新教材数学人教A版作业第三章函数的概念与性质综合测试

第三章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(1,x)的定义域是(C)A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R[解析]要使函数有定义，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0,x≠0))，解得x≥－1且x≠0，故选C．2．下列函数中，与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是(B)A．y＝eq\r(x2) B．y＝(eq\r(x))2C．y＝eq\r(3,x3) D．y＝eq\r(\f(x2,x))[解析]A、C、D选项中函数的定义域与题目中的定义域不同，故不是同一个函数．3．(2021·山东烟台高一期中测试)已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：x－3－2－101234y32100－1－2－3则f[f(4)]＝(D)A．－1 B．－2C．－3 D．3[解析]由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，eq\f(1,2))，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间[eq\f(1,2)，1]上的最小值是(C)A．－1 B．－2C．－3 D．－4[解析]由已知得2α＝eq\f(1,2)，解得α＝－1，∴g(x)＝eq\f(x－2,x)＝1－eq\f(2,x)在区间[eq\f(1,2)，1]上单调递增，则g(x)min＝g(eq\f(1,2))＝－3，故选C．5．已知函数f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若f(－3)＝－2，则不等式f(x)≥－2的解集为(B)A．[－3，0] B．[－3，3]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)[解析]f(x)为偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝－2，所以f(x)≥－2的解集为[－3，3]．6．(2021·全国高考甲卷文科)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f(－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3)，则f(eq\f(5,3))＝(C)A．－eq\f(5,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(5,3)[解析]由题意可得：f(eq\f(5,3))＝f(1＋eq\f(2,3))＝f(－eq\f(2,3))＝－f(eq\f(2,3))，而f(eq\f(2,3))＝f(1－eq\f(1,3))＝f(eq\f(1,3))＝－f(－eq\f(1,3))，故f(eq\f(5,3))＝eq\f(1,3).故选C．7．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，则满足f(1－2x)－f(－eq\f(1,3))>0的x的范围是(A)A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3)) B．[eq\f(1,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,2)，eq\f(2,3)) D．[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))[解析]由题意可知，f(x)在(－∞，0]上为增函数，又f(x)为偶函数，故f(x)在(0，＋∞)上为减函数，由f(1－2x)>f(－eq\f(1,3))可得－eq\f(1,3)<1－2x<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).故选A．8．函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图(1)所示，函数g(x)的定义域为[－2，2]，图象如图(2)所示，方程f[g(x)]＝0有m个实数根，方程g[f(x)]＝0有n个实数根，则m＋n＝(C)A．6 B．8C．10 D．12[解析]f[g(x)]＝0，令t＝g(x)，则t1＝－1，t2＝0，t3＝1，令g(x)＝－1，x有2个根；令g(x)＝0，x有3个根，令g(x)＝1，x有2个根，∴f[g(x)]＝0共有7个根．g[f(x)]＝0，令f(x)＝t，g(t)＝0，则t＝0，即f(x)＝0，x有3个值，所以m＋n＝10.故选C．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．关于函数f(x)＝eq\r(－x2＋2x＋3)的结论正确的是(CD)A．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞)B．单调增区间是(－∞，1]C．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]D．单调增区间是[－1，1][解析]要使函数有定义，则－x2＋2x＋3≥0，即(x－3)(x＋1)≤0，－1≤x≤3.所以函数的定义域为[－1，3]，值域为[0，2]，在[－1，1]上单调增，故选CD．10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题中是正确命题的是(ABD)A．f(0)＝0B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x[解析]奇函数在对称的区间上单调性相反，故C错误，其余都正确．11．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x）（若f（x）≥g（x））,f（x）（若f（x）<g（x））))，则F(x)(BC)A．最小值－1 B．最大值为7－2eq\r(7)C．无最小值 D．无最大值[解析]作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选BC．12．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有(BC)A．a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能[解析]由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝eq\f(1,x3)；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x)．结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)，故BC都有可能成立．故选BC．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．(2021·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f(x)＝eq\r(4－2x)＋eq\f(1,x＋1)的定义域是{x|x≤2且x≠－1}．[解析]由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－2x≥0,x＋1≠0))，解得x≤2且x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．14．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,f（x＋1），x≤0，))则f(－eq\f(4,3))＋f(eq\f(4,3))等于4．[解析]∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,f（x＋1），x≤0，))∴f(－eq\f(4,3))＝f(－eq\f(4,3)＋1)＝f(－eq\f(1,3))＝f(－eq\f(1,3)＋1)＝f(eq\f(2,3))＝eq\f(2,3)×2＝eq\f(4,3)，f(eq\f(4,3))＝2×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，∴f(－eq\f(4,3))＋f(eq\f(4,3))＝eq\f(4,3)＋eq\f(8,3)＝4.15．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，则f(eq\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)，函数f(eq\f(1,x)－1)的定义域为(0，1]．[解析]幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，所以3＝9α，所以α＝eq\f(1,2)，所以幂函数f(x)＝eq\r(x)，故f(eq\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(1,x)－1≥0，解得0<x≤1.16．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f(x)＝x－[x]，则下列说法正确的是①②③．①f(－0.8)＝0.2；②当1≤x<2时，f(x)＝x－1；③函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1)；④函数f(x)是增函数，奇函数．[解析]①f(－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8＋1＝0.2，正确．②当1≤x<2时，f(x)＝x－[x]＝x－1.故B正确．③函数f(x)的定义域为R，f(x)＝x－[x]表示x的小数部分，所以值域为[0，1)，正确．④x＝0.5时，f(0.5)＝0.5，x＝1.5时，f(1.5)＝0.5，所以f(x)不是增函数；且f(－1.5)＝f(1.5)，所以f(x)也不是奇函数．故填①②③.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.(1)求f(m＋1)的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．[解析](1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，得a＋b＝2，2a＋b＝－1，即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.(2)f(x)在R上是减函数．证明：任取x1<x2(x1，x2∈R)，则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，因为x1<x2，所以f(x2)－f(x1)<0，即函数f(x)在R上单调递减．18．(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f[f(x)]＝9x－2.(1)求f(x)；(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值．[解析](1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，由于f[f(x)]＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝9，,kb＋b＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝1，))故f(x)＝－3x＋1.(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，当－1<a≤5时，y的最大值是f(－1)＝6，当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，综上，ymax＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6（－1<a≤5），,a2－4a＋1（a>5）.))19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为P＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋20，0<t<25，,－t＋100，25≤t≤30))(t∈N*)．设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天．[解析]设日销售金额为y元，则y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋800（0<t<25，t∈N*），,t2－140t＋4000（25≤t≤30，t∈N*）.))当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900. ①当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125. ②结合①②得ymax＝1125.因此这种商品日销售金额的最大值为1125元，且在第25天日销售金额最大．20．(本小题满分12分)函数f(x)＝eq\f(x＋a,x2＋bx＋1)是定义在[－1，1]上的奇函数．(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)的单调性；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.[解析](1)因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)＝－f(－x)，即eq\f(x＋a,x2＋bx＋1)＝－eq\f(－x＋a,x2－bx＋1)，所以a＝0，b＝0，所以f(x)＝eq\f(x,x2＋1).(2)取－1≤x1<x2≤1，则x1x2<1，f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,xeq\o\al(2,1)＋1)－eq\f(x2,xeq\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（xeq\o\al(2,1)＋1）（xeq\o\al(2,2)＋1）)<0，所以f(x)在[－1，1]上单调递增．(3)因为f(t－1)＋f(t)<0，所以f(t－1)<f(－t)．因为f(x)在[－1，1]上单调递增，所以－1≤t－1<－t≤1，解得0≤t<eq\f(1,2).所以不等式的解集为{t|0≤t<eq\f(1,2)}．21．(本小题满分12分)如果函数y＝f(x)(x∈D)满足：①f(x)在D上是单调函数；②存在闭区间[a，b]⊆D，使f(x)在区间[a，b]上的值域也是[a，b]．那么就称函数y＝f(x)为闭函数．试判断函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]；如果不是闭函数，请说明理由．[解析]设x1，x2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x1<x2，则有f(x2)－f(x1)＝(xeq\o\al(2,2)＋2x2)－(xeq\o\al(2,1)＋2x1)＝(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＋2(x2－x1)＝(x2－x1)(x1＋x2＋2)．∵－1≤x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋x2＋2>0.∴(x2－x1)(x1＋x2＋2)>0.∴f(x2)>f(x1)．∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是增函数．假设存在符合条件的区间[a，b]，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）＝a,f（b）＝b))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋2a＝a,b2＋2b＝b)).解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－1)).又∵－1≤a<b，∴eq\b\lc\{(