2023年高考数学一轮复习习题：第三章第2节　第1课时　利用导数研究函数的单调性

第2节导数在研究函数中的应用

考纲要求1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的

单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;

会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大

值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会

解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

L函数的单调性与导数的关系

函数y=√(x)在某个区间内可导，则：

⑴若/(x)>0,则兀V)在这个区间内单调递增;

(2)若∕Q)<O,则/U)在这个区间内单调递减;

(3)若/(x)=0,则7U)在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数

/(xo)=O

条件Xo附近的左侧/(x)<0,右侧

Xo附近的左侧/(x)>0,右侧/(x)≤0

/(x)≥0

yy

∕l⅜)........"7T∖

P∖1∕、

图象~~o~∕⅛∖X

曲,)……-N-Z

形如山峰形如山谷

极值外0)为极大值,大⑹为极小值

极值点XO为极大值点Xo为极小值点

3.函数的最值与导数

(1)函数Kr)在［〃，以上有最值的条件

如果在区间⑷加上函数y=∕U)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=∕(x)在［”,加上的最大(小)值的步骤

①求函数y=∕(x)在(α,。内的极值;

②将函数)，=∕(x)的各极值与端点处的函数值八”),火份比较，其中最大的一个是最大值,≡

上的一个是最小值.

•——常用结论与微点提醒

L若函数JX)在区间伍,力上递增,则F(X)2,所以’T(x)>O在(α,1上成立"是“危)在3,

6)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数次X),"/(XO)=0”是“函数兀0在X=Xo处有极值”的必要不充分条件.

3.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然

认为极值就是最值.

4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的

大小关系.

诊断自测

，思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“V”或“义”)

(1)若函数八》)在3,切内单调递增，那么一定有/(x)>0.()

(2)如果函数T(X)在某个区间内恒有/(x)=o,则兀V)在此区间内没有单调性.()

(3)函数的极大值一定大于其极小值.()

(4)对可导函数火x),若/(Λ⅛)=0,则XO为极值点.()

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()

答案(I)X(2)√(3)X(4)×(5)√

解析(I)AX)在(“，勿内单调递增，则有〃χ)20.

(3)函数的极大值也可能小于极小值.

(4)xo为H>)的极值点的充要条件是/(xo)=0,且Xo两侧导函数异号.

〉教材衍化

2.函数,/(X)=X-InX的单调递减区间为()

A.(0,1)B.(0,+∞)

C.(l,+∞)D.(-∞,O)U(1,+∞)

答案A

解析y7(χ)=1一:，且χ>o.

由/(x)<0,得0<x<l.

3.如图是兀V)的导函数/(x)的图象，则加)的极小值点的个数为()

答案A

解析由题意知在x=-l处/(—1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.

>考题体验

4.(2017・浙江卷)函数y=y(x)的导函数y=∕(x)的图象如图所示，则函数y=√(x)的图象可能是

()

答案D

解析设导函数y=∕(x)与X轴交点的横坐标从左往右依次为X”X2,X3,由导函数y=f(x)

的图象易得当xG(—8,Xl)IJa2,X3)时，Fa)<0；当Xe(XI,X2)U(X3,+8)时，/(χ)>()(其

oo

中X∣<0<X2<X3),所以函数贝X)在(一8,χl),(X2,X3)上单调递减，在(X1,X2),(孙+)±

单调递增，观察各选项，只有D选项符合.

X

5.(2020・衡水调研)已知函数yU)=2M(e)lnx-F则#x)的极大值点为()

ʌɪB.lC.eD.2e

e

答案D

解析因为段)=2呢e)lnx-；,所以/⑴=一--ɪ所以/⑹=一一T=Me)一

C√VVCC

ɪ

e,

121

因此/(e)=g,所以/U)=嚏一｝

由了(X)>0,得04<2e;

由/(x)<0,得x>2e.

所以函数./U)在(O,2e)上单调递增，在(2e,+8)上单调递减，因此兀V)的极大值点为χ=2e.

“2

6.(2021•青岛检测)若y=x++(α>O)在[2,+8)上是增函数，则。的取值范围是.

答案(0,2]

2

解析由V=I—320,得xW—α或x24.

*

.∙.y=x+q∙的单调递增区间为(-8,-a],[a,+∞).

：函数在[2,+8)上单调递增，

.∙.[2,+∞)cμ,+∞),.∙.a≤2.

又α>0,.,.0<α≤2.

第1课时利用导数研究函数的单调性

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一不含参函数的单调性自主演练

1.函数y(x)=x2-2InX的递减区间是()

A.(0,1)B.(l,+∞)

C.(-8,1)D.(-L1)

答案A

.....22(x+1)(χ-1)

解λπ析r∙f(x)-2x—^(x>0),

二当XG(0,1)时，/(x)<0,火X)为减函数；

当XG(1,+8)时，/(χ)>0,%)为增函数.

2.函数y(x)=(x—3)e'的递增区间是()

A.(-∞,2)B.(0,3)

C.(l,4)D.(2,+∞)

答案D

解析/(x)=(X-3)3+(x—3)(e»=(X—2)eλ,

令/(x)>0,解得x>2,故选D.

3.已知定义在区间(一兀，π)上的函数1X)=XSinX+cosX,则KX)的递增区间是.

答案(一兀，和(0，?

解析了(x)=SinX+xcosX-sinX=XcosX.

令了(X)=XCoSX>0,

感悟升华确定函数单调区间的步骤:

(1)确定函数兀V)的定义域；

⑵求/(x);

(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式/(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

考点二讨论含参函数的单调性师生共研

【例1】已知函数/(x)=//一(α+l)x+lnx,a>0,试讨论函数y=7(x)的单调性.

解函数yu)的定义域为(0,+∞),

,1ax2—(α÷l)Λ÷1

/(x)=αχ-(α+l)+-=

X

(OV-1)(χ-1)

X

①当Oea<1时，］>1,

.∙.x∈(0,1)和e，+8)时，/(χ)>0;

Xe(1，£)时，∕ω<o,

.∙.函数次X)在(0,1)和弓，+8)上单调递增，在0,O上单调递减;

②当。=1时，(=1,

/(x)20在(0,+8)上恒成立,

.∙.函数式X)在(0,+8)上单调递增；

③当«>1时，θ[<l,

.∙.XG(O,O和(1,+8)时，F(X)>0；

XGQ，1)时，∕ω<o,

.∙.函数人x)在(0,0和(1,+8)上单调递增，在弓，1)上单调递减.

综上，当0<α<l时，函数T(X)在(0,1)和+8)上单调递增，在(1,9上单调递减；

当α=ι时，函数y(x)在(0,+8)上单调递增；

当α>l时，函数人X)在(0,和(1,+8)上单调递增，在弓，1)上单调递减.

感悟升华1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨

论.

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断

点.

2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如/(X)=Λ3,/(X)=3X220(ZFa)=O在X=O时

取到)，7U)在R上是增函数.

【训练1】已知函数危)=0r+lnx3∈R),求段)的单调区间.

解由已知得了a)=a+/='"：l(x>0),

①当时，由于无>0,故Or+l>0,∕Q)>0,

所以兀V)的单调递增区间(O,+∞).

②当α<0时，令/(X)=0,得X=—［

在区间(0,一十)上，∕W>0,在区间(一5，+8)上，/(χ)<0,

所以函数Ar)的单调递增区间为(0,-ɪ),单调递减区间为(一5，+∞).

考点三根据函数单调性求参数典例迁移

【例2】(经典母题)已知X=I是y(x)=2x+g+lnx的一个极值点.

(1)求函数7U)的单调递减区间;

(2)设函数g(x)=∕(x)———,若函数g(x)在区间［1,2］内单调递增，求实数α的取值范围.

解(Iy(X)=2x+g+Inx,定义域为(O,+∞).

.J(x)=2-料=2x1+χ-b

~j?

因为X=I是yζx)=2x+g+lnx的一个极值点,

所以/(1)=0,即2—6+1=0.

解得6=3,经检验，适合题意，所以6=3.

所以/(Λ)=2-4+^=2x^^f3,

令/(x)<0,得O<x<l.

所以函数7U)的单调递减区间为(O,1).

(2)⅞(x)=∕x)~^~=2r+Inx—f(x>O),

/(x)=2+:+g(x>0).

因为函数g(x)在口，2］上单调递增，

所以g(x)>0在U，2］上恒成立,

即2+∕+g>0在U，2］上恒成立，

所以a2一Zv2-X在［1,2］上恒成立，

所以〃2(—2χ2-x)max,X£［1,2］.

因为在［1,2］上，(一2%2—X)max=—3,所以。2一3.

所以实数。的取值范围是［—3,+8).

【迁移1】本例(2)中，若函数g(x)在区间［1,2］上单调递减，求实数。的取值范围.

解依题意g'(x)=2+f+$在［1,2］上满足/(x)W0恒成立，

・、当χW［l,2］时，i∕≤—2x2—X恒成立，

又f=-2x2-x=-2@+{)+∣,Λ∈［1,2］是减函数，二当X=2时，f=-2f—X取得最小

值一10.

所以αW-10,即实数〃的取值范围为(-8,-10］.

【迁移2】在本例(2)中，若函数g(x)在区间［I,2］上不单调，求实数”的取值范围.

解：函数g(x)在区间［1,2］上不单调，

.∙.g∙(Q=O在区间(1,2)内有解，

2

则a=-2x2-X=—2(/+/+［在(1,2)内有解，

易知该函数在(1,2)上是减函数，

α=—2X2一X的值域为(-10,—3),

因此实数α的取值范围为(-10,-3).

感悟升华1.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件/(x)20(或了(X)W0),x∈

(a,切恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取

值是/(x)不恒等于O的参数的范围.(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值

与函数最值之间的关系.

2.若函数)，=∕(x)在区间优，加上不单调，则转化为/(x)=0在(a,6)上有解.

考点四与导数有关的函数单调性的应用多维探究

角度1比较大小

［例3］已知y=兀r)是定义在R上的奇函数，且当x<0时不等式於)+J∕(X)<O成立，若a

=3°∙3用呼，⅛=ιogπ3.y(logπ3),c=log3∣∙y(log3∣),则”，h,C的大小关系是()

∖.a>b>cD.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

答案D

解析设g(x)=9X),则g，(X)=%)+4(X),

又当x<0时，yu)+√(x)<θ,

.∙.x<0时，g'(x)<0,g(x)在(一8,0)上单调递减.

由y=∕α)在R上为奇函数，

知g(x)在R上为偶函数，

；.g(x)在(0,+8)上是增函数,

c=g(log3*gD=g(2),

03

又O<logπ3<l<3∙<√3<2,

.∙.g(log"3)<g(3°∙3)<g(2),即b<a<c.

角度2解不等式

P(r)

【例4】已知y(x)在R上是奇函数，且/(x)为火x)的导函数，对任意XCR,均有段),E2

成立，若人一2)=2,则不等式1x)>—2Ll的解集为()

A.(-2,+∞)B.(2,+∞)

C.(-∞,-2)D.(-8,2)

答案D

f(X)

解析ω-ln2∙Λx)<0.

人f(x)r,,f(x)—f7(x)In2

令g(x)-2∙r>则g'(x)='2>

.'.g'(x)<0,则g(x)在(-8,+8)上是减函数.

由八-2)=2,且於)在R上是奇函数，

/(2)1

得犬2)=—2,则r11且(2)=道一=一手

又J(X)>—2,I。2、>_/=g(2),即g(x)>g(2),

所以x<2.

感悟升华1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问

题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.

2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在/(x)与/(x)

的不等关系时，常构造含./U)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导

数研究新函数的单调性，从而求解不等式.

【训练2】(1)函数40在定义域R内可导,若式的=火2—X),且当x∈(—8,1)时,(X—

设α=A0)，匕=„，c=fi,3),贝∣J()

A.a<h<cB.c<h<a

C.c<a<hD.h<c<a

(2)(2021•西安模拟)定义在R上的函数九丫)的导函数为/(x),若对任意实数X,都有兀v)y(x),

且火x)+2021为奇函数，则不等式TU)+2021e'<0的解集为()

A.(—8,0)B.(0,÷∞)

H-8,ɪ)D.&+∞)

答案(I)C(2)B

解析(1)由题意得，当χ<ι时，/(χ)>o,y(x)在(-8,1)上为增函数.

又述3)=/(—1)，且一l<0<∣<l,

因此有式一1)勺(0)勺Q),

则有人3)勺¢0)勺Q),即c<α<b.

⑵由题意，构造新函数g(x)iA，则gu)=£I)J⑴,

因为犬x)5√z(x),所以g'(x)<O,所以函数g(x)在R上单调递减.

因为火x)+202l为定义在R上的奇函数，所以人0)+2021=0,

所以<0)=-2021,则g(0)=-2021,

所以不等式,∕U)+2021ev<0等价于g(x)<g(O),所以x>0,

所以不等式兀v)+2021e∙y0的解集为(O,+∞).

拓展视野/以“函数凹凸性”为背景的导数问题

一般地，函数«0的定义域为R,若VX1,及GR(Xl≠∙A⅛),都曾，*)SS)-W/t"),

则y(x)为凸函数，其图象向上凸出；若VXI,Λ2∈R(-t∣≠X2),都[(Xl)¥("2)

则火X)为凹函数，其图象向下凸出.

【典例】(2021•昆明诊断)丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别

是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数人处在3,加上的导函数为

/(x),/(x)在3，力上的导函数为广(x),若在(a,勿上广(x)<0恒成立，则称函数段)在(a,b)

上为''严格凸函数”.已知,KX)=e'—Mnx—枭2在(1,4)上为“严格凸函数”，则实数机的取

值范围是()

A.(—8,2e—IJB.[e-1,+∞)

c[eJ],+8)D.(e,+∞)

答案C

解析因为TU)=eʌ-XlnX-^X2,

所以/(x)=e"-Inx—1—mx,

所以f'(x)-ex-^-∣n.

因为犬x)=e*-XlnX一卷2在(1,4)上为“严格凸函数”，

所以广(X)=e*-J—胆CO在(1,4)上恒成立，

即m>e*—]在(1,4)上恒成立.

令g(x)=ejc-1,x∈(l,4),所以g(x)=e*+5>O,

所以g(x)在(1,4)上单调递增，所以⅛(x)<e4-

所以w>e4-1,

即实数，*的取值范围是卜4一/，+8)

思维升华1月*)=­一而%一经2在(],4)上为“严格凸函数”，等价于r(X)CO在(1,4)上恒

成立，利用分离参数法即可得加的取值范围.

2.本题是以函数的凹凸性为背景考查函数的二阶导数的符号的问题，考查了直观想象、逻辑

推理和数学运算核心素养.破解本题的关键是明确严格凸函数的定义，求出所给函数的二阶

导数，判断其是否在给定的区间上恒为负值.

【训I练】(2021•河南名校联考)设F(X)是函数段)的导函数,若/(x)>0,且VXI,x2eR(x1≠x2),

人为)+兀9<染要)，则下列选项中不一定正确的是()

A.∕2)-√(e)<∕(π)B.∕(π)<f(e)<f(2)

C.Λ2)W)-∕(3)<Λ3)D∕(3)<Λ3)-Λ2)<f(2)

答案C

解析因为/(x)>0,所以4X)在R上单调递增.

Vx∣,X2≡R(XlrX2),

献(为)+f(X2)∕xi+4

所以y=7(x)的图象是向上凸起的，大致图象如图所示.

由图可知7(2)<√(e)<√(π),故A项正确.

因为/(x)反映了函数T(X)图象上各点处的切线的斜率，

由图可知，随着X的增大，穴X)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，

所以/(π)<√,(e)√(2),故B项正确•

因为∕3)-Λ2)J-3工----表示点42,12))与8(3,犬3))连线所在直线的斜率kAB,所

以结合图可知/(3)<kA8<y(2),故D正确.

显然只有12)<∕(2)一/(3)勺(3)无法判断正误.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.函数尸於)的图象如图所示，贝IJy=Λx)的图象可能是()

答案D

解析由函数的图象可知，>U)在(-8,0)上单调递增，yu)在(0,+8)上单调递减，所

以在(一8,0)上，/(x)>0;在(O,+∞)±,/(χ)<o,选项D满足.

2.函数7U)=3+xlnx的单调递减区间是()

AGJB(O,以C.(—8,)D4，+8)

答案B

解析因为函数Ar)的定义域为(0,+8),且/(χ)=Inx+x[=lnx+l,令/(x)<0,解得

故HX)的单调递减区间是(0,{).

3.设函数兀V)=%—9InX在区间[a—1,q+1]上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(l,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]

答案A

、,9

解析易知人。的定义域为(O,+°o),且/(R)=X-1.

9

又心>0,由/(x)=x—嚏WO,得0<rW3.

因为函数/U)在区间[〃-1,。+1]上单调递减，

所叱a+-1>E0,解得S

4.已知贝X)是定义在区间(0,+8)内的函数，其导函数为/(χ),且不等式4(x)<4(x)恒成立,

则()

A.4AD<∕(2)B.4Λ1)>Λ2)

C∙ΛD<4∕(2)D.ΛD>4∕,(2)

答案B

解析设函数g(x)=£?-(x>0),

x1f(X)—2xf(x)xf(x)—2f(x)

贝rllJIgf(χ)=----------^r1--------=----------------------<o,

所以函数g(x)在(0,+8)上为减函数,因此g(l)>g(2),

f(1)f(2)…

艮吃所以4/⑴42).

5.已知函数/(x)=53—4x+2e'-2e其中e为自然对数的底数，若人。-1)+/(2/)・0,则

实数〃的取值范围是()

A.(-°0,—1]B.[；,+8)

c.(-l,2)D.[-l,2_

答案D

解析/(x)=x2-4÷2e'÷2ejr>x2-4+2∖∣4ex-e'—x1,.∖∕(x)在R上是增函数.

又贝一X)=—$+4x+2er-2e*=-AX),知«r)为奇函数.

故火“-l)+√(2.2)W0钝/3—l)OA-2∕),

.'.a—1≤-2«2,解之得一1WaWW

6.若函数e%)(e=2.71828…是自然对数的底数)在兀V)的定义域上单调递增，则称函数段)

具有M性质.下列函数中具有M性质的是()

AT(X)=2)BKX)=Λ2

C.fi‹x)=3~xD.∕x)=cosx

答案A

解析设函数g(x)=e*√(x),

X

对于A,g(x)=e'：2r=e),在定义域R上为增函数，A正确.

对于B,g(x)=e'∙Λ2,则g<x)=X(X+2)e*,由g<x)>0得x<—2或x>0,；.g(x)在定义域R上

不是增函数，B不正确.

X

对于C,g(x)=eX∙3r=d)在定义域R上是减函数，C不正确.

对于D,g(x)=ev∙cosX,则g，(X)=也e'cosQ+g),g，(X)>0在定义域R上不恒成立，D不正

确.

二、填空题

7.已知“为实数，|X)="3+3x+2,若/(-1)=一3,则函数/(x)的单调递增区间为.

答案(一坐坐)

解析/(χ)=av3+3x+2,贝《/(X)=30x2+3,

又/(—l)=3cι+3=—3,解得。=—2,

，，(幻=-6Λ2+3,由/(x)>0,解得—孚

故y(x)的单调递增区间为(一半，阴.

8.(2020•东北三省三校调研)若函数兀v)=2√—InX在其定义域的一个子区间(&-1,上+1)内不

是单调函数，则实数k的取值范围是.

答案[1，§

41(2x—1)(2x+1)

解析/(x)=4χ--=---------------------------U>0),

令/(x)>0,得

令/(x)<0,得0<r<∣∙

k—120,

依题意，{1,解之得1WM2

k—1<2<⅛+1,Z

9.设兀0是定义在R上的奇函数，42)=0,当QO时，有MU)?-)<o恒成立,则不等

式Λ2∕(X)>0的解集是.

答案(一8,-2)U(0,2)

,.ʌf(X)

a解t析xγ令φ{x)=--~,

[f(X)"IX∙f(X)—f(X)

∙.∙当x>0时，卜丁」'=1^------k--------<0>

.∙.0(x)='(;'在(0,+8)上为减函数，

又42)=0,即矶2)=0,

在(0,+∞)±,当且仅当Oa<2时，9(x)>0,

此时Λ¾x)>0.又Ax)为奇函数，.∙.∕7(x)=χ2/(X)也为奇函数，由数形结合知xG(—8,—2)时，

Λχ)>o.

故X2∕U)>O的解集为(-8,-2)U(0,2).

三、解答题

10.已知函数y(x)=一丁一(k为常数)，曲线y=Aχ)在点(1,./U))处的切线与X轴平行.

(1)求实数”的值；

⑵求函数KX)的单调区间.

ɪ-Inx-k

解(iyω≈-~G—(A∙>O).

1—k

又由题意知了(D=一^——0»所以z=ι.

ɪ-Inx-1

(2)由(1)知，f(x)=­£—(Λ>0).

设∕j(x)=--InX—1(%>0),

则⅛,(Λ)=-Λ-^<O,

所以/?(x)在(0,+8)上单调递减.

由/7(1)=0知，当0<x<I时，Λ(x)>O,所以/(x)>0;

当x>l时，A(x)<O,所以/(x)<0.

综上4r)的单调增区间是(0,1),减区间为(1,+∞).

11.已知函数,/U)=*v2—24InX+(α—2)x.

(1)当a=—1时，求函数./U)的单调区间；

(2)是否存在实数”,使函数g(x)=∕(x)—依在(0,+8)上单调递增？若存在，求出。的取值

范围；若不存在，说明理由.

解(1)当a=-l时，y(x)=pr÷21nχ-3x9

2-

m.z,.2Λ3x+2

则/(ɪ)=x+：-3=------------

当0<x<l或x>2时,/(x)>0,«r)单调递增；

当l<x<2时，/(x)<0,7U)单调递减.

所以7U)的单调增区间为(0,1)和(2,+∞),单调减区间为(1,2).

(