高中数学人教A版选修1-2测评2-2-2反证法

第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课后篇巩固提升基础巩固1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用()①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论.A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④解析除原结论不能作为推理条件外,其余均可.答案C2.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确;(2)的假设错误D.(1)的假设错误;(2)的假设正确解析“≤”的反面是“>”,故(1)错误.“两根的绝对值都小于1”的反面是“至少有一个根的绝对值大于或等于1”,故(2)正确.答案D3.设a,b,c,d大于0,则4个数ab,bcA.至多有一个不大于1 B.都大于1C.至少有一个不大于1 D.都小于1解析由a=1,b=2,c=4,d=4可判断A,B,D错误;假设4个数ab,bc,cd,da的值都大于1,因为a,b,c,d大于0,所以a>b,b>c,c>d,d>a,而a>b,b>c,c>d⇒a>d,与d>a相矛盾,假设不成立,故答案C4.用反证法证明“至少存在一个实数x,使log3x>0成立”时,假设正确的是()A.至少存在两个实数x,使log3x>0成立B.至多存在一个实数x,使log3x>0成立C.任意实数x,log3x>0恒成立D.不存在实数x,使log3x>0成立解析根据反证法的原理,“至少存在一个实数”的反面是“不存在实数x”,故假设“不存在实数x,使log3x>0成立”.故选D.答案D5.将“函数f(x)=4x22(p2)x2p2p+1在区间[1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)>0”反设,所得命题为“”.

解析“至少存在一个”反面是“不存在”.答案函数f(x)=4x22(p2)x2p2p+1在区间[1,1]上恒小于等于06.“x=0,且y=0”的否定形式为.

解析“p且q”的否定形式为“p或q”.答案x≠0或y≠07.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,p=(a11)+(a22)+…+(a77),求证:p为偶数.证明:假设p为奇数,则均为奇数.

因为7个奇数之和为奇数,故有(a11)+(a22)+…+(a77)为.①

而(a11)+(a22)+…+(a77)=(a1+a2+…+a7)(1+2+…+7)=.②

①与②矛盾,故假设不成立,故p为偶数.解析由假设p为奇数,可知a11,a22,…,a77均为奇数,故(a11)+(a22)+…+(a77)为奇数,而(a11)+(a22)+…+(a77)=(a1+a2+…+a7)(1+2+…+7)=0,矛盾,故假设不成立,故p为偶数.答案a11,a22,…,a77奇数08.已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)24ac≤0,且Δ2=(2c)24ab≤0,且Δ3=(2a)24bc≤0.同向不等式求和得4b2+4c2+4a24ac4ab4bc≤0,∴2a2+2b2+2c22ab2bc2ac≤0.∴(ab)2+(bc)2+(ac)2≤0.∴a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命题得证.9.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.证明假设ME与BN共面,则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN∩平面DCEF=EN.由已知两正方形不共面,得AB⊄平面DCEF.又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立,所以ME与BN不共面,即直线ME与BN是两条异面直线.能力提升1.已知x1,x2,x3,…,x2019均为正实数,且11+x1+11+x2+11+x3+…+11+x2019=1,有下列四个说法:①最多有一个xi(i∈(1,2,3,…,2019))小于1;②最多有两个xi(i∈(1,2,3,…,2019))小于2;③至少有一个xi(i∈(1,2,3,…,2019))不小于2019;④至少有一个A.1 B.2 C.3 D.4解析不妨设x1≤x2≤…≤x2019,故11+x1+11+x2+11+x3+…+11+x2019对于①,若存在xi,xj(i≠j),它们均小于1,则11+x这与11+x1+11+x2+11+x对于②,若存在xi,xj,xk(i<j<k),它们均小于2,则11+xi+11+这也与11+x1+11+x2+11+x对于③,取xi=2018(i=1,2,…,2019),则11+x1+11+x2+1故选C.答案C2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分:假设和两类.

解析反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的对立面就是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.答案∠BAP=∠CAP∠BAP>∠CAP3.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).

解析若a=12,b=23,则a+b>1,但a<1,b<1,故①若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=2,b=3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=2,b=3,则ab>1,故⑤推不出;若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.用反证法证明③:假设a≤1,且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故答案为③.答案③4.已知m是整数,且m2+6m是偶数,求证:m不是奇数.证明假设m是奇数,不妨设m=2k1(k∈Z),则m2+6m=(2k1)2+6(2k1)=4k2+8k5=4(k2+2k)5,因为k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k)5为奇数,即m2+6m是奇数,这与已知条件中的m2+6m是偶数相矛盾,因此假设错误,即m不是奇数.5.已知直线m与直线a和b分别交于A,B,且a∥b.求证:过a,b,m有且只有一个平面.证明如图所示,因为a∥b,所以过a,b有一个平面α,又m∩a=A,m∩b=B,所以A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.又A∈m,B∈m,所以m⊂α.即过a,b,m有一个平面α.假设过a,b,m还有一个平面β异于平面α,则a⊂α,b⊂α,a⊂β,b⊂β,这与a∥b,过a,b有且只有一个平面相矛盾.因此,过a,b,m有且只有一个平面.6.设{an}是公比为q的等比数列.(1)推导{an}的前n项和公式;(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.(1)解设{an}的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn1,①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②①②得,(1q)Sn=a1a1qn,∴Sn=a1(1-qn(2)证明假设{an+1}