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文档简介
玉溪一中2017—2018学年下学期高一年级期中考数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=1,2,3,A.2,5B.3,6【答案】A【解析】∁UB=考点:集合的运算.视频2.已知M(3,−2),A.(−8,1)B.【答案】B【解析】分析:设出P点的坐标,根据要用的点的坐标写出两个向量的坐标,根据所给的关于向量的等式,得到两个方程,解方程组即可得到要求的点的坐标.详解:设P点的坐标为x,∵M(3,-2),N(-5,-1),且MP∴x−∴x=∴点P的坐标为−1故选:B.点睛:本题考查相等向量和相反向量,是一个基础题,解题的关键是写出要用的向量的坐标,根据两个向量相等,得到向量坐标之间的关系.3.下列命题中,一定正确的是()A.若a>b,且b≠0,则ab>1C.若a>b,且c>d,则ac>b【答案】D【解析】【分析】利用特例法和不等式基本性质逐一判断即可.【详解】A.a>0,b<0时,ab<1B.a>0,b<0时,1a>1C.取a=5,b=﹣3,c=1,d=﹣6,满足a>b,c>d,则ac<bd,不正确;D.若a>b,且c>d,则故选:D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.下列函数中,既是偶函数又在(0A.y=xB.y=x【答案】D【解析】【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,即可得到答案.【详解】根据题意,依次分析选项:对于A,y=x=x12,为幂函数,其定义域为对于B,y=x3,为幂函数,是奇函数,不符合题意;对于C,y=cosx,为偶函数,在(0,+∞)不是增函数,不符合题意;对于D,y=ln|x|=&lnx,x故选:D.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性.5.已知等差数列an前9项的和为27,a10=A.11B.13C.15D.17【答案】B【解析】【分析】由等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,列出方程组,求出a1=﹣1,d=1,由此能求出a15.【详解】∵等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,∴&S解得a1=﹣1,d=1,a15=a1+14d=﹣1+14=13.故选:B.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式及求和公式,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.6.tan2040A.−33B.−3C.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式转化求解即可.【详解】ta故选:D【点睛】本题考查诱导公式的应用:求值.此类题一般依照“负角化正角,大角化小角”的顺序进行角的转化.7.设an是无穷等差数列,公差为d,其前n项和为SA.若a1d>0,则SnC.若0<a1<a2【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式的性质直接求解.【详解】由设{an}是无穷等差数列,公差为d,其前n项和为Sn,知:在A中,若a1d>0,则Sn没有最大值,故A错误;在B中,若a1d<0,则Sn有最小值或最大值,故B错误;在C中,若0<a1<a2,则d=a2﹣a1>0,∴a22=(a1+d)2=a1∴a2在D中,若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)=a=a12+2a1=﹣d2≤0,故D错误.故选:C.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算与求解能力,考查函数与方程思想,属于中档题.8.已知正数x,y满足4xA.8B.9C.10D.12【答案】B【解析】【分析】由题意可得1x+1y【详解】因为x,y都是正数,所以1x+1y=(1x当且仅当y=2x=13则1x故选:B.【点睛】本题考查基本不等式的运用:求最值,注意运用乘“1”法和满足的条件:一正二定三等,考查运算能力,属于中档题.9.某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.【答案】A【解析】试题分析:由图可得V=考点:三视图.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积,计算量较大,属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系:主视图与俯视图长应对正(简称长对正),主视图与左视图高度保持平齐(简称高平齐),左视图与俯视图宽度应相等(简称宽相等),若不按顺序放置和不全时,则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握锥体的体积公式.视频10.圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了5A.50πcm2B.500【答案】D【解析】【分析】容器的水面下降部分的容积即为球的体积,由此计算出球的半径,再根据球的表面积公式即可求解.【详解】设实心铁球的半径为R,则43πR故这个铁球的表面积为S=4πR2=100πcm2.故选:D.【点睛】本题考查球的表面积的求法,考查圆柱的体积和球的表面积、体积的计算等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,属于基础题.11.ΔABC中,三个内角A,B,C的对边分别为aA.109B.149C.5【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系,算出cosC=13.再根据余弦定理c2=b2+a2﹣2abcosC的式子及2b=a+c,化简整理得到关于b、a的等式,解之即可得到b【详解】∵tanC=22>0,得C为锐角∴cosC=11+∵sinA,sinB,sinC成等差数列,即2sinB=sinA+sinC∴根据正弦定理,得2b=a+c由余弦定理,得c2=b2+a2﹣2abcosC即2化简得9b2=10ab,∴ba=故选:A.【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式:(1)a2=b2+c2−2bccosA;(212.ΔABC中,已知(ABA.三边互不相等的三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.顶角为钝角的等腰三角形【答案】C【解析】【分析】先根据(AB→|AB|+AC【详解】∵(AB→|AB|+AC∴∠A的角平分线与BC垂直,∴AB=AC,∵cosB=AB∴∠B=π4∴∠B=∠C=∠A=π3∴三角形为等腰直角三角形.故选:C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算,三角形形状的判断.考查了学生综合分析能力,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知f(x)【答案】4.【解析】【分析】利用分段函数,直接代入即可求值.【详解】∵f∴f故答案为:4【点睛】本题主要考查分段函数的应用,注意分段函数的定义区间,利用变量范围直接代入即可,属于基础题.14.函数y=f(x)的图象与函数【答案】f(x)【解析】【分析】先设函数f(x)上的点为(x,y),根据(x,y)关于原点的对称点为(﹣x,﹣y)且函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称,得到x与y的关系式,即得答案.【详解】设(x,y)在函数f(x)的图象上∵(x,y)关于原点的对称点为(﹣x,﹣y),所以(﹣x,﹣y)在函数g(x)上∴﹣y=log2(﹣x)⇒f(x)=﹣log2(﹣x)(x<0)故答案为:f(x)【点睛】本题主要考查对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把f(x)=115.ΔABC中,∠BAC=135∘【答案】62【解析】【分析】运用三角形的面积公式S=12AB•ACsin∠BAC,解方程可得AB,设AB边上的高为h,由12×4h=【详解】△ABC中,∠BAC=135°,AC=3,且△可得12AB•ACsin∠BAC=12AB•3•22解得AB=4,设AB边上的高为h,则12×4h=6可得h=62故答案为:62【点睛】本题考查三角形的面积公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.16.已知数列{an}的通项公式是an=【答案】9.【解析】【分析】利用作差法明确项的变化趋势从而得到最大项的序号.【详解】令an+1﹣an=(2n+3)(910)n+1﹣(2n+1)可得n≤8.5.即a∴{an}中的最大项的序号是9.故答案为:9.【点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法,根据an+1-②用作商比较法,根据an+1an与③结合相应函数的图像直观判断,注意自变量取值为正整数这一特殊条件三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(1)解不等式log2(2)解关于x的不等式x2【答案】(1)(−(2)若a=0,原不等式的解集为∅;若a<0,原不等式的解集为(a【解析】【分析】(1)根据题意,圆不等式变形可得0<2x+3<2,解可得x的取值范围,即可得答案;(2)根据题意,求出方程x2﹣ax=0的两个根,结合二次函数的性质讨论两个根的大小,分析可得答案.【详解】(1)log2即-32(2)方程x2-a若a=0,原不等式的解集为若a<0,原不等式的解集为若a>0,原不等式的解集为【点睛】解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即判别式的符号进行分类,最后当根存在时,再根据根的大小进行分类.18.设数列{an}是公比为2的等比数列,且a4+(1)求数列{a(2)记数列{1an}的前n项和为Sn【答案】(1)an(2)11.【解析】【分析】(1)由题意可得2(a4+1)=(2)由(1)知{1an}为等比数列,首项为12,公比为12n>2020【详解】(1)由a4+1是a1与a5的等差中项可得2(a(2)由(1)得1a{1an}为等比数列,首项为所以S由|Sn-1|因为210=1024于是,使|Sn-【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略:①化基本量求通项.求等比数列的两个基本元素a1和q②化基本量求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.③化基本量求公比.利用等比数列的定义和性质,建立方程组求解.④化基本量求和.直接将基本量代入前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.19.已知a,b,c分别为ΔA(1)求A;(2)若b+【答案】(1)A=(2)[1【解析】【分析】(1)由2bcosA=(2)由余弦定理可得:以4-a2=3b【详解】(1)由正弦定理可得:2sB∈(0,π),sin(2)cosA因为bc≤(所以4-a2≤3,解得a【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化变;求三角形面积的最大值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值.20.已知a=(sinx,(1)若a//b,求(2)若函数fx=a·c【答案】(1)tanx(2)[π【解析】【分析】(1)利用a→∥b→的充要条件得到(2)利用向量的数量积公式求出f(x)的解析式,利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简f(x),利用周期公式求出周期;利用整体处理的思路求出函数的单调区间.【详解】(1)由a//b可得si-32s(2)f(x=32所以f(x解不等式π2+2k所以f(x【点睛】函数y=(1)ymax(2)周期T(3)由ωx(4)由−π2+2kπ21.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1(1)证明:数列{a(2)设bn=1log3a2【答案】(1)见解析.(2)n2【解析】【分析】(1)an+1=2Sn+1(n∈N*),an=2Sn﹣1+1(n≥2),利用递推可得an+1an=3(n≥2),可得{an即可证明结论.(2)由(1)可知:{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n【详解】(1)an+1=2Sn当n≥2时,①—②可得an所以{an}从第二项起是等比数列......4分又因为a所以a2从而an+1(2)由(1)可知:{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)1nn+k=1k1n-1n+k;(2)1n+22.如果函数f(x)在其定义域内存在实数x0,使得(1)试判断函数f((2)证明:函数f((3)设函数f(【答案】(1)见解析.(2)见解析.(3)a∈【解析】试题分析:(1)按照“可分拆函数”的概念,只需方程有根即可,据此判断;
(2)本问利用零点定理即可判断,即判断端点处的函数值异号即可证明结论;
(3)若函数在(0,+∞)上为可分拆函数,只需方程在该区间上有实根,然后借助于换元的方法,将t=试题解析:(1)假设f(x)
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