湖南省郴州市2022-2023学年高二上学期期末教学质量监测数学（解析版）

郴州市2022年高二下学期教学质量监测试卷

数学试题

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.)

1,直线双-4y=°与直线4x+2y-l=°垂直，贝IJa等于()

A.2B.---C.1D.—1

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据一般式直线与直线垂直的结论列式求解即可得〃的值.

【详解】解：由于直线以-4y=0与直线4x+2y-l=0垂直，

所以αx4+(-4)x2=0,解得α=2

故选：A.

2.与两圆£心一1)2+(尸2)2=1和6：(工+1)2+。-3)2=9都相切的直线有O条

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心坐标和半径，由圆与圆的位置即可求解.

【详解】由题意知，G(I,-2)M=LG(T,3),弓=3,

22

所以圆心距d=C1C2=7(1+1)+(-2-3)=a>4+2=4,

所以两圆相离，公切线有4条.

故选：D.

3.已知等比数列｛an｝的前n项和为S,,,且S3=4+5q,%=16,则q=()

1ITlCl1

A.—B.一或—C.-D.--

84444

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列的定义与通项公式运算求解.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,

：邑=4+5q,即/+4+4=。2+5〃］，则色=4q,

.∙.√=—=4,

卬

6

则a-l=alq=64α∣=16,解得4=；.

故选：C.

4.已知四棱柱ABCD-A4GR的底面是平行四边形，点E在线段DC上满足OE=2EC,

EAi-xAB+yAD+zAAi,贝∣］x+y+z=()

22C44

A.----B.—C.----D.一

3333

【答案】A

【解析】

［分析］用空间基底向量表示向量结合空间向量线性运算求解.

ULimUlInULBIULIUTQUImUU∣∏UUlI9

【详解】'."EA1=ED+DA+AA1=—AB-AD+AAi,则X=—,y=—1,z=1,

5.己知曲线/(x)=χ3+人在χ=α(α>0)处的切线方程为3x—y+l=O,则函数丁=怆|以+。|图象的对

称轴方程为O

A.x=-3B.X=—C.x=lD.X=3

3

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求出。涉的值，然后可得答案.

【详解】因为r(x)=3χ2,曲线/(x)=χ3+8在尤=α(a＞0)处的切线方程为3x-y+l=0,

所以/'(。)=3〃=3,结合a＞0可得α=l

所以/(l)=l+h=4,解得6=3

所以y=lg麻+A∣=lg∣x+3∣图象的对称轴方程为》=一3

故选：A

【点睛】本题考查的是导数的几何意义，属于基础题.

元2V2

6.已知双曲线C:十六=1仅＞0)的一条渐近线方程为2x+y=0,6、鸟分别是双曲线。的左、右

焦点，P为双曲线C上一点，若IP制=6,则IPBl=O

A.2B,2√5C.2或10D.10

【答案】D

【解析】

【分析】利用双曲线的渐近线方程求出力的值，求出IPEl的取值范围，结合双曲线的定义可求得IP闾的

值.

bb

【详解】双曲线C的渐近线方程为y=±]X,由题意可得I=2,则方=4,

因a=2,则C=Ja2+加=2小,所以，∕ζ(2√5,θ),

设点P(X,y),其中X≥2或XW—2,

2

贝可咽=^(X-2√5)+√=7√-4√5%+20+4√-16=λ∕5√-4√5%+4=∣√5%-2∣.

若点P在双曲线的右支上，则*2,贝|]归用=6》一222右一2,

当点P在双曲线的左支上，则XV—2,则IPEl=2—7L:22+26.

由双曲线的定义可知|归耳|一忙周∣=∣6Tp周∣=2α=4,解得IP用=2(舍)或1().

故选：D.

22

7.已知£、尸2是椭圆C：0+==l(a＞方＞0)的左、右焦点，用、鸟是椭圆短轴的上、下顶点，P是

该椭圆上任意一点，若IpKl的最大值与最小值之积为3,且四边形耳片入人的内切圆半径为乎，则椭圆

C的方程为O

2222

A.----1----=1B.----1----=1

4343

22

2

C.-+y=↑D.匕+χ2=l

44

【答案】A

【解析】

［分析】首先根据IPKl的最值得到(α+c)(α—c)="一¢2=廿=3,根据且四边形Kg与鸟的内切圆半

径为亚得到α=2c,即可得到答案.

2

【详解】因为IPKl的最大值与最小值之积为3,所以(α+c)(α-C)=/一。2=廿=3,

四边形片片F)用的内切圆半径为正，

2

所以。到直线E片的距离为且，印bc=旦db?+c2n百C=昱a，即α=2c.

222

所以(2c)2—¢2=3,解得c=l,a=2,

22

椭圆C:--+ɪ-=1.

43

故选：A

8.在直三棱柱ABC-AfiG中，AB=1,BC=2,A41=2,ABSJBC,M为该三棱柱侧面BCCg

内(含边界)的动点，且满足M8+MC=2&，则三棱锥M—ABC体积的取值范围是()

【答案】B

【解析】

【分析】在侧面BCG用中建立平面直角坐标系，确定点M的轨迹，由此确定点M到平面ABC的距离的

范围，结合锥体体积公式求三棱锥M-ABC体积的取值范围.

【详解】如图在棱锥的侧面BCGg中，以BC的中点为原点，Be为X的正方向，

建立平面直角坐标系，则B(-1,O),C(1,O),

因为∣Λ∕6∣+∣/C=2√5>2=WC,所以点M的轨迹为以6,C为焦点的椭圆的一部分,

且椭圆的长轴长为26，

χ2

故点M的轨迹方程为±+y2=i,其中一l≤χ≤l,,

2

所以变≤y≤l,

2

即点加到直线BC的距离的范围为［曰』］,

因为侧面BCC由，平面ABC,

所以点M到平面ABC的距离的范围为军』，

即三棱锥M—ABC的高的取值范围为［曰,1］,

设三棱锥M-ABC的高为力，

则三棱锥M-ABC的体积V=；SABC，,

因为IABI=I,忸I=2,ABJ.BC,

所以Sfc=JΜ∣∙忸Cl=1，

1/ɔ1

所以V=WSA8C∙∕ZW⅛,-,

故选：B.

122

对于B选项，若/a)=7,则/(X)=-F,⅛/(3)=--(B对；

对于C选项，若y=2',则>'=2*In2,C错；

对于D选项，若y=log2%,则y'=-L,D对.

xln2

故选：ABD.

10.己知圆。：/+/一4尤+2y+i=o,直线/:%+做一l=0(α∈R),则下列说法正确的是()

A.圆C的圆心坐标为(-2,1)B.圆C与y轴相切

C.直线/过定点(0,1)D,直线/与圆C相交

【答案】BD

【解析】

【分析】由圆的一般方程确定圆心坐标和半径，将直线方程化为点斜式方程求出恒过的定点，将定点代入

圆方程可判断直线与圆的位置关系.

【详解】由/+V-4x+2y+l=0,得(x-2>+(y+l)2=4,

所以C(2,-l),r=2,故圆C与y轴相切；

由x+αy-1=0,得一效=X-1,直线/恒过定点(1,0),

将点(Lo)代入圆C方程，得(1-2)2+(0+1)?=2<4,

即点(1,0)在圆C内，所以直线/与圆C相交.

故选：BD.

11.设｛。,,｝是等差数列，S”是其前〃项的和，且J>S5,S13=O,则下列结论正确的是()

Ad>0B.%=0

C.S8>S3D.只在〃=6处时5„才取最小值

【答案】AB

【解析】

【分析】根据S∣3=0求出％=0，由S4>S5得到/<0，d>0,判断出AB正确；再根据作差法结合

等差数列的性质判断出C选项，由4<0，«7=0-d>0,得到S,取得最小值的〃不止一个.

【详解】S∣3=-J3;2%=]3%=o,解得：%=o,B正确；

因为S4>S5,所以为<0，故2d=%-%>0，解得：d>0,A正确；

因为α7=0,d>0,所以％=%-d<0，

Ss-S3=a4+a5+a6+a1+ai=5afι<0,故Sii<S3,C错误；

因为％<0，“7=0，d>0,故当〃=6或7处时S“均取最小值，D错误.

故选：AB

12.如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，SAJ_平面ABeaS4=A8,O,P分别是ACSC的中点,

M是棱So上的动点，则下列选项正确的是O

BC

A.OMIPA

B.存在点M,使OM//平面SBC

C.存在点使直线。M与AB所成的角为30。

D.点M到平面ABCZ)与平面SA8的距离和为定值

【答案】ABD

【解析】

【分析】以A为坐标原点，AB,AQ,AS所在直线分别为羽》z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判

断ACD,根据线面平行的判定定理判断B

【详解】以A为坐标原点，A氏A。,AS所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系(如图)，

设SI=A3=2,

则A(0,0,0),C(2,2,0),3(2,0,0),0(0,2,0),S(0,0,2),0(1,1,0),P(IJl),

由M是棱5。上的动点，设M(0,42—2),(()≤2≤2),

AP=(1,1,1),OM=(-1,Λ-l,2-Λ),

.∙.AP∙0M=-1+4—1+2—/1=0，

：.AP±OM,故A正确；

当M为Sz)的中点时，OM是一SBo的中位线，

所以OM//SB,

又OMU平面SBC,SBU平面SBC,

所以。M//平面S3C,故B正确；

AB=(2,0,0),OM=(-l,Λ-l,2-Λ),

若存在点M，使直线。仞与AB所成的角为30。，

∖AB-0M∖16

则cos30°=~~T=/=—，

22

∖AB∖-∖OM∖λ∕l+μ-I)+(2-2)2

化简得3万—92+7=0,方程无解，故C错误；

点M到平面ABCD的距离&=2一2,

∖AM-AD∖22

J

点M与平面SAB的距离d,=~~j---；—=-=λ,

M2

所以点M到平面ABCo与平面SAB的距离和为4+&=2-2+2=2,是定值，故D正确;

故选：ABD

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问

各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相

同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这

个问题中，乙所得为钱.

7

【答案】-

6

【解析】

【详解】由题意,设这五人所得钱分别为。+24,。+乩〃,。一乩。—24,

则α+2d+α+d=α+α—d+a—2t∕,且5a=5,所以α=l,d=',

6

7

所以乙所得为α+d==钱.

6

14.在空间中，已知平面ɑ过(3,0,0)和(0,4,0)及Z轴上一点(0,0,")(α>0),如果平面α与平面XOy的夹角为45。,

则a—.

I?

【答案】y

【解析】

【分析】分别求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解

【详解】不妨设A(3,0,0),8(0,4,0),C(0,0,0)

取平面XO)，的法向量〃=((),()』)，

设平面«的法向量为u=(x,y,z),AB=(-3,4,0),AC=(-3,0,«)-

uAB=-3%+4y=0

则•

u-AC=-3>x+az-0

即3x=4y=4z,取z=l,贝!)〃=(工31).

34

又∙.,α>0,.,∙Ci—

5

故答案为：y

15.已知双曲线=l(n>0S>0)的右焦点为F(2c,0),点4坐标为(0,1),点尸为双曲线左支上

的动点，且APF的周长不小于14,则双曲线C的离心率的取值范围为.

【答案】

【解析】

【分析】.A尸尸的周长不小于14,可得IpAI+∣P用的最小值不小于9,设F2为双曲线的左焦点，则

IPH+∣PE∣+2α的最小值不小于9,分析可得A,P,K三点共线时，∣PA∣+IPEI+2。取最小值5+2”,

从而可求。的范围，根据离心率公式即可求解.

【详解】由右焦点为尸(2遍,0),点A坐标为(0,1),可得IM=J24+1=5.

因为AFE的周长不小于14,所以IPAl+∣P目的最小值不小于9.

设蔚为双曲线的左焦点，可得IPFl=IP用+2”,

i⅛∣B4∣+∣PF∣=∣PA∣+∣P^∣+2α,

当A,P,尸2三点共线时，I/科+1股I+2a取最小值IA月+2α,即5+24,

所以5+24N9,即α≥2∙

因为C=2JG,所以e=£=2"<yfβ.

aa

又e>l,所以

故答案为：(1,痛].

16.设点P是函数/(x)=0/(?sinx-CoSX图象上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为α,则角ɑ

的取值范围是.

7t~∖「2;T、

【答案】0,yU-,π∖

【解析】

【分析】首先根据题意得到r(])=l,根据导数切线的几何意义得到tan。e即可得到答

案.

【详解】因为/(X)=(SSinX-COSX,r(x)=3∕Q

CoSX+sinX

所以/'(%)=夜COSx+sinx=∖∣3sin

ɔ

所以tana∈[->A,6],解得0≤a≤]或q≤a<兀.

故答案为：θ,ɪU会’71)

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知空间向量自=(X,4,2),b=(3,ʃ,-1)，I=(Ll,z),a//bbJLc•

(1)求x,y,z；

(2)求人与人+c所成角的余弦值.

【答案】(1)X=—6,y=-2,z=1

【解析】

【分析】(1)根据空间向量平行及垂直的坐标关系可得达y,z的值；

(2)利用空间向量坐标运算求得b=(3,-2,-1),⅛+c=(4,-1,0),即可得W=√值，M+c∣=a,

再根据夹角余弦公式求得b与〃+c所成角的余弦值即可.

【小问1详解】

X42

解：由a〃6得彳=一=-；，解得x=-6,y=-2,经检验符合；

3ʃ-1

由b√,c∙得3χl+yχl+(-l)χz=0,解得Z=I

.,.x--6,尸―2,z=l-

【小问2详解】

解：由(1)可得b=(3,-2,-1),⅛+c=(4,-1,0).

.∙.∣∕7∣-√14,∣⅛+C∣=√Γ7,

b-(b+Ai2+2+0√238

cosb,h+c=~~j—I-----r=——7==--------.

M√l14×√1717

18.已知圆C过点/(-3,2),圆心C在直线x-y+3=0上，且圆C与X轴相切.

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点P(2,3)的直线/与圆C相交于A、B两点，若,ABC为直角三角形，求直线/的方程.

【答案】⑴(X+1)2+(y-2)2=4

(2)X-y+1=O或x+7y-23=0.

【解析】

【分析】(1)待定系数法求圆方程即可；

(2)设/:y-3=k(x-2),根据题意得到弦长，再结合垂径定理和点线距离公式可求攵的值，从而得到直线

/的方程.

【小问1详解】

由题意，设圆心C(α,α+3),由于圆C与X轴相切.•・・半径r=∣α+3∣,

所以设圆C方程为(x-a)?+()，一α-3)2=(α+3)2

又圆C过点M(-3,2),3-4)2+(2-4-3)2=(α+3)2

解得«=—1

，圆C方程(x+l)2+(y-2)2=4.

【小问2详解】

由圆C方程易知直线/的斜率存在，故设/:y-3=k(x-2),即

Γ.kx-y+3-2k=0,设C到/的距离为"，

∖-k-2+3-2k∖H-3⅛∣

则

d=y∣k1+l

ABC为直角三角形，［ABI=2拒，.∙,2√4-J2=2=≠><Z=√2

J-"=Λ∕2=>Ik2-6Z-1=0=>&=1或上=――,

√A:2+1-7

故直线/得方程为x-y+l=O或x+7y-23=0.

19.如图2,在YABCZ)中，AB=2,BC=BZABC=30°.将C沿AC翻折，使点。到达

点尸位置(如图3),且平面Q4C_L平面P8C.

图2图3

(1)求证：平面P4C，平面ABC；

(2)设。是线段依上一点，满足尸Q=mP3,试问：是否存在一个实数m,使得平面QAC与平面QAB

的夹角的余弦值为巫，若存在，求出”?的值；若不存在，请说明理由.

4

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，m--

2

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求出AC的长，由勾股定理得C3_LC4,过点A作AM_LPC，然后利用面

面垂直的性质定理及判定定理证明即可，

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量建立关系式分析即可.

【小问1详解】

在一ABC中，由余弦定理得AC?=J^+]2-2x6XIX走=1,

2

.∙.AC2+βC2=l2+√32=4=AB2>

:.CBA.CA,

过点A作AMLPC交PC于点M,如图所示，

又平面QACJ_平面PBC,且平面PAC平面PBC=PC

由AMU平面PAC,

所以401平面PBC,又JBCU平面PBC,

所以AMLBC,又BCJ_AC,ACnAM=A

(2)是否存在实数无，使得不等式∕l∙4"+3≥S,,,对任意正整数〃都成立？若存在，求出/1的最小值；

若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

3

(2)存在，/1的最小值为3.

O

【解析】

【分析】(1)根据等差中项的应用可得s,m=3+4”“，利用S,,与%的关系即可证明；

(2)由(1),根据等比数列的通项公式可得。e-2勺=2向，即符-*=1,进而数列［箓］为等差数列,

2,7-3

利用公式法求出S“与勺,有几2(下一)3,,结合数列的单调性即可求解.

【小问1详解】

由题设得。“有

Sn+l=3+4①，S,,+2=3+4an+l②，

在①中令〃=1得，

S,=3+4α∣=q+a2=3+4α∣=>«2=6=>⅛l=α2-2al=4,

由②-①,得

4+2=¼,ι-¼,=Λ

+*一2,I+1=2(an+l-2an)=>blt+l=2bn,

又b,≠0,所以与1=2,

数列也“｝是首项为4,公比为2的等比数列.

【小问2详解】

由⑴得勿=2向，即氏+∣-2α,,=2"∣

变形得到弱■-娶=1,数列｛墨｝是等差数列，由此得

aa,2n-l仆

寸n=号+“-lλ:ɪ-ʒ-n4=(2"-l)∙2,

.∙.S“=3+4α,ι=3+4-(2〃-3)2T=3+(2〃-3)∙T,

〃一

由/I∙4"+3NS,,n/1>—2—3恒成立，

2

令%=W，则九N(C")maχ∙

2〃一12〃一35—2〃

C—C----------------------

«+1〃2/12”2八+1‘

「・当〃<3时，g+∣>cn；当〃≥3时，cn+l<cn,

33

・•・c〃的最大值为C3=-,.,.>l≥一，

88

3

即X的最小值为9.

21.已知函数/(x)=e'i和g(x)=J7T9-02,其中小6为常数且6>0.

(1)当。=1时，求曲线y=∕(χ)在X=I处的切线方程；

(2)若存在斜率为1的直线与曲线y=∕(χ)和y=g(x)都相切，求α+0的取值范围.

【答案】(1)ex-y-l=O

⑵1,+00)

【解析】

【分析】(1)由题意对函数求导，求出切点和切线的斜率，根据点斜式求切线方程即可，

⑵设曲线y=/(x)在点A^,ex'-b)处的切线斜率为1,求导计算可得A(0,1-。)；设曲线y=g(x)

在点3卜2,J%2+a―1)处的切线斜率为1，求导计算可得-a,g-/)再由直线AB的斜率为1,

3

可得凡。的关系，由于人>0,则a+匕=/+—,从而即可求出a+匕的取值范围.

4

【小问1详解】

当b=l时，/(x)=et-l,

当X=I时，切点为(l,e-l),

V∕,(x)=e∖切线斜率为/"(l)=e,

切线方程为y-(e-l)=e(x-l),即ex-y-l=O.

【小问2详解】

/(X)=e-b的定义域为R,g(X)=√ΓΓΣ-b2的定义域为［-a,+∞),

且r(xD=J百

设曲线y=∕(x)在点A(χ,eJ冲处的切线斜率为1,贝b为=1，

所以玉=O,则A(0

设曲线y=g(x)在点812，)^工^一/)处的切线斜率为1,则公看7=1,

所以/=；一”，则B

^-b2-∖+b

直线AB的斜率-ɪ-j--------