广东省汕尾市2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学

2024年普通高中高三级教学质量测试数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A． B．C． D．且2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（）A． B． C． D．3．设，，，则（）A． B． C． D．4．从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（）A．30万元 B．35.2万元 C．40.4万元 D．42.3万元5．已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．6．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．已知在中，，，，则的九点圆的半径为（）A． B． C． D．7．已知两圆锥的底面积分别为，，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（）A． B． C．4 D．58．函数的所有零点之和为（）A．－2 B．－1 C．1 D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．x12345y2110a15a90109根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（）A．样本相关系数在内 B．当时，残差为－2C．点一定在经验回归直线上 D．第6天到该医院就诊人数的预测值为13010．已知函数及其导函数的定义域均为R，若是不恒为0的奇函数，则（）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数11．已知函数的图象过点，，其部分图象如图所示，则（）A．B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递增D．将的图象向右平移个单位后所得图象关于原点对称12．已知抛物线的焦点为，经过点的直线l与C交于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切线交于点P，D为AB的中点，直线PD交C于点E，则（）A．点P在直线上 B．E是PD的中点C． D．轴三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，则______．14．在二项式的展开式中，若常数项恰是所有奇数项的二项式系数之和的5倍，则实数a的值为______．（用数字作答）15．若双曲线的同一支上存在两点A，B，使得（O为原点）为等边三角形，则称双曲线为“优美双曲线”，已知双曲线C是“优美双曲线”，则C的离心率的取值范围是______．16．如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知数列为等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，，，，点E满足．（1）证明：平面平面ABCD；（2）求直线DE与平面PAB所成角的正弦值．19．（12分）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图：（1）估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．（ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望；（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．20．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知．（1）求；（2）若，D为BC的中点，，求a的值．21．（12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为，试问是否存在最大值？若存在，求当取最大值时，直线AM，BN的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数，其中．（1）当时，证明：；（2）若对任意，都有，求k的取值范围．2024年普通高中高三级教学质量测试答案及评分标准（参考）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案BACAADBD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。题号9101112答案ADACDBCBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．415．16．四、解答题：本题共6小题，共70分。17．（10分）（1）解：设等差数列的公差为d，因为，所以，所以，所以．（2）证明：因为，所以．18．（12分）（1）证明：在中，由余弦定理得，所以，所以．又，平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC．又平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）解：过点A在平面PAC内作垂直于AC的直线AZ，由（1）可得平面ABCD，以点A为原点，AB，AC，AZ所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，所以．设平面PAB的一个法向量为，由得取，则，，所以是平面PAB的一个法向量设直线DE与平面PAB所成角为，则．故直线DE与平面PAB所成角的正弦值为．19．（12分）解：（1）该班同学的平均进球个数．（2）由题意可知进球个数在，，内的频率分别为0.16，0.32，0.16，频率比为，所以抽取的8人中，进球个数在，，内的人数分别为2，4，2．（ⅰ）由题意可知，，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列为X0123P所以．（ⅱ）记事件“抽取的3人的进球个数不全在同一区间”，事件“抽取的这3人的进球个数在不同区间”，则，，所以，即这3个人的进球个数在不同区间的概率为．20．（12分）解：（1）由题意得，即，所以，即．由正弦定理得，即，所以，即，所以．（2）由已知及正弦定理得，由（1）得，所以，解得．又D为BC的中点，所以，所以，所以，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得，解得．21．（12分）解：（1）由题意得解得所以椭圆C的方程为．（2）存在最大值，当取最大值时，直线AM的方程为，BN的方程为，理由如下：由（1）可得，，由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，联立，得，所以，，，所以．又，所以，可知或．若取最大值，则，此时．此时，当且仅当，即，时等号成立，此时直线AM的方程为，即，直线BN的方程为，即．22．（12分）（1）证明：当时