6.2.2组合及组合数

6.2.2组合及组合数考法一组合的判断【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长【答案】C【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合的含有三个元素的子集有多少个D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法【答案】D【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，故选：D2．（2023春·高二单元测试）（多选）下列是组合问题的是（

）A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？【答案】ABC【解析】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．故选:ABC．3．（2023·全国·高二专题练习）（多选）下面问题中，是组合问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合【答案】BCD【解析】对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，则共有种排法，是排列问题；对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题；对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题；对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题.故选：BCD.4．（2023秋·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．【答案】(1)组合问题(2)排列问题(3)组合问题(4)排列问题【解析】（1）从10名学生中任选5名去参观一个展览会，选出的学生不用排序，所以这是组合问题.（2）从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，由于坐标有横纵坐标之分，所以选出的2个不同的数需要排序，故这是排列问题.（3）从红袋和黄袋中各任取一张卡片，求这两张卡片上的数相加所得的和，因为加法满足交换律，故选出的卡片不用排序，所以这是组合问题.（4）因为四本不同的书送给四个人，要求每人一本，所以这四本书需要排序，故这是排列问题.考法二组合数的计算【例21】（2023·全国·高二随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)（4）【答案】(1)455(2)21(3)19900（4）5005【解析】（1）；（2）；（3）（4）原式＝【例22】（2023秋·高二课时练习）解关于正整数x的方程：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【解析】（1）x为正整数，由可得或，故或，解得或或或（舍去），又均为整数，且，所以或符合要求，不符合要求，故或（2）由组合数的性质可得，所以由可得，进而可得，解得或（舍去），由于，所以，故只取，舍去，【例23】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）（1）已知、为正整数，，求证：：（2）已知、为正整数，求证：；（3）、为正整数，，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1），.（2）由知，.（3）由（1）可知，时，，而，故，，故，其中.【一隅三反】1．（2022春·江苏盐城·高二滨海县五汛中学校考期中）下列四个命题中，假命题为（

）A． B．C． D．【答案】D【【解析】，A为真命题；，B为真命题；，C为真命题；，D为假命题.故选：D2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期末）计算(1)(2)【答案】(1)27(2)25【解析】（1）法一：；法二：，，，可得；（2）法一：；法二：，，，所以.3．（2023·陕西西安）解方程：(1)；(2)；(3)，求．【答案】(1)(2)(3)28【解析】（1），，由，得到：又，化简得到：所以.（2）由，即，，又，所以得到：，即所以，解得：或（舍去），所以.（3），可化为，化简为，即，所以或又，所以.4．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）解下列不等式：(1)；(2)．（3）（4）【答案】(1)(2)（3）（4）【解析】（1）由题意可得：.原方程可化为：，即，所以，所以，解得：．（2）由已知得解得，．由，即，所以，所以，解得或，所以原不等式的解集为:．（3）在不等式中，0≤m1≤8，且0≤m≤8，m∈，即有1≤m≤8，m∈，原不等式化为：，即，解得，则m=7或8，所以不等式的解集为.（4）不等式，即不等式，即，解得，又因且，所以关于的不等式的解集为.5．（2023·全国·高二专题练习）（1）求证：；（2）求证：；（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）左式，右式，所以．（2）因为，，所以左边右边．（3）构造数学模型证明：表示从个不同元素中每次取r个元素的取法种数．将个不同元素分为两组，其中A组n个元素，B组m个元素，从个不同元素中每次取r个元素，可分类完成，依次为：A组取0个，B组取r个，有种取法；A组取1个，B组取个，有种取法；……；A组取r个，B组取0个，有取法．由加法原理知共有种取法．所以．考法三组合的实际应用【例3】（2023春·广东江门·高二校考期中）（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（

）A．若任意选择三门课程，则选法总数为B．若物理和化学至少选一门，则选法总数为C．若物理和历史不能同时选，则选法总数为D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为【答案】ABD【解析】A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A选项错误.B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B选项错误.C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C选项正确.D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.所以选法总数是，所以D选项错误.故选：ABD【一隅三反】1．（2023秋·高二课时练习）（多选）某中学从4名男生和3名女生中推荐4个参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则（

）A．若选1男3女，有4种选法 B．若选2男2女，有18种选法C．若选3男1女，有12种选法 D．共有36种不同的选法【答案】ABC【解析】A选项，若选1男3女，选法数有种选法，A选项正确.B选项，若选2男2女，选法数有种选法，B选项正确.C选项，若选3男1女，选法数有种选法，C选项正确.D选项，总的选法数有种，D选项错误.故选：ABC2．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）（多选）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（

）A．若任意选科，选法总数为B．若化学必选，选法总数为C．若政治和地理至多选一门，选法总数为D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为【答案】ABC【解析】对选项A：若任意选科，选法总数为，正确；对选项B：若化学必选，选法总数为，正确；对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有种方法，政治地理都不选有种方法，故共有选法总数为，正确；对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有种，化学、生物都选有1种方法，故共有选法总数为，D错误.故选：ABC3．（2023·高二校考课时练习）扶贫结对中，5名妈妈各带一名孩子到农村帮扶和体验生活（5个孩子中有3男2女）.村委会需要安排1名妈妈带3个孩子去完成某项任务，且至少要选1个女孩，王林（男）和他的妈妈始终在一起，李台（男）和他的妈妈有且仅有一人前往.则可选的方案的种数是（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】A【解析】分三种情况考虑：（1）王林的妈妈去，此时王林和李台都去，有（种）方案.（2）李台的妈妈去，此时王林和李台都不去，有（种）方案.（3）王林的妈妈和李台的妈妈都不去，此时王林不去，李台去，有（种）方案.因此总共有种方案.故选：A.4．（2023春·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）（多选）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（

）A．不同的路径共有31条B．不同的路径共有41条C．若甲途经地，则不同的路径共有18条D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条【答案】AC【解析】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有条，故A正确、B错误；若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确；若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D错误；故选：AC.考法四分组分配【例4】（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书.（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有种不同的分配方式；（2）甲､乙､丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有种不同的分配方式；（3）平均分成三份，每份2本，有种不同的分配方式；（4）平均分配给甲､乙､丙三人，每人2本，有种不同的分配方式；（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有种不同的分配方式；（6）甲､乙､丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有种不同的分配方式；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有种不同的分配方式.【答案】603601590159030【解析】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法，再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法，剩余的是3本书，有种分配方法.所以总共有（种）分配方法.（2）在（1）的结论下，将这三份书分给甲､乙､丙三人，有（种）分配方法.（3）先从6本书中选2本，有种分配方法，再从剩余4本书中选择2本，有种分配方法，剩余的就是2本书，有种分配方法，所以共有种分配方法.但是，该过程有重复，设6本书分别为A，B，C，D，E，F，若三个步骤分别选出的是，，，则所有情况为，，，，，，则需去除重复的情况.综上，不同的分配方式共有（种）.（4）结合（3）可知，将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，分配方法的种数为.（5）先从6本书中选4本，有种分配方法，再从剩余的2本书中选1本，有种分配方法，最后还剩1本书，因为在最后2本书的选择中发生了重复，所以总共有（种）分配方法.（6）结合（5）可知，将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，则分配方法共有（种）.（7）完成该事件，分三步，甲选1本，有种选法，乙从余下的5本书中选1本，有种选法，余下的4本书留给丙，有种选法.所以总共有（种）选法.故答案为：60；360；15；90；15；90；30【一隅三反】1．（2023秋·山东临沂·高二校考阶段练习）为了保证疫情“社会面清零”，某镇医院派三名医生到不同的四个学校进行核酸检测，每个医生至少去一个学校且至多去两个学校，每个学校只安排一位医生，所有不同的分法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】B【解析】由题意知必有一位医生去两个医院，另外两个医院各去一位医生，第一步先将医院按分为三组共有种方法，第二步再把三位医生分配到三个小组去，有种分配方法，故共有种方法.故选：B2．（2023·安徽）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者，那么冰壶和短道速滑两个比赛项目的志愿者人数分别为1，3或2，2，方法数为，五个人分配到三个项目上去，可先分组再分配，5人按或分成三组，然后安排到三个项目，方法数为，因此学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为．故选：C．3．（2022秋·湖北·高三校联考期中）2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年梦想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有（

）A．1176 B．2352 C．1722 D．1302【答案】A【解析】由题可知把7名工作人员分别分为三种情况，把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有：种，把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有：种，把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式共有：种，综上，不同的安排方式共有种，故选：A．4．（2023安徽）有标号为1，2，3，4，5，6的6个小球和标号为1，2，3，4的4个盒.（1）从6个小球中选出4个放入4个盒中，每盒只放1个小球.①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数；②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数.（2）若不许空盒且将6个小球都放入4个盒中，求所有不同的放法种数.【答案】（1）①种；②种；（2）种.【解析】（1）①因为奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球，所以先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒中，有种放法；再将剩余的4个小球中的2个放入余下的2个盒中，有种放法.从而不同的放法种数为.②因为奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放一个小球，所以分两类讨论：第一类，取1个奇数号小球和3个偶数号小球放入盒中，共有种放法；第二类，取2个奇数号小球和2个偶数号小球放入盒中，共有种放法.从而不同的放法种数为.（2）由于不许空盒且将6个小球都放入盒中，所以考虑对6个小球先进行分组再放入盒中，分两类：第一类，将6个小球分成1，1，2，2四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法；第二类，将6个小球分成1，1，1，3四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法.从而所有不同的放法种数为.5.（2023新疆）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.【解析】（1）每个小球有4种方法，共有种放法；（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法；（3）9个空中插入3个板即可，种放法；（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法.考法五排列组合综合运用【例51】（2022春·河北·高二唐山一中校联考期中）从名男同学中选出人，名女同学中选出人．（此题结果用数字作答）(1)共有多少种不同的选法；(2)若把已选出的人排成一排．①若选出的名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法；②若选出的名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；③若两个男生至少有一人排在两端，共有多少种不同的排法；④指定一人为甲，一人为乙，若甲不站在排头，乙不站在排尾，共有多少种不同的排法．【答案】(1)30；(2)；；；.【解析】（1）分两步进行，先选男生有种方法，再选女生有方法，由分步计数乘法原理得种，所以不同的选法种数是30.（2）①分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的2名男生视为一个元素与其他3人的4个元素作全排列，然后排2名男生，则不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，所以选出的名男同学必须相邻，不同的排法种数是.②分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的3名女生作全排列，把2名男生插入4个空隙，不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，所以选出的名男同学不相邻，不同的排法种数是.③分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的5人作全排列，去掉两端没有男生的情况，不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，所以选两个男生至少有一人排在两端，不同的排法种数是.④分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的5人作全排列，去掉甲站在排头或乙站在排尾的情况，不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，所以甲不站在排头，乙不站在排尾，不同的排法种数是.【例52】（2023春·安徽·高二巢湖市第一中学校联考期中）（1）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？（2）记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取4条，要求至少得到2对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？【答案】（1）180；（2）207【解析】（1）若选择四种颜色，则有种不同的涂色方法；若选择三种颜色，则有种不同的涂色方法，故一共有种不同的涂色方法.（2）正方体中一共有3组，每组4条分别平行的直线，则：若4条棱中恰有2对“平行棱”，则2对分别来自不同2组，每组2条，不同的取法有种；若4条棱中恰有3对“平行棱”，则3对分别来自不同2组，一组1条，一组3条，则不同的取法有种；若4条棱中恰有6对“平行棱”，则6对均来自同一组，一组4条，则不同的取法有种.故从所有棱中任取4条，且至少得到2对“平行棱”一共有种不同的取法.【一隅三反】1．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（注：要写出算式，结果用数字表示）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，然后再将这三组小球放入三个盒子中，因此，不同的放法种数为种；（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，所以，不同的放法种数为种；（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，所以，不同的放法种数为种.2．（2023春·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？(2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：将个不同的白球和个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，只需先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.（2）解：随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，则黑球得个数可以是或或，由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种.（3）解：先将这个小球分为组，则这三组小球的个数分别为、、或、、，再将这三组小球分配给三个盒子，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.3（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？【答案】(1)576(2)264【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，第一步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种），第二步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种），所以由分步计数原理，不同的涂色方法共有（种）.（2）若用四种颜色，即，，，各涂一种颜色，与同色，与同色，所以有（种）；若用三种颜色，即第一类：与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种），第二类：与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种），第三类：与同色、、各涂一种颜色，则可以涂剩余那种颜色或与同色，可以与同色或涂剩余那种颜色，所以有（种），所以用三种颜色，有（种）；若用两种颜色，即与同色、与同色各涂一种颜色，可以涂剩余剩余两种颜色，也可以涂剩余剩余两种颜色，所以有（种）．所以由分类加法计数原理，共有（种）．一、单选题1．（2023春·江苏南通·高二校考期中）（

）A．35 B．56 C．70 D．84【答案】A【解析】,,.故选：A.2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）近期多所学校发布了2023年强基计划招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学，要报考复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，每位同学只能报考其中的一所学校，且每所学校至少有一名同学报考，则不同的报考方法共有多少种（

）A．18 B．36 C．72 D．12【答案】B【解析】由题意，将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，则不同的报考方法共有种,故选；B3．（2023春·云南保山·高二统考期中）“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（

）A．720种 B．360种 C．320种 D．288种【答案】D【解析】若四人中，没有人选择“火山热海”线路，则方法数有种.若四人中，恰有人选择“火山热海”线路，则方法数有种.所以他们报名的情况总共有种.故选：D4．（2023秋·新疆乌鲁木齐）第十四届全国人民代表大会于3月5日至13日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进.为学习贯彻会议精神，现组织4名宣讲员宣讲会议精神，分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（

）A．72 B．12 C．36 D．24【答案】C【解析】将4名宣讲员分到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，2，所以不同的分配方案共有．故选：C．5．（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）某中学举行全区教研活动，有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】10人分成三组，每组至少3人，故可分为4人,3人,3人三组，共有种，再把三组人员安排到早中晚三班，共有种，由分步乘法计数原理可得共有种.故选：B6．（2023春·湖南·高二校联考期末）“五一”假期期间，某旅游景区为加强游客的安全工作，决定增派甲、乙、丙、丁四位工作人员到、、三景点进行安全防护宣传，增派的每位工作人员必须到一个景点，且只能到一个景点做安全防护宣传，每个景点至少增派一位工作人员.因工作需要，乙不能去景点，甲和乙不能同去一个景点，则不同的安排方法数为（

）A．20 B．30 C．42 D．60【答案】A【解析】由于乙不能去景点，则乙可以去或景点，共2种，剩余的3人可以分成1，2两组或1，1，1三组两种情况，①分成1，2两组，和乙去不同的两个景点，有种，②分成1，1，1三组，去三个景点且甲和乙不能同去一个景点，有种，所以不同的安排方法数为种.故选：A.7．（2023春·山东菏泽·高二统考期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（

）A．360种 B．264种 C．192种 D．144种【答案】B【解析】如图，若4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，再给D、E、F涂色，因为D、E、F中必有一点用到第4种颜色，有种涂法，另外两点用到A、B、C三点所用颜色中的两种，有种涂法，由乘法原理得种．若只用3种颜色，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，再给D、E、F涂色，因为D点与A点不同色，有种涂法，若D点与B点同色，则F与C、D不同色，有种涂法，此时E有种涂法；若D点与C点同色，则E与B、D不同色，有种涂法，此时F有种涂法.由乘法原理得种．所以，不同的涂色方法共有种．故选：B8．（2023·全国·高二专题练习）如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（

）种A．120 B．240 C．300 D．360【答案】C【解析】依题意显然不能用少于2种颜色涂色，若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有种选法，先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1种涂法，故一共有种涂法；若利用4种不同的颜色涂色，首先选出4种颜色有种选法，根据题意，分2步进行涂色：当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有种涂色的方法；当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，故共有种涂色的方法；综上可得一共有种涂法；故选：C多选题9．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则()A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法B．某学生从中选5门，共有6种选法C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法【答案】BCD【解析】先把课程“射”“御”排在前两周共种，再排其他四门共，所以共种排法，故A错误；6门中选5门共有种，故B正确；课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确.故选：BCD.10（2023春·河北邢台·高二统考阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行．甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（

）A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案B．若每个比赛区至少安排1人，则有480种不同的方案C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】ACD【解析】由题意，先选两人到短道速滑赛区有种排法，其余各安排1人有种排法，则有种不同的方案，故A正确；若每个比赛区至少安排1人，则有种不同的方案，故B不正确；题意，先将甲、乙捆绑在一起有排法，再与除了甲、乙以外的3个人排列有种排法，则有种不同的站法，故C正确；先排前排，由种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有种，则有种，故D正确．故选：ACD.11．（2023春·重庆·高二校联考期中）距离高考不到1天时，国家教育部发布了《中国高考报告》，年的高考对各科都有重大的调整，为让高二的学生各科的调整有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的位该学科的骨干教师进行“中国高考报告”的相应学科讲座，每天一科，连续天.则下列结论正确的是（

）A．从五位教师中选两位的不同选法共有种B．数学不排在第一天的不同排法共有种C．数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有种D．物理要排在化学的前面（可以不相邻）的排法共有种【答案】BC【解析】对于A选项，从五位教师中选两位的不同选法共有种，A错；对于B选项，数学不排在第一天，则数学有种排法，其他门学科全排即可，所以，不同的排法种数为种，B对；对于C选项，数学、英语、语文排在都不相邻的三天，则这三门学科分别排在第一、三、五天，所以，不同的排法种数为种，C对；对于D选项，物理要排在化学的前面（可以不相邻）的排法种数为种，D错.故选：BC.12．（2023春·浙江嘉兴·高二校联考期中）要从候选的位男同学、位女同学中选出位同学站成一排主持“庆祝‘五四’青年节”文艺汇演，要求至少要有位男同学，若两位男生均被选上，则这两位男同学站位不能相邻，那么（

）A．若位男同学同时被选中，则不同的站位方式有种B．若位男同学中恰有一位被选中，则不同的站位方式有种C．若女同学乙不能站两边，则不同的站位方式有种D．若男同学甲必须被选中，则不同的站位方式有种【答案】AD【解析】对于A选项，若位男同学同时被选中，且这两位男同学站位不能相邻，只需从位女同学中选出位女同学，先排女同学的位置，然后将位男同学插入位女同学所形成的个空位中的个空位，所以，不同的站位方式种数为种，A对；对于B选项，若位男同学中恰有一位被选中，则只需从位女同学中选出位女同学，然后将选出的位同学排序即可，则不同的站位方式种数为种，B错；对于C选项，若只有一位男同学被选中，女同学乙未被选中，则不同的站位方式种数为种，若只有一位男同学被选中，女同学乙被选中，则女同学乙只能站中间，不同的站位方式种数为种，若两位男同学都被选中，女同学乙未被选中，则需从除乙以外的位女同学中选择位，然后将位男同学插入位女同学所形成的个空位中的个空位，则不同的站位方式种数为种，若两位男同学都被选中，女同学乙被选中，则女同学乙只能站中间，则还需选择位女同学，则不同的站位方式种数为种，综上所述，不同的站位方式种数为种，C错；对于D选项，若男同学甲必须被选中，另一位男同学未被选中，则只需从位女同学中选出位女同学，则不同的站位方式种数为种，若两位男同学都被选中，由A选项可知，不同的站位方式种数为种，综上所述，不同的站位方式种数为种，D对.故选：AD.三、填空题13．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有2个阴爻，则该重卦可以有种．【答案】15【解析】根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，假设有6个位置，在其中任选2个，安排两个“阴爻”，有种情况，即该重卦可以有15种情况.故答案为：15．14．（2023春·福建福州·高二校联考期末）平潭城关中学校团委准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为．【答案】/0.6【解析】从3名男生和2名女生中随机选取两人，基本事件总数，两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是．故答案为:．15．（2024·江西·校联考模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有种.（用数字作答）【答案】【解析】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，则有种情况；故不同的排课方法共有种情况.故答案为：.16．（2022春·北京大兴·高二统考期中）在涂色本的某页上画有排成一行的6条未涂色的鱼，小明用红､蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色.有如下结论：①若恰有2条鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有15种；②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有10种；③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，则不同的涂色方法有63种.则正确结论的序号是.【答案】①②【解析】①若恰有2条鱼被涂成了红色，则剩余4条鱼被涂成了蓝色，共有种涂色方法，故①正确；②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，可从①中减掉相邻的鱼被涂成红色的情况种数，共有种方法；故②正确；③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，当红色用1次，有6种涂色方法，当红色用2次，有种涂色方法，当红色用3次，有种涂色方法，当红色用4次，有种涂色方法，当红色用5次，有6种涂色方法，共有6+15+20+15+6=62种方法，故③错误.故答案为：①②.四．解答题17．（2022春·北京·高二校考期中）从4名男生和3名女生中各选2人，(1)共有多少种不同的选法？(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）【答案】(1)18(2)15(3)84【解析】（1）根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，男生有种选法，女生有种选法，故选法有种；（2）根据题意，分3种情况讨论：男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种．男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种，男生甲和女生乙被选中，有种，则共有种选法.（3）男生甲和女生乙同时被选中的选法为种，4人参加百米接力赛的总安排方法为种，甲跑第一棒的安排方法为种，乙跑最后一棒的安排方法为种，甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种，甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．18．（2023春·天津河西·高二统考期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．(1)共有多少种不同的报名方法？(2)甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？(3)甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？(4)每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？(5)甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）解：每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为.（2）解：甲必须报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择，所以，不同的报名方法种数为.（3）解：甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为，丙不报项目，则丙有种选择，所以，丁有种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.（4）解：将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为、、，然后再将这三组同学分配给、、三个智力竞赛项目，所以，不同的报名方法种数为.（5）解：分两种情况讨论：①项目没人报，且、项目的报名人数均为，此时不同的报名方法种数为种；②项目有人报，且甲不报项目，、项目报名的人数相同，则、项目报名的人数均为，则甲报项目或项目，则报名项目的有人，剩余个项目只有一人报名，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.综上所述，不同的报名方法种数为.19（2023春·河北衡水·高二校考期中）（1）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个不同形状的精美盒子选择，问一共有多少种包装方法？（2）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个不同形状的精美盒子选择，每个盒子至少有一件装饰品，问一共有多少种包装方法？（3）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子选择，