云南省玉溪市一中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题

玉溪一中2017—2018学年下学期高一年级期中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=1,2,3,A.2,5B.3,6【答案】A【解析】∁UB=考点：集合的运算.视频2.已知M(3,−2)，A.(−8,1)B.【答案】B【解析】分析：设出P点的坐标，根据要用的点的坐标写出两个向量的坐标，根据所给的关于向量的等式，得到两个方程，解方程组即可得到要求的点的坐标.详解：设P点的坐标为x,∵M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP∴x−∴x=∴点P的坐标为−1故选：B.点睛：本题考查相等向量和相反向量，是一个基础题，解题的关键是写出要用的向量的坐标，根据两个向量相等，得到向量坐标之间的关系.3.下列命题中，一定正确的是()A.若a>b，且b≠0，则ab>1C.若a>b，且c>d，则ac>b【答案】D【解析】【分析】利用特例法和不等式基本性质逐一判断即可.【详解】A．a＞0,b＜0时,ab＜1B．a＞0,b＜0时,1a＞1C．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，满足a＞b，c＞d，则ac＜bd，不正确；D．若a>b，且c>d，则故选：D．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.下列函数中，既是偶函数又在(0A.y=xB.y=x【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得到答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y=x=x12，为幂函数，其定义域为对于B，y=x3，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C，y=cosx，为偶函数，在（0，+∞）不是增函数，不符合题意；对于D，y=ln|x|=&lnx，x故选：D．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．5.已知等差数列an前9项的和为27，a10=A.11B.13C.15D.17【答案】B【解析】【分析】由等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，列出方程组，求出a1=﹣1，d=1，由此能求出a15．【详解】∵等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，∴&S解得a1=﹣1，d=1，a15=a1+14d=﹣1+14=13．故选：B．【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式及求和公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.6.tan2040A.−33B.−3C.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式转化求解即可．【详解】ta故选：D【点睛】本题考查诱导公式的应用：求值．此类题一般依照“负角化正角，大角化小角”的顺序进行角的转化．7.设an是无穷等差数列，公差为d，其前n项和为SA.若a1d>0，则SnC.若0<a1<a2【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式的性质直接求解．【详解】由设{an}是无穷等差数列，公差为d，其前n项和为Sn，知：在A中，若a1d＞0，则Sn没有最大值，故A错误；在B中，若a1d＜0，则Sn有最小值或最大值，故B错误；在C中，若0＜a1＜a2，则d=a2﹣a1＞0，∴a22=（a1+d）2=a1∴a2在D中，若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=a=a12+2a1=﹣d2≤0，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．8.已知正数x,y满足4xA.8B.9C.10D.12【答案】B【解析】【分析】由题意可得1x+1y【详解】因为x，y都是正数，所以1x+1y=（1x当且仅当y=2x=13则1x故选：B．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘“1”法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．9.某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.【答案】A【解析】试题分析：由图可得V=考点：三视图.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握锥体的体积公式.视频10.圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了5A.50πcm2B.500【答案】D【解析】【分析】容器的水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解．【详解】设实心铁球的半径为R，则43πR故这个铁球的表面积为S=4πR2=100πcm2．故选：D．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查圆柱的体积和球的表面积、体积的计算等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题．11.ΔABC中，三个内角A,B,C的对边分别为aA.109B.149C.5【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系，算出cosC=13．再根据余弦定理c2=b2+a2﹣2abcosC的式子及2b=a+c，化简整理得到关于b、a的等式，解之即可得到b【详解】∵tanC=22＞0，得C为锐角∴cosC=11+∵sinA，sinB，sinC成等差数列，即2sinB=sinA+sinC∴根据正弦定理，得2b=a+c由余弦定理，得c2=b2+a2﹣2abcosC即2化简得9b2=10ab，∴ba=故选：A．【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+c2−2bccosA；（212.ΔABC中，已知(ABA.三边互不相等的三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.顶角为钝角的等腰三角形【答案】C【解析】【分析】先根据（AB→|AB|+AC【详解】∵（AB→|AB|+AC∴∠A的角平分线与BC垂直，∴AB=AC，∵cosB=AB∴∠B=π4∴∠B=∠C=∠A=π3∴三角形为等腰直角三角形．故选：C．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知f(x)【答案】4.【解析】【分析】利用分段函数，直接代入即可求值．【详解】∵f∴f故答案为：4【点睛】本题主要考查分段函数的应用，注意分段函数的定义区间，利用变量范围直接代入即可，属于基础题．14.函数y=f(x)的图象与函数【答案】f(x)【解析】【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【详解】设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故答案为：f(x)【点睛】本题主要考查对称的性质和对数的相关性质，比较简单，但是容易把f(x)=115.ΔABC中，∠BAC=135∘【答案】62【解析】【分析】运用三角形的面积公式S=12AB•ACsin∠BAC，解方程可得AB，设AB边上的高为h，由12×4h=【详解】△ABC中，∠BAC=135°，AC=3，且△可得12AB•ACsin∠BAC=12AB•3•22解得AB=4，设AB边上的高为h，则12×4h=6可得h=62故答案为：62【点睛】本题考查三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.已知数列{an}的通项公式是an=【答案】9.【解析】【分析】利用作差法明确项的变化趋势从而得到最大项的序号.【详解】令an+1﹣an=（2n+3）(910)n+1﹣（2n+1）可得n≤8.5．即a∴{an}中的最大项的序号是9．故答案为：9．【点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据an+1-②用作商比较法，根据an+1an与③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）解不等式log2（2）解关于x的不等式x2【答案】(1)(−（2）若a=0，原不等式的解集为∅；若a<0，原不等式的解集为(a【解析】【分析】（1）根据题意，圆不等式变形可得0＜2x+3＜2，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，求出方程x2﹣ax=0的两个根，结合二次函数的性质讨论两个根的大小，分析可得答案．【详解】（1）log2即-32（2）方程x2-a若a=0，原不等式的解集为若a<0，原不等式的解集为若a>0，原不等式的解集为【点睛】解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．18.设数列{an}是公比为2的等比数列，且a4+（1）求数列{a（2）记数列{1an}的前n项和为Sn【答案】（1）an（2）11.【解析】【分析】(1)由题意可得2(a4+1)=(2)由（1）知{1an}为等比数列，首项为12，公比为12n>2020【详解】（1）由a4+1是a1与a5的等差中项可得2(a（2）由（1）得1a{1an}为等比数列，首项为所以S由|Sn-1|因为210=1024于是，使|Sn-【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素a1和q②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解．19.已知a,b,c分别为ΔA（1）求A；（2）若b+【答案】(1)A=(2)[1【解析】【分析】（1）由2bcosA=（2）由余弦定理可得：以4-a2=3b【详解】（1）由正弦定理可得：2sB∈(0,π)，sin（2）cosA因为bc≤(所以4-a2≤3，解得a【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20.已知a=(sinx,（1）若a//b，求（2）若函数fx=a·c【答案】(1)tanx(2)[π【解析】【分析】（1）利用a→∥b→的充要条件得到（2）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简f（x），利用周期公式求出周期；利用整体处理的思路求出函数的单调区间．【详解】（1）由a//b可得si-32s（2）f(x=32所以f(x解不等式π2+2k所以f(x【点睛】函数y=(1)ymax(2)周期T(3)由ωx(4)由−π2+2kπ21.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1（1）证明：数列{a（2）设bn=1log3a2【答案】(1)见解析.(2)n2【解析】【分析】（1）an+1=2Sn+1（n∈N*），an=2Sn﹣1+1（n≥2），利用递推可得an+1an=3(n≥2)，可得{an即可证明结论．（2）由（1）可知：{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an=3n【详解】（1）an+1=2Sn当n≥2时，①—②可得an所以{an}从第二项起是等比数列......4分又因为a所以a2从而an+1（2）由（1）可知：{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an=3n【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)1nn+k=1k1n-1n+k；（2）1n+22.如果函数f(x)在其定义域内存在实数x0，使得（1）试判断函数f(（2）证明：函数f(（3）设函数f(【答案】(1)见解析.(2)见解析.(3)a∈【解析】试题分析:（1）按照“可分拆函数”的概念，只需方程有根即可，据此判断；

（2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号即可证明结论；

（3）若函数在（0，+∞）上为可分拆函数，只需方程在该区间上有实根，然后借助于换元的方法，将t=试题解析：（1）假设f(x)