.

ʃ≡r-In(ɪ+H)•第.

巳知函数N-=ɪ(ɔr)由参数方程.确定,求#

64.y=arctan∕

65.

巳知参数方程＜

66.[y

67.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户(如图所示)，其周长为

12m,为使窗户的面积A达到最大，矩形的宽1应为多少?

68.设函数y=y(H)由方程y=(Inx)'确定,求y'.

69.求徵分方程J∙l∏J∙dy÷(y—IrLr)(Lr=O濡足y=1的特解.

求1•ɪ(ɑ>0).

70.j√？r+^r

'-Q)d∕d》,其中D为尸+»2≤L

71.

M设="NO)是由方程*2+y2-e*=O所确定的Bft函数,求更

//・ə*

s∕xl÷ɔrdɪ.

74.求函数f(x,y)=χ2+y2在条件2x+3y=l下的极值.

求极限Iim「"-e：)号空4+dsin~V.

75.Tɪ

76.已知函数f(x)=-x2+2x.

①求曲线y=f(x)与X轴所围成的平面图形面积S；

②求①的平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体体积Vx.

77求不定积分JhIa+√TT7Dd∙r∙

JrSin-≡∙ʃ≠0«

H½*Λ∕(χ)/在∙r=o处连续性与可导性.

78.0∙X・。

79.设y=y(x)由方程e,"e'=sin(Xy)所确定.求*I.

求极限Iim―L—「-√-dr

80,TH-SiarJo√Γ÷37

计算二重积分(>+y)dxdy,其中D为曲线y=/与工=/所圉成的区域.

81.

CC设/(∙r)是连续函数，且［‘∕ɑ)d∕=∙r∙求/•⑺.

82.J。

83.设函数y=χ3cosx,求dy

计算J-(L∙dy,其中D为圈环区域≤∕+y≤4.

84.

求］sin(lnʃ)dʃ.

求不定积分j----------r(ix∙

86.(l+x*)÷

求极限IimS存「，

87.

E'」与0求定积分「/8也

设函数/(ɪ)

ʃ<0»

88.

89计算定积分，∕2xʃdʃ-

90.求定积分cU^dx

四、综合题（10题）

证明：方程I-*一］0在区间（0.1）内有唯一的实根•

91.

i殳函数/（ʃ）βʃ2arctan^.

（1）求雨散/（.D的雌两区间和极值，

92.''K曲蝶,”』I的凹凸MM和拐3.

93笊语敷》=1ʃ的单词区间,极值及此函数曲线的凹凸区间、拐点和渐近鳗.

94.

设函数FCr）=二/"，（工>0），其中/（外在区间［Q,+8）上连续./（工）在

<α∙+oo）内存在且大于零.求证:FQ）在（α.+8）内单调递增.

95.讨论函数/（ʃ）=3」/的单调性•

96.

过曲线.vkj∙"<r>0）上一点M（l.l）作切线/.平面图形D由曲线、，=/.切线/及

■I轴围成.

求：（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D烧∙r轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

c”求曲线V=G—Dbr的凹凸区间及拐点.

证明：方程［ɪʌd/=ɪtf（O.l）内恰有一实根.

99.证明方程/-ɜɪ-1=O在1与2之间至少有一个实根.

证明I当工>0时，ln(lI»)>-4-.

100.I+ʃ

五、解答题(10题)

101.设y=2"x,求y'。

102.设函数f(x)=l+sin2x,求f,(0).

计算「品二女.

103.

104.

计算J；等也•

讨论/(X)=「牝-'也的单调性、极值和拐点.

105.J°

106.

求曲线y=ln(l+d)的凹凸区间和拐点.

已知函数/(x)=OX3-bx2+cx在区间(-8,+8)内是奇函数，且当

Al时，/(X)有极小值-∙∣,求另一个极值及此曲线的拐点.

108.

某班有党员10人，其中女党员有6人，现选3人组成党支部.设

事件A=｛党支部中至少有1名男党员).

求P(A).

109.

4汀10分)设函数＞=0/+和+「在点¥=|处取得帙小值-I.且点(o.∣)为一

W三三出拐点.试求1frl⅛α.6.c.

IIn设/Or)=Xl∏2x,且/'(x0)=l,求/(x0).

JLJLU・

六、单选题(0题)

若事件A发生必然导致事件B发生，则事件A和6的关系一定是

A.对立事件B.互不相容事件

ULCAUBD.AnB

参考答案

1.C

由原函数的定义可得J∕(x)dx=(x+Dsinx÷C.

则∫θ∕(x-l)dx=∫θ∕(x-l)d(x-l)=xsin(x-l)∣θ=0.

2.C

(lnu2),=(2InM)Z=

u

1解析］因为f'(x)<OXG(a,b)

所以/(X)单调减少XG(a,b)

,A又f(b)X)所以f(x)>Oxe(a,b)

3.A

4.C

【解析】根据无穷小量的定义:若Iim/(X)=O,则当zτ/时J(Z)为无穷小量.因此可根据

-0

定义计算其极限值,知选C.

5.B

答应选B.

提示本JS考查的是原函数的梃念及导数的计算,因此有

/(«)=(ln∙)*=-i-,∕,(*)-(ɪ)=-/，

年以选B.

6.B

解愿指导本题考查的知识点是曲线上拐点的概念及拐点坐标的求法.

令

由于是单项选择题,所以当求得y*=6"1=0得X==O时，可知y=0,此时无需验证当X<0

时y”<0∕>0时y”>0,即可确定正确选项必为B.

7.C

2x2x

因为ʃ*e41tdx=∖∫8-----L--de=ɪ(aretane)P~=ɪ

8.A解析：JO1+/2jɑl+(e2x)22I。8

9.C

10.D

函数的定义域为(-叫+8).

当x=b时，y不存在.因为函数/G)在x=b点处连续，且

当x<b时，y"<0,曲线y为凸：当x>b时，y”>0,曲线y为凹.

所以x=b是曲线y的拐点横坐标，y(b)=α.

故曲线的拐点为(b,α).

11.D

12.1/2

13.C

14.B本题的关键是去绝对值符号，分段积分.

若注意到被积函数是偶函数的特性，可知

ʃe'"dx=ɪʃe,dx=2c'∣ɔ≡2(e-I),

无需分段积分.

15.C

本题考查的知识点是互斥事件的概念和加法公

事件4与B互斥，则4B=0,因此P(4B)=0.

由于P(4+8)=P(A)+P(B)-P(4B),

式.即0.8=0.3+P(8),得P(B)=O.5.故选C.

16.D本题主要考查极限的充分条件.

本题可以先积分,求出然后再求其极值.最简捷的方法是利用变上限定积分先求出

∕,(χ)=χ-∣J^(*)=1>0,所以/(X)有极小值/(1)=-l)d<=ɪ(j-D,Γ=-^■,所

以冼D.

17.D

λ

由于y)=■l.1√«f；(x，y)=-Tji

也2+V/

显然，/；(0,0)、£'(0,0)均不存在.

在原点的某邻域内，当(x,y)w(O,0)时，总有/3y)=+丁>0=/(0,0)

所以，原点(0,0)不是驻点，但是极小值点.

18.B

19.B

分析：用换元法求M设5=".工■:

则有/(U)=±-Λ∕ΓΓT

4+1

・TIUI

所以人力一5一笔尹∙

20.B

21.A

22.B

23.-1

24.D

,,

∫jf(3x)dx=ɪ∫I7(3X)d(3x)=(3x“；=；[/⑼-/(3)]

25.C

甲乙排在首尾的方法为2!,另外3人排在中间的方法是3!,

所以，甲乙必须排在头尾的概率为2∣箸3>=A1.

Xɪ

In+Cln÷C

26.l+x1÷x

27.B此题暂无解析

［解析］

,—.—.b~xi—bx—ab

因La为j/z(x)=ex+(α+x)ex(--^)=e4

XX5

由于X=T,x=2是函数f(x)的极值点。

所以J

4-2⅛-αb=0

28.B解得α=2,b=I

29.C

【应试指导】因两封信投向四个邮篇共有的投法(可重要排列)为"=4'=】6,满足1.2号邮筒各有

投法为&==2,故所求概率为P=上∙=3=!∙

30.x-y-l=0

31.11解析：

Iim5+DS*2)5+3)=Hm(I+1)(1+-)(1+-)=1

^→∞∏i”T8nnn

32.

工+、+312

z+y+3∙χ2

因为色+也+”+且+也=1,所以α=l.

33.11解析：10101010IO

34.应填1/6

画出平面图形如图2-3—2阴影部分所示，则

ffi2d2

35.

2

1解析］因为［***-⅛L.=1arctan—=ɪ(--arctan—)=—

J。4+V22β2228

aπ

arctan—=—

24

所以—=1»a=2

36.2

/(o7

37.Cf叫Lra)JZ+/"(χ)}c{Lr(x)J+∕7Λ)I解析

y,=efω-fXx)

zz,2

∕=e∕∞√7x).∕7x)+e∞∕*ω=e∞{［∕(x)∣+/¾)

38.

因为y'=2e",y"=4e”,则/(O)=4.

xcosx-sinx+C

［解析］由分部积分公式，得

Jxd(COSx)=XCOSX-Jcosxdx=XCOSX-Sinx+C

39∙

40.

41.

42.-l∕2χ2+2xy-y2=2x两边对求导（注意y是X的函数），因2x+2y+2xy'

2yy,=2,故y,=(2-2x-2y)∕(2x-2y)=(l-x-y)∕(x-y)令x=2,且

y=0.则=--≡".

Jt-2X-Z4

1

3心1.(〃+1)(〃+2)(〃+3)..l.2..3.,

［解析］Iimʌ-----------------------=ɪɪm(l+-)z(ι1+-)(1t+-)=1

43"→wn"→~nnn

44.

1+ɪ+1,,

—arctan---------∖-Cr

乙乙

dxdxarctan+c

1/+；工+5业=∫√+2J+1+4=ʃ(ΓΓ⅛+4=IΨ∙

45.

—2xsin(x2÷3∣2)

46.(-∞,1)

47.2

48.

填(∣,-1)∙因为y"=6x-6=0,得X=I,此时y(i)=-1,所以拐点坐标为(［._1).

3-e

u

20,2Oɪ

fr2,,

［解析J∫ι∕(x)dx=fιedx+∫oxdx=e+-X=(1-e^)+2=3-e^

49.-I2

50.

或

51.1∕π

52.-arcosx2

53.

r+8dχ1χ1πa、π

因为-----z-=—arctan—=—(z——arctan—)=—

IA2

4+X2202228

aπ

arctan—=—

24

所以—=1,α=2

54.

y

设v=—,则z=/(x,v)

y

3z⅛f,əf3v∂fι1ðf

3xəvəɪəɪyəv

55.In(x2+l)

56.应填2

【解析】计算极限时一定要注意极限的不同类型，当XTo时，本题不是“号”型，所以直接

利用极限的四则运算法则计算即可.但当工-1时，本题是“当”型，可用因式分解约去零因式等

方法求解.

Z9

,

(l+la>γ-[(l-la)-∣-1a]γ=

[：1著7“…=

[卬-J-：|∏a∙∙r]f=

nəpʃ'ʃɪ"rp."

〔：1片一：廿・*=

[∙rP∕J-1'产∙ʃ]f=

nəpʃʃɪ=∙rPr"J

ιaxp

=^β∣∙=∙*7

*09

□+(^)√γ

•6S

91Λ,8S

GLS

<1）根据导数的几何意义.曲线y=∙r'在点（Ll）处切线的斜率为

,=2

>∣,.l«

曲线y=z'在点（1.D处法线的斜率为

k≡^⅛*

所以切线方程为y-l=2（x-l）,

即

2x-丫—1≡0∙

则法线方程为y-l=-∣（x-l）.

即

X÷2y—3=Oi

（2）设所求的点为M.（网.”）,曲线y=d在点（工。・W）处切线的斜率为

y'I=≡zɪi=2J⅛.

切线与直线V=。一I平行时,它们的斜率相等，即2入=4.所以4=2,此时M=4,故在

点M,（2.4）处的切线与直线y=4∙r-l平行.

（1）根据导数的几何意义.曲线y=在点（l・D处切线的斜率为

yL-=2-

曲线N=/在点（1.】）处法线的斜率为

k≡-⅛*

所以切线方程为y-l=2（x-l）,

即

2工一y-1=0.

则法线方程为y-l—-∙∣√z-l）∙

即

ɪ+2›—3=0∣

<2）设所求的点为MJNQ,%）.曲线y-在点处切线的斜率为

yI≡2JI=2Mo.

11,・0

切线与直线Y=。一1平行时.它们的斜率相等,即2q=4∙所以》=2.此时M=4,故在

点M“（2.4）处的切线与直线y=41—1平行.

原式J=⅜∫,,dj

uri

=l∫,l—X-X+1)clr

5-2√)dr

,,

4-2x3,14,3

=fΓɪ.Jη=Tu-3^j-'8

63.8L

原式同二d/

r

=-∣-∫'(1-X-√+DdX

=U(2-2/出

OJI

3r.2J,,-I3.

［丁］(-1)=A.8=1.

=9∙ɪ383

1____2t_

由求导公式.得案「U-In(I+,”=ΓT?

(arctan∕)1

ΓT7

…立」(】一，)叮

_oz.

(arctanrΓ1一〃"十〃・

Γ+7

64.

y

由求导公式.得需=".二In(I+f：)了==Fn=(一,)，

(arctan∕>1ɑl,,

TTti

于是.j⅛=gy

=3(；-八=2(∕-l)(f÷l).

ʤr(arctan∕)

Γ+?

用换元积分法.令］=tan/.则

「一1——-dr=F-√—ser/d/

JIj∙z.J∖+J∙2Jftan^z∙sec/

=ʃ:esc/∙cotzd∕

.93√2-2√3

=-csα=------------------.

\3

65.

用换元积分法.令”=tan/∙M1J

产IJ户17

----------==zdτ=—5-----------ser/ɑ/

JI/2∙yJ∖+—Jftant∙sec/

3√2-2√3

3'

dy__d/_αsinf=SirU

CLrdʃα(1—cosZ)1—cos/

(Fy=co”∙(1-COSZ)—sin.Z1

CLr2(1—cos/)2dʃ

d7

cos/—1I

=''.∙■・■∣"∙∣"

(1-COSl)2a(]—COS/)

1____11t

■ι■SSι■■—■CCi,,■,

a

66.(l-cosf)24a2*

⅛

⅛

dr

=一asin∕=sirU

ird.rα(1—cos，)1-cos，

d7

d2y=co”∙(1-COSZ)—sin，ɪ

(Lr2(1—cost)2dʃ

石

≡≡cos/.-1∙■一1，

(1-COsZ)2<2(1—COS/)

11_1r

zɪβ≡■.ss——CSCl——

a(1—cos/);Aa2*

67.

窗户的面积/∣=∕A+骨.

/和A满足2A+3∕=12,得人=6-六].代人4,则有

4=6'尹+夕，

货6-3/+争工0.

得/=净豆.

由于实际问题只有唯一的驻点，可知/=等浮(m)为所求

tu

y=[(lnɪ)ŋ*∙J+(InJ尸・Uf

h,l,k,χ,

=[e∙∙~γ.J∙*+(lnʃ)*∙(e'∙>

=e**wι,u,rIn(Inx)+x•亡•+dnʃ)ʃ∙el**i∙Zlnx•―

68=(lru∙)j∙pn(lnɪ)■+亡]∙xbu+2(l∏∙r)f∙χta*~,.

y=[(lnʃ)']'∙Jrbu÷(l∏j)*.(U

]∙Xbu+(llir)r•(心»

ln(ɪnʃ)十*∙∙-∙*∣∙Xlnz+(lnʃ)ɪ∙eu；1∙21fir∙ɪ

lnʃɪJX

[In(Inx)+亡卜工*~+2(∣∏J),*'∙xlw^'.

11

原微分方程可化为y'4------：—y――.

jr∙inɪɪ

于是.方程的通解,y=[JN；i<tr+C]∙e.心■

"[∫7,lnʃeLr+C*l∙ʌ-

lnʃ

,nr

=(⅛,-CL

+I)∙Γlnʃ

将初始条件y∣=1代人,有C=I∙.故满足条件的特解为:

lnx+

>=ι∣αr+ιɪ≡⅛(i⅛)∙

J22Irtr

原微分方程可化为y'+fp=j

于是，方程的通解中=[J北∙b<U+C]∙e

・[11・­]•土

=(⅛l^÷c)∙i⅛

将初始条件y∣≡ɪ代人.有C=故横足条件的特解为:

y=⅛*nj÷⅛⅛≡⅛(laf+⅛)∙

70.

令H=αtan∕(一手VY]).作辅助三角形,如图所

示.则

CLr=usee;/<k.

+了=∖∕ɑ2tan*Z÷α'=a√‹tarr7^+ΠΓ=αsec∕.

由辅助三角形，如图所示，则SeCr=0王尤.tan/

于是

dʃ

sec∕d∕

√r2+√

=InIsec/+tan/∣+G

FI代

&I二+0±尤+C

Iaa1

=ln(ɪ÷√Cr"+α?)÷C1-Ina

=ln(ʃ+>∕JΓ2+u2)÷C(C=(,∣—lnα).

令Z=αtan∕(一∙∣∙V/V学)，作辅助三角形,如图所

示.则

CLr=dsec'∕d∕∙

√Grr-Fατv∕u2tan^/+αi=a∖∕tan2/+1=αsec∕.

由辅助三角形，如图所示,则SeCr=t√,tan∕=三.

aa

于是

f-TZ===.=f--c∙d∕=[sec∕d∕

J√rτ+ατJαseczJ

=InIsecz+ta∏r∣÷C∣

雪叱+罕斗G

=ln(ɪ+√Crr^÷0τ)÷C∣—Ina

=ln(ʃ+√Z+Tr)+C(C=g-ln").

71.

根据积分区域与被积函数的特点•该二重积分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

积分区域D由/+/≤1化为1.0≤8≤2*∙故

(√jr¼3r-ʃv)<Lrdy(rrɪcoj√h*iπ0)rdrdβ

=ʃdðʃ(ri-r,cosβsintf)dr

=P[ɪ-ycosβsintfJ]dð

⅛c-⅛rSinftiSine

≈jκ.

根据积分区域与被积函数的特点.该二重积分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

枳分区域心由一+/≤ɪ化为r≤l∙0≤8≤2ιr∙故

(√Grr÷3r—Xy)<Lrdy(r■/coMSind)rd尸此

=ʃdðʃ3-r1cosβsin∕Z)dr

=P[彳一：CoMSinqJdd

=Tel-ɪʃsinMsinβ

-∣π-ψi∏l^∣y=∣π.

72.设F(x,y,z)=x2+y2-ez,

"=_卫=丝

根据题意，先做出积分区域•如图所示,然后在极坐标

系下进行计算.

IMQ√τ∏vd∙r=j>j:

根据题意.先做出积分区域.如图所示,然后在极坐标

系下进行计算.

G√χi+√dx

=­•-L=-

23.6,

74.解设F(x,y>λ)=X2+y2+λ(2x+3y-1),

E=2x+2A&O,

F；=2y+3A===O,

%=2x+3y-Iɪɪθ

消去A,解得x=Q=⅛则相，奇4为极值•

75.

由于当HfO时,d是无穷小j⅛∙且卜in£I≤1.故可知Ii呼ISin.=0.

当”fO时•1—e"3^~3x2,故

∣∙(1-e\")sin2j∣.3J?∙sin2j∣.3sin2xQ

Iim-----------\----------=Iim--------：=Iim=—=3.

一。XΛ→OX√→oX

所以limΓ£l__U》in%+工，Mn∙⅛］=3.

3LɪɪJ

由于当HfO时,工'是无穷小量，且卜in,∣≤1.故可知Ii呼Isin/=0.

当才―O时,l-eT''~3〉,故

P(1-e^")sinjj∣.3J∙,∙SinZ_r..3sin2x

Iim-----------；----------=Iim---------：------=Iim≡-=3.0

一。Xz→oX√→oJr

所以阳［小二炉血三十dsin土］=3.

76.

由F="+2x，得交点(OQ)与(2.0).

Iy=O.

=

(DS=((-/♦2x)dχ=(_=♦/)Ioy∙

②匕=ʃπ(-x：÷2x)2dx=TrjJ(X4-4xi÷4x2)dx

=ιr(r^χ4Φ,)lo=⅛ιτ

77.

ʃln(ɪ+Ml+>>dɪ=ʃln(ʃ÷，I+“，)—ʃʃd(ɪn(ɪ÷√I+ɪɪ))

=ɪln(ɪ+√zT+"?)—Lr•------1------I/ɪ人”.∖dɪ

Jx+√Γ+Pr∖√Γ+7∕

=ʃln(ɪ+√T+"xr)—f-ɪ-dɪ

J√rΓ+xr

=ɪln(ɪ+√Γ+7r)一ɪʃ(l+ɪɪ)-ɪd(l+√)

=ɪln(ɪ+√zT+xr)—，I+/+C

ʃln(ɪ+√zl÷xi)dr=ɪln(ɪ÷√1÷ɪ2)—ʃɪd(ln(ɪ÷√1+ʃ2))

dr

=xln(x÷√Γ+7)-P.7ψ;z⅛=r(ɪ+7f⅛)

r

=ʃln(ɪ+√T-Fx)—[■-ʃdɪ

J√Γ+7Γ

=ɪln(ɪ+√T+-τr)—ɪʃ(I÷ɪɪ)-ɪd(1+ɪɪ)

=ʃɪn(ɪ+√T+^rr)—√1+√+C.

因为Iim/(1)=limʃsinL=O=/(0),

/•*0r→0Jr

所以/(ʃ)在Z=O处连续.

1

但人工)-J(O)=A£1=——三=Sin1.

Jr-OXXJr

而IimSin-不存在,即lim∕(∙r)一八°)不存在.

L。ɪf*0