2023年高考数学一轮复习习题：第七章第3节　基本不等式及其应用

第3节基本不等式及其应用

考纲要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的条件：ɑ≥0,⅛≥o.

(2)等号成立的条件：当且仅当寸取等号.

(3)其中等称为正数α,匕的算术平均数，称为正数a,b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(l)α2+⅛2⅞:2<∕⅛(α,⅛∈R),当且仅当α=6时取等号.

(2)46<(区芋)(α,⅛∈R),当且仅当α=6时取等号.

3.利用基本不等式求最值

已知x>0,y⅛≈0,则

⑴如果积盯是定值P，那么当且仅当正上时，x+y有最小值是25(简记：积定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,外，有最大值是］(简记：和定积最大).

•——常用结论与微点提醒

I?+注2(α,b同号)，当且仅当“=匕时取等号.

4.应用基本不等式求最值要注意：”一定，二正，三相等"，忽略某个条件，就会出错.

5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一

定要保证它们等号成立的条件一致.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)两个不等式“2+∕N2ab与的成立的条件是相同的.()

(2)函数y=x+；的最小值是2.()

4

⑶函数./U)=Sinx+而：的最小值为4.()

(4)尤>0且y>0是的充要条件.()

答案(I)X(2)×(3)×(4)×

解析(1)不等式〃2+从224匕成立的条件是b∈R;

不等式成立的条件是a20,bW.

(2)函数y=x+；的值域是(一8,-2]U[2,+∞),没有最小值.

4

(3)函数/(x)=Sinx+而G没有最小值.

(4)x>0且)，>0是：+旨2的充分不必要条件.

〉教材衍化

2.若x>0,>'>0,且x+y=18,则的最大值为()

A.9B.18C.36D.81

答案A

解析因为x+y=18,所以甘ɪ=9,当且仅当x=y=9时，等号成立.

3.若x<0,贝∣Jx+:()

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为一2

D.有最大值，且最大值为一2

答案D

解析因为Xe0,所以一x>0,x+:=------》+(—：)]w—21y(—x)(一1)=—2,当且仅当X

=-1时，等号成立，所以x+gw-2.

>考题体验

4.(2021∙东北三省三校联考)若函数y(x)=x+>2)在X=”处取最小值，则。等于()

A.l+√2B.l+√3

C.3D.4

答案C

解析当x>2时，χ-2>0,#X)=(X-2)+4+2〉2、/(工一2)乂占+2=4,当且仅当X-

2=占(x>2),即x=3时取等号，即当KX)取得最小值时，x=3,即α=3,故选C.

5.(2020•玉溪一中月考)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,

则这个矩形的长为m,宽为m时菜园面积最大.

答案15y

解析设矩形的长为Xm,宽为ym.则x+2y=30,所以S=Xy=%∙(2y)W娶苧牛=亨,

当且仅当x=2y,即x=15,y=与时取等号.

6.(2018・天津卷)已知”,⅛∈R,且〃一36+6=0,则2"+白的最小值为.

O

答案I

1/Γa-3bI

解析由题设知。-3匕=-6,又2">0,8〃>0,所以2"十歼》272“g=2・2三一=不当且仅当

2"==,即°=—3,6=1时取等号.故2"+上的最小值为由

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一利用基本不等式求最值多维探究

角度1配凑法求最值

【例I】⑴(2021•成都诊断)设0<x<∣,则函数>=4x(3—2x)的最大值为.

(2)已知则段)=4x—2+不£的最大值为.

T

(3)已知函数y(x)=市(x<—1),贝∣J()

A.人尤)有最小值4B.危)有最小值一4

C../W有最大值4D.7U)有最大值一4

9

答案(1)2(2)1(3)A

解析(l)y=4x(3—2x)=2[2x(3-2x)]

V产+(3—2尤)}:9

T2J~2,

当且仅当2X=3-2Λ,即X=利，等号成立.

∙,∙(∈(θ,I),/.函数y=4x(3-2x)(θVXVg的最大值为

(2)因为x<∣,所以5—4x>0,

则危)=4xT3=—(5-4x+^^)+3W—zʌʃ(5-4x)-^^+3=-2+3=1,

当且仅当5—4x=~-,即x=l时，取等号.

5—4X

故7U)=4∙X-2+“、的最大值为I.

因为XV—1,所以x+l<O,—(x+l)>O,

所以7U)22√T+2=4,

当且仅当一(x+l)=丁即x=-2时，等号成立.

一(工L十1N)

故yu)有最小值4.

角度2常数代换法求最值

【例2】若正数〃2,鹿满足2团+〃=1,则5+1的最小值为()

A.3+2√2B.3+√2

C.2+2√2D.3

答案A

解析因为2〃z+〃=l,

则A+1=(⅛+O∙(2"7+")=3+A+羿

2+2普=3+2隹

当且仅当”=小根，即W=2?,〃=啦一1时等号成立，

所以5+5的最小值为3+2啦，故选A.

角度3消元法求最值

【例3】(2020•江苏卷)已知5x2y2+y4=i(χ,y∈R),则x2+y2的最小值是.

4

答案5

解析由题意知yW0.由5x2y2+y4=l,可得f=g,所以/+9=/+产=与^=

@+4)2)*义2、$X4√=*当且仅当/=4p即),=：^乎时取等号.所以χ2+V的最小

4

值为亍

感悟升华利用基本不等式求最值的方法

(1)知和求积的最值：”和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：

①具备条件——正数；②脸证等号成立.

(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利

用基本不等式求最值的条件.

(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”

或“常数1”的替换，构造不等式求解.

【训练1】(1)已知实数X,>->0,且/一肛=2,则x+g+-r的最小值为()

^xy

A.6B.6√2C.3D.3√2

(2)若正数X,y满足x+3y=5Xy,则3x+4y的最小值为.

答案(I)A(2)5

解析⑴由X,)>0,『一个=2得x-y=5,则三二=9所以x+2+=：=x+§+尹3(，+1)

ʌAyZ-ΛXyΛΔ人/

›3×2Λ∕I×1=6^

当且仅当专―，即x=2,y=l时等号成立，所以x+g+—L∙的最小值为6.

2XXχ-y

⑵由χ+3y=5孙可得/卷=1,所以3x+4y=(3x+4y)(⅛+⅛)=γ+^+⅛≥γ+y=

5(当且仅当新甯，即尤=1,γ=∣⅛,等号成立)，所以3x+4y的最小值是5.

考点二基本不等式的综合应用师生共研

【例4】(1)(2021.湘东七校联考)己知於)=*+0t2+3-4)x+l(α>0,6>0)在X=I处取得

极值，贝吟+加最小值为()

C.3D.9

(2)已知不等式(x+y)Q+f)29对任意正实数X,y恒成立，则正实数”的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

答案(I)C(2)B

解析(1)因为/U)=∣X3+QX2+S-4)x+l(α>0,⅛>O),

所以，(X)=X2+2GC+/?-4.

因为7U)在X=I处取得极值，

所以(1)=0,所以l+2α+b-4=0,解得24+b=3.

所以>Ad+(⅛∙(2"+b)

=《5+号+为>；(5+2\^^)=3(当且仅当α=b=l时取等号).故选C.

(2)已知不等式(x+y)g+f)》9对任意正实数X,y恒成立，只要求(x+y)(}+1)的最小值大

于或等于9,

1+α+'+-72a+2^'J^+1,

χy

当且仅当y=√2时，等号成立，

Λα+2>∕ɑ÷1^9,二皿22或WW—4(舍去)，Λα>4,

即正实数。的最小值为4,故选B.

感悟升华1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，

然后利用常数代换法求最值.

2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而

得到参数的值或范围.

【训练2】⑴在AABC中，4=也A4BC的面积为2,则.到「+誓的最小值为

osinC+02s°mBsinC

()

A近B逆C3d5

ʃʌ.2o•4V-/*21­**3

(2)在AABC中，点。是4C上一点，且n=4俞,P为BD上一点，向量寿=加+〃启(2>0,

41

〃>0),则升加最小值为()

A.16B.8C.4D.2

答案(I)C(2)A

解析(1)由AABC的面积为2,

I]兀

所以SC=IbCSinA=∕csin5=2,得反=8,

在aABC中，由正弦定理得

2sinCSinB_2。b

sinC+2sinBSinCc+2⅛c

8

~

⅛>16

-n/8?

8-8+2⅛2

-2+∙28

⅛-⅛

8,⅛2+4

4+b-8

»/8fe2+4113

》2，了+-庐飞…-『2一厂菱,

当且仅当6=2,c=4时，等号成立，故选C.

(2)由题意可知，崩=痴+4〃屐)，支B,P,。共线，由三点共线的充要条件可得2+4/=l,

又因为2>0,">0,所以:+"=(*+0以+44)=8+争+念8+2∖^^=16,当且仅当7

1141

=],〃=W时等号成立，故]+/的最小值为16.故选A.

考点三基本不等式的实际应用师生共研

【例5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要

发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安

装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量X万件与投入实体店体验安装的费

用t万元之间满足函数关系式x=3—篇■.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品

每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产

品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是万元.

答案37.5

解析由题意知，=黄11(1<*<3),设该公司的月利润为y万元，则y=(48+§L32x一

3-f=I6χ-3=16χ-3=45.5—16(3-χ)+^τJw45.5-237.5,

当且仅当X=V时取等号，即最大月利润为37.5万元.

感悟升华1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.

3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.

【训练3】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买X吨，运费为6万元/次，一年的总

存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则X的值是.

答案30

解析一年的总运费与总存储费用之和为y=6X绊+4x=1+4x22df¾x=240,

当且仅当3,Q=4X,即x=30时，y有最小值240.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.己知”,⅛∈R,且αb≠0,则下列结论恒成立的是（）

A.a+b^2∙∖[abB.

C.5=2D.a2+b2>2ab

答案C

解析因班档同号,所以年+皆=拗+1沿2.

2.若3x+2y=2,则8'+4v的最小值为（）

A.4B.4√2C.2D.2√2

答案A

解析因为3x+2y=2,所以8Λ+4V22√F不=2位诟'=4,

当且仅当3x+2y=2且3x=2y,即x=1,y=；时等号成立.故选A.

3.下列结论正确的是（）

A.当x>0且XWI,lgx+±》2

B∙7+7<IU∈R）

C.当QO时，√x+ψ≥2

W

D.当0<xW2时，x—：无最大值

答案C

解析对于A,当O<x<l时，lgx<O,不等式不成立;

对于B,当X=O时，有j1=l,不等式不成立；

对于C,当QO时,当且仅当x=l时等号成立;

13

对于D,当0<rW2时，y=x—十单调递增，所以当尸2时，取得最大值，最大值为宗

4.已知QO,y>0f且Vγ+j=/则x+y的最小值为（）

A.3B.5C.7D.9

答案C

解析∙.∙χ>0,)∙>O,且Wj^+54.∙.x+l+y=2f+3(x+l+y)=2(l+1+%•+(•)

x+1

⅜2∣2+2Λ/I1∙∣≈8,当且仅当87=中，即x=3,y=4时取等号，.∙.x+y27,

故x+y的最小值为7.

5.要制作一个容积为4∏Λ高为Im的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方

米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()

A.80元B.120元

C.160元D.240元

答案C

解析由题意知，体积V=4∏P,高∕ι=lm,所以底面积S=4π?,设底面矩形的一条边长

是Xm,则另一条边长是?m,又设总造价是)，元，则y=20X4+10X(2x+§280+20ʌ，j[

Q

=160,当且仅当2x=*即x=2时取得等号.

6.若实数X,)，满足f+V+Xy=1,则x+y的最大值是()

A.6B.C.4D.I

答案B

解析x2+y2+xy=1≠>(x+y)2-xy=1,

:孙〈(W21,当且仅当χ=y时取等号，

；.(x+y)2一传24，

即条+y>w1,.•.一¥<+〉・¥，

.∙.x+y的最大值是¥.故选B.

7.(2021.郑州一模)若Iog2∙r+log4y=l,则/+y的最小值为()

A.2B.2√3C.4D.2√2

答案C

解析因为logu+Iog4γ=Iogu2+∣0g4y=log4(x2>,)=1,所以x2γ=4(x>0,y>0),则x2+y22也丐

=4,当且仅当x2=y=2时等号成立，即x2+y的最小值为4.故选C.

8.(2021•厦门联考)对任意〃?，∕2∈(0,+o°),都有加2—C+2∕20,则实数。的最大值为

)

9

ÆBC4-

√22√2D.2

答案B

解析T对任意如〃e(0,÷°o),都有加2—卬〃〃+2〃220,

J.nλ+2nλ^amn,即恒成立，

tinnnin

∙.∙：+普22寸々普=2小,当且仅当：=誓即"=6"时取等号，.∙.”<2√5,故”的最大

值为2吸,故选B.

二、填空题

9.若直线/会=l(α>O,6>0)过点(1,2),则2“+人的最小值为

答案8

12

解析由题设可得4+石=1,∙.,4>0,b>O,

.∖2a+h=(2a+h)(j+l)

一。I4。、/ICIbAa

=4+-+^τ^∙^4+2Λ-T

ab∖∣cib

=8(当且仅当《=与，即b=20=4时，等号成立).

故24+6的最小值为8.

10.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9f则x+3y的最小值为

答案6

解析法一(换元消元法)

由已知得x+3y=9-xyf

因为x>0,y>0,

所以x+3y225面，

所以3Λ>W(笞§2,

当且仅当尤=3%即x=3,y=l时取等号，

即(x+3y)2+12(x+3y)-108^0,

令x+3y=t9则/>0且?+12t-10820,

得/26,即x+3y的最小值为6.

法二(代入消元法)

9—3y

由x+3y+xy=9,得x=ɪʤ,

所以x+3y=]+,+3y

9+3y23(l+y)2-6(l+y)+12

一↑+y~1+y

12/12~

=3(1+丫)+币一6》2弋3(1+力田—6

=12—6=6,

12

当且仅当3(l+y)=含，即y=l,x=3时取等号，

所以x+3y的最小值为6.

11Q

11.(2020.天津卷)已知α>0,⅛>0,且历=1,则五+五+在^的最小值为•

答案4

解析因为α>0,b>0,ab=∖,所以原式=嚷+M+4T=R+-⅜722∖/华∙-⅛=

Za2ba~vbZa~∖~b∖∣Za~∖~7b

4,当且仅当华=士，即α+b=4时，等号成立.故；⅛+∕+-⅜7的最小值为4.

2a-r-bLa2。a~rb

X2+2

12.函数y=不13>1)的最小值为.

答案25+2

解析Vx>1,/.χ-1>0,

.x2-h2(x2—2r+l)+(2x-2)+3

∙∙y%—1%—1

(X—1)2+2(X-1)+3

χ-l

=(x—1)+κ_]+222y∕3+2.

当且仅当》一1=一二,即》=小+1时，等号成立.

X—IV

B级能力提升

13.(2020•西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西

方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现

证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点尸在半圆。上，点C在直径A8上，

SiOF.LAB,设AC=〃，BC=b,则该图形可以完成的无字证明为()

F

ACB

a-∖-bI-

Ar2-2y[Σb(a>0,Z?>0)

B.a2+b1^2ab(a>0⅛>O)

C.^~≤√^(6∕>O,b>O)

a+b∣a1+b2

D.-y~≤Λ/2-(a>0,b>O)

答案D

解析由图形可知OF=)"/+份，OC=^(a+h)-h=∣(0i)，