备战2024年中考-专题04 一次方程（组）（讲义）（解析版）

第第⑥答：规范作答，注意单位名称。2.基本等量关系：和差倍分问题、购买问题、利润问题、行程问题、数字问题、比赛积分问题、鸡兔同笼问题、流水问题、日历问题等。【题型1：一元一次方程及其解法】【典例1】（2023秋•越秀区校级期中）已知等式2a＝3b﹣1，则下列等式中不一定成立的是（）A．2a+3＝3b+2 B．2a+1＝3b C．2ac＝3bc﹣1 D．a=【答案】C【分析】根据等式的性质进行逐一判断即可．【解答】解：A．利用等式的基本性质，等式两边同时加3，得2a+3＝3b+2，此项成立，故选项不符合题意；B．利用等式的基本性质，等式两边同时加1，得2a+1＝3b，此项成立，故选项不符合题意；C．利用等式的基本性质，等式两边同时乘以c，得2ac＝3bc﹣c，此项不成立，故选项符合题意；D．利用等式的基本性质，等式两边同时除以2，得a=3故选：C．【典例2】（2023秋•东莞市校级期中）若（m﹣1）x|m|﹣5＝6是关于x的一元一次方程，则m＝﹣1．【答案】﹣1．【分析】根据一元一次方程的定义得出|m|＝1且m﹣1≠0，再求出答案即可．【解答】解：∵（m﹣1）x|m|﹣5＝6是关于x的一元一次方程，∴|m|＝1且m﹣1≠0，∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．【典例3】（2023秋•天河区校级）解方程：2x+5＝3x﹣2．【答案】x＝7．【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可．【解答】解：移项，得2x﹣3x＝﹣2﹣5，合并同类项，得﹣x＝﹣7，方程两边同时除以﹣1，得x＝7．1．（2023秋•越秀区校级）下列说法中，正确的为（）①若a﹣3＝b﹣3，则a＝b；②若a＝b，则a+c＝b﹣c；③若am=bm，则④若a2＝2a，则a＝2．A．①② B．①③ C．①③④ D．①④【答案】B【分析】根据等式的性质逐项进行判断即可．【解答】解：①若a﹣3＝b﹣3，根据等式的性质，两边都加上3得a﹣3+3＝b﹣3+3，即a＝b，因此①正确；②若a＝b，根据等式的性质，两边都加上c得a+c＝b+c，因此②不正确；③若am=bm，由于m≠0，根据等式的性质，两边都乘以m得a＝④若a2＝2a，则a＝2或a＝0，因此④不正确，综上所述，正确的有①③．故选：B．2．（2023秋•东莞市校级）下列结论不正确的是（）A．若a+c＝b+c，则a＝b B．若ac=bc，则C．若ac＝bc，则a＝b D．若ax＝b（a≠0），则x=【答案】C【分析】根据等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A．∵a+c＝b+c，∴a＝b（等式的两边都减去c），故本选项不符合题意；B．由ac=bc能推出a＝C．当c＝0时，由ac＝bc不能推出a＝b，故本选项符合题意；D．∵ax＝b，a≠0，∴除以a，得x=b故选：C．3．（2022秋•广州期末）将方程x0.3=1A．10x3=10+12−3x2 B．C．10x3=1+12−3x2 【答案】C【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程整理得：10x3=1故选：C．4．（2022秋•白云区期末）解方程：8x＝﹣2（x+4）．【答案】见试题解答内容【分析】先去括号，再移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．【解答】解：去括号得：8x＝﹣2x﹣8，移项得：x+2x＝﹣8，合并同类项得：10x＝﹣8，系数化为1得：x=−45．（2023秋•东莞市校级）解下列方程：（1）3x﹣2＝4x+1；（2）5（x﹣4）+3（x+6）＝14．【答案】（1）x＝﹣3；（2）x＝2．【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可；（2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．【解答】解：（1）移项，可得：3x﹣4x＝1+2，合并同类项，可得：﹣x＝3，系数化为1，可得：x＝﹣3．（2）去括号，可得：5x﹣20+3x+18＝14，移项，可得：5x+3x＝14+20﹣18，合并同类项，可得：8x＝16，系数化为1，可得：x＝2．6．（2023秋•中山区校级）解方程：（1）2（x﹣3）＝1﹣3（x+1）；（2）y−y−1【答案】（1）x＝0.8；（2）y＝3．【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把y系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去括号得：2x﹣6＝1﹣3x﹣3，移项得：2x+3x＝1﹣3+6，合并同类项得：5x＝4，解得：x＝0.8；（2）去分母得：10y﹣5（y﹣1）＝30﹣2（y+2），去括号得：10y﹣5y+5＝30﹣2y﹣4，移项得：10y﹣5y+2y＝30﹣4﹣5，合并同类项得：7y＝21，解得：y＝3．7．（2022秋•白云区）如果方程2x＝2和方程a+x2=a+2xA．1 B．5 C．0 D．﹣5【答案】D【分析】先求出方程2x＝2，将解代入方程a+x2【解答】解：解方程2x＝2，得x＝1，∵方程2x＝2和方程a+x2∴将x＝1代入方程a+x2a+123（a+1）＝2（a+2）﹣6，3a+3＝2a+4﹣6，解得a＝﹣5，故选：D．【题型2：二元一次方程（组）及解法】【典例4】（2023春•中山市校级）下列各式中是二元一次方程的是（）A．x+y＝1 B．x＞y C．1x+2=3y D．6【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．【解答】解：A，是二元一次方程，故符合题意；B，有三个未知数，不是二元一次方程，故不符合题意；C，分母中含有未知数，不是二元一次方程，故不符合题意；D，未知数的次数是2次，不是二元一次方程，故不符合题意；故选：A．【典例5】（2023春•东莞市期末）已知x=3y=−1是方程2x﹣5y＝m的解，则mA．﹣11 B．11 C．2 D．﹣2【答案】B【分析】将x=3y=−1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m【解答】解：将x=3y=−1代入原方程得：2×3﹣5×（﹣1）＝m解得：m＝11，∴m的值为11．故选：B．【典例6】（2022秋•宝安区期末）解方程组2x−y=5y=x−1【答案】x=4y=3【分析】利用加减消元法解方程组即可．【解答】解：原方程组化为2x−y=5①x−y=1②①﹣②得：x＝4，将x＝4代入②得：4﹣y＝1，解得：y＝3，故原方程组的解为x=4y=31．（2022秋•禅城区期末）已知x=3ky=−3k是关于x，y的二元一次方程2x﹣y＝27的解，则kA．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【答案】A【分析】将x=3ky=−3k代入关于x，y的二元一次方程2x﹣y＝27得到关于k的方程，解这个方程即可得到k【解答】解：将x=3ky=−3k代入关于x，y的二元一次方程2x﹣y2×3k﹣（﹣3k）＝27．∴k＝3．故选：A．2．（2023秋•南山区校级）解二元一次方程组：（1）x+y=5x−y=−1（2）2x−y=53x+4y=2【答案】（1）x=2y=3（2）x=2y=−1【分析】（1）将原方程组的两个方程相加，得到2x＝4，进而求出x的值，再代入求出y的值即可；（2）利用代入消元法，将方程①变为y＝2x﹣5，代入方程②求出x的值，再代入求出y的值即可．【解答】解：（1）x+y=5①x−y=−1②①+②得，2x＝4，解得x＝2，把x＝2代入①得，2+y＝5，解得y＝3，所以原方程组的解是x=2y=3（2）2x−y=5①3x+4y=2②由①得，y＝2x﹣5③，把③代入②得，3x+4（2x﹣5）＝2，解得x＝2，把x＝2代入③得，y＝4﹣5＝﹣1，所以原方程组的解是x=2y=−13．（2023秋•宝安区期中）解方程组：x+3y=14x−2【答案】x=6y=【分析】将原方程组整理得到x+3y=14①2x−3y=4②，再根据加减消元法求出x的值，进而代入求出y【解答】解：原方程组可变为，x+3y=14①2x−3y=4②①+②得，3x＝18，解得x＝6，把x＝6代入①得，6+3y＝14，解得，y=8∴原方程组的解为x=6y=【题型3：一次方程（组）的实际应用】【典例7】（2022秋•福田区校级期末）2022年，口罩成了人们出行的”标配”，某口罩生产车间有36名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000根口罩带，1个口罩面需要配2根口罩带，为了使每天生产口罩面和口罩带刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（）A．1000（36﹣x）＝2×800x B．1000（18﹣x）＝800x C．2×1000（36﹣x）＝800x D．1000（36﹣x）＝800x【答案】A【分析】由车间总人数，可得出安排（36﹣x）名工人生产口罩带，根据每天生产的口罩带的总数量是每天生产的口罩面总数量的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：∵口罩生产车间有36名工人，且安排x名工人生产口罩面，∴安排（36﹣x）名工人生产口罩带．根据题意得：1000（36﹣x）＝2×800x．故选：A．【典例8】（2023•南山区模拟）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为﹣2．【答案】﹣2．【分析】先计算出行的和，得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为﹣6，则﹣7+a+3＝﹣6，即可得．【解答】解：∵0+（﹣1）+（﹣5）＝﹣6，∴﹣7+a+3＝﹣6，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．【典例9】（2023•罗定市校级一模）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（）A．y=8x+3y=7x+4 B．y=8x+3C．y=8x−3y=7x−4 D．【答案】D【分析】根据“每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵每人出八钱，会多三钱，∴y＝8x﹣3；∵每人出七钱，又差四钱，∴y＝7x+4．∴根据题意可列方程组y=8x−3y=7x+4故选：D．【典例10（2023•龙岗区校级一模）飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱，某商家拟用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘，已知橡胶飞盘的进货单价比海绵飞盘的进价单价多6元．（1）海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是多少元？（2）由于飞盘畅销，商家决定再购进这两种飞盘共300个，其中橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍，且每种飞盘的进货单价保持不变，若橡胶飞盘的销售单价为14元，海绵的销售单价为6元，试问第二批购进橡胶飞盘多少个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大？第二批飞盘的最大利润是多少元？【答案】（1）海绵飞盘的进货单价是4元；橡胶飞盘的进货单价是10元；（2）第二批购进橡胶飞盘200个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大；第二批飞盘的最大利润是1000元．【分析】（1）设海绵飞盘每个x元，则橡胶飞盘每个（x+6）元，然后根据用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘列出方程求解即可；（2）设第二批购进橡胶飞盘m个，利润为w元，则购进海绵飞盘（300﹣m）个，然后根据利润＝单件利润×数量列出w关于m的一次函数关系式，再根据橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍求出m的取值范围，即可利用一次函数的性质求解．【解答】解：（1）设海绵飞盘每个x元，则橡胶飞盘每个（x+6）元，由题意得，30x+50（x+6）＝620，解得x＝4，∴x+6＝10，答：海绵飞盘的进货单价是4元；橡胶飞盘的进货单价是10元；（2）设第二批购进橡胶飞盘m个，利润为w元，则购进海绵飞盘（300﹣m）个，由题意得，w＝（14﹣10）m+（6﹣4）（300﹣m）＝2m+600，∵橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍，∴m≤2（300﹣m），∴m≤200，∵2＞0，∴w随m增大而增大，∴当m＝200时，w最大，最大值为2×200+600＝1000元，答：第二批购进橡胶飞盘200个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大；第二批飞盘的最大利润是1000元．1.（2022秋•福田区期末）深圳市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有15位工人，乙施工队有25位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（）A．3（15+x）＝25﹣x B．15+x＝3（25﹣x） C．3（15﹣x）＝25+x D．15﹣x＝3（25+x）【答案】B【分析】根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有（15+x）位工人，乙施工队有（25﹣x）位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，∴借调后甲施工队有（15+x）位工人，乙施工队有（25﹣x）位工人．根据题意得：15+x＝3（25﹣x）．故选：B．2.（2023秋•南山区校级）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为﹣4，A在B的右边，且A与B的距离是20，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点A表示的数16，与点A的距离为3的点表示的数是13或19．（2）点P表示的数﹣4+t（用含t的代数式表示）；点Q表示的数16﹣2t（用含t的代数式表示）．（3）假如Q先出发2秒，请问t为何值时P，Q相距5个单位长度？（4）若点x是数轴上一点，是否存在整数x，使得|x﹣3|+|x+2|的值最小？如果存在，请写出最小整数x；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）16；13或19．（2）﹣4+t；16﹣2t．（3）173（4）﹣2．【分析】（1）根据题意可知，点A表示的数是﹣4+20＝16；与点A的距离为3的点可能在点A左侧，也可能在点A右侧，进而可得答案．（2）根据题意可知，点P表示的数是﹣4+t，点Q表示的数是16﹣2t．（3）根据题意得，点P表示的数是﹣4+（t﹣2）＝t﹣6，点Q表示的数是16﹣2t，则可列方程为|16﹣2t﹣（t﹣6）|＝5，即可得出答案．（4）|x﹣3|+|x+2|＝|x﹣3|+|x﹣（﹣2）|，当|x﹣3|+|x+2|的值最小时，即整数x到3和﹣2的距离之和最小，则可得﹣2≤x≤3，从而可得答案．【解答】解：（1）∵点B表示的数为﹣4，A在B的右边，且A与B的距离是20，∴点A表示的数是﹣4+20＝16，∵16﹣3＝13，16+3＝19，∴与点A的距离为3的点表示的数是13或19．故答案为：16；13或19．（2）由题意得，点P表示的数是﹣4+t，点Q表示的数是16﹣2t．故答案为：﹣4+t；16﹣2t．（3）根据题意，点P表示的数是﹣4+（t﹣2）＝t﹣6，点Q表示的数是16﹣2t，∵P，Q相距5个单位长度，∴|16﹣2t﹣（t﹣6）|＝5，解得t=17∴t为173或9时，P，Q相距5个单位长度（此时间包含Q（4）存在，最小整数x为﹣2．理由如下：∵|x﹣3|+|x+2|＝|x﹣3|+|x﹣（﹣2）|，∴当|x﹣3|+|x+2|的值最小时，即整数x到3和﹣2的距离之和最小，∵3和﹣2的距离为5，∴当﹣2≤x≤3时，距离之和等于5，此时最小，∴最小整数x为﹣2．3.（2023秋•禅城区校级）为庆祝“建党100周年”，甲、乙两校组织代表队参加文艺汇演活动．已知甲、乙两校共有92名学生参加活动，其中甲校参加活动的学生有46～90名，现准备统一购买服装用于文艺汇演，下面是某服装厂给出的服装的价格表，当甲、乙两校单独购买服装时，一共需付5000元．购买服装的套数1～45套46～90套91套以上每套服装的价格60元50元40元（1）若甲、乙两校联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？（2）求甲、乙两校各有多少名学生参加文艺汇演活动？【答案】（1）1320元；（2）甲校有52名学生参加文艺汇演活动，乙校有40名学生参加文艺汇演活动．【分析】（1）计算出联合起来购买需付的钱数，然后即可得出节省的钱数；（2）根据题意判断出甲校的学生＞46人，乙校的学生＜46人，从而根据两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元，可得出方程，求解即可．【解答】解：（1）5000﹣92×40＝1320（元），答：若甲、乙两校联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省1320元；（2）根据题意，若甲校参加活动的学生有46名，所以乙校参加活动的学生人数92﹣46＝46人，此时可有46×50+46×50＝4600≠5000，不符合题意，故甲校的学生＞46人，乙校的学生＜46人，设甲校有x名学生参加文艺汇演活动，则乙校有（92﹣x）名学生参加文艺汇演活动，根据题意可得50x+60（92﹣x）＝5000，解得x＝52，所以92﹣x＝40．答：甲校有52名学生参加文艺汇演活动，乙校有40名学生参加文艺汇演活动．4．（2023•南山区校级三模）某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物．布料没有剩余，礼物也恰好成套．设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，则（）A．x+y=36y=2x B．x+y=36C．x+y=3625x=40y2【答案】C【分析】根据“每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意得：x+y=3625x=故选：C．5．（2023•罗湖区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（）A．7x+7=y9(x−1)=y B．7x+7=yC．7x−7=y9(x−1)=y D．【答案】A【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：7x+7=y9(x−1)=y故选：A．6．（2023秋•深圳校级）七年级某班由于布置班级的需要，用彩纸剪出了一些“星星”和“花朵”，一张彩纸可以剪出6个“星星”或4个“花朵”，已知剪出的“星星”数量是“花朵”数量的3倍，该班级共用了12张彩纸，设用x张彩纸剪“星星”，y张彩纸剪“花朵”，根据题意，可列方程组为（）A．x+y=126x=3×4y B．x+y=12C．x+3y=126x=3×4y D．【答案】A【分析】设用x张剪“星星”，y张剪“花朵”，由“该班级共用了10张彩纸”、“剪出的“星星“数量是“花朵”数量的3倍”列出方程组．【解答】解：设用x张剪“星星”，y张剪“花朵”，根据题意，可列方程组为x+y=126x=3×4y故选：A．7．（2023•蓬江区校级开学）某校为校庆准备排练：让2000名学生排成若干排，总排数大于25，且从第二排起每排比前一排多1人，则该校学生应排成32排，第一排应排47名学生．【答案】32，47．【分析】设第一排有x人，共有（k+1）排，则第（k+1）排的人数为x+k，根据总人数列出等式，然后结合已知进行验证，求出x即可．【解答】解：设第一排有x人，共有（k+1）排，则第（k+1）排的人数为x+k，由题意得：(x+x+k)(k+1)2整理得：（2x+k）（k+1）＝4000，而k+1＞25，从k+1＝26开始逐个代入验证，可得当且仅当k+1＝32时，x是正整数，此时k＝31，即（2x+31）×32＝4000，解得：x＝47，即该校学生应排成32排，第一排应排47名学生，故答案为：32，47．8．（2022秋•龙岗区校级）周末，七（11）班妙妙，小琪等同学随家长一同到欢乐谷游玩，下面是购买门票时，妙妙与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：（1）妙妙她们一共去了几个成人，几个学生？（2）正要购票时，妙妙发现七（12）班的江天昊等10名同学和他们的7名家长共17人也来购票，为了节省费用，经协商，他们决定一起购票，请你为他们设计最省钱的购票方案，并求出此时的费用．大人门票是每张40元，学生门票是5折优惠，我们一共12人，共需400元．票价成人：每张40元学生：按成人票5折优惠团体票（16人以上、含16人）：按成人票6折优惠爸爸，等一下我算一算，看换一种方式买票是否可以省钱．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设成人为x人，学生为y人，根据共有12人，结合总价＝单价×数量，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）分别算出3种买票方式的费用，进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）设成人为x人，学生为y人，由题意得：x+y=1240x+20y=400解得：x=8y=4答：妙妙她们一共去了8个成人，4个学生；（2）∵4+10＝14，8+7＝15，∴共有14名学生，15名家长，共有29人，若购买团体票，费用为：40×0.6×29＝696（元）；若分开买票，费用为：15×40+40×0.5×14＝600+280＝880（元）；若15名家长和1名学生购买团体票，13名学生买学生票，费用为：16×40×0.6+40×0.5×13＝384+260＝644（元）．∵644＜696＜880，∴15名家长和1名学生购买团体票，13名学生买学生票最优惠，总费用为644元．9．（2022秋•龙华区期末）列方程解决问题某文具店出售的部分文具的单价如下表：种类单价红黑双色中性笔10元/支黑色笔芯6元/盒红色笔芯8元/盒“双11”期间，因活动促销，黑色笔芯五折销售，红色笔芯七五折销售．小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元．（1）小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少盒？（2）小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？【答案】（1）黑笔芯2盒，红笔芯8盒；（2）共节约22元．【分析】（1）先计算黑笔芯，红笔芯促销后的价格，再列方程求解即可；（2）先计算出降价前所需的总费用，再减去优惠后的价格，求解即可．【解答】解：（1）促销后：黑笔芯：6×50%＝3元/盒，红笔芯：8×75%＝6，设黑笔芯x盒，红笔芯y盒，x+y=10①由②得x＝18﹣2y③代入①，18﹣2y+y＝10，y＝8，代入①中得x＝2，∴y＝8，x＝2，故x=2y=8答：黑笔芯2盒，红笔芯8盒；（2）10×2+2×6+8×8＝20+12+64＝96（元），96﹣74＝22（元），答：共节约22元．一．选择题（共6小题）1．下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x2﹣4x＝3 B．2x＝0 C．x+2y＝1 D．x−1=【答案】B【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：A、是一元二次方程，故A错误；B、是一元一次方程，故B正确；C、是二元一次方程，故C错误；D、是分式方程，故D错误；故选：B．2．已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则（）A．m＝2 B．m＝﹣3 C．m＝±3 D．m＝1【答案】B【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．所以m﹣3≠0，|m|﹣2＝1，解方程和不等式即可．【解答】解：已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则|m|﹣2＝1，解得：m＝±3，又∵系数不为0，∴m≠3，则m＝﹣3．故选：B．3．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．x240=x+12160C．240（x﹣12）＝160x D．240x＝160（x+12）【答案】D【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．根据题意得：240x＝160（x+12）．故选：D．4．已知x＝1，y＝﹣3是方程ax﹣y＝1的解，那么a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．4【答案】B【分析】将x＝1，y＝﹣3代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．【解答】解：将x＝1，y＝﹣3代入原方程得：a﹣（﹣3）＝1，解得：a＝﹣2，∴a的值为﹣2．故选：B．5．下列方程组是二元一次方程组的是（）A．x+y=6y+z=7 B．x+y=3C．x+y=51x+【答案】B【分析】根据二元一次方程组的定义进行判断即可．【解答】解：A、有三个未知数，不是二元一次方程组，故A错误，不合题意；B、有两个未知数，且次数为一次，故B正确，符合题意；C、含有未知数项1x和1D、含有未知数项xy的次数为2，因此不是二元一次方程组，故D错误，不合题意．故选：B．6．在用加减消元法解二元一次方程组3x−2y=5①2x−3y=10②时，经过某个变化可得5xA．①×2+②×3 B．①×2﹣②×3 C．①×3﹣②×2 D．①×3+②×2【答案】C【分析】分别利用加减消元法求出四个选项中的操作结果即可得到答案．【解答】解：3x−2y①2x−3y=10②①×2+②×3得：12x﹣13y＝40；①×2﹣②×3得：5y＝﹣20；①×3﹣②×2得：5x＝﹣5；①×3+②×2得：13x﹣12y＝35；∴四个选项中，只有C选项符合题意；故选：C．二．填空题（共5小题）7．若关于x的方程ax＝b（其中a、b为常数，且a≠0）的解是x＝1，则关于x的方程a（x﹣2023）﹣b＝0的解是x＝2024．【答案】x＝2024．【分析】把x＝1代入已知方程得到a＝b，代入所求方程就是即可求出解．【解答】解：把x＝1代入方程ax＝b得：a＝b，代入a（x﹣2023）﹣b＝0得：a（x﹣2023）﹣a＝0，∵a≠0，∴方程变形得：x﹣2023﹣1＝0，解得：x＝2024．故答案为：x＝2024．8．若x＝2是方程6﹣ax＝4的解，则a＝1．【答案】1．【分析】根据方程解的定义解决问题．【解答】解：∵x＝2是方程6﹣ax＝4的解，∴6﹣2a＝4，∴a＝1．故答案为：1．9．一个两位数的个位数字与十位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后新的两位数，这个两位数是35．【答案】35．【分析】设十位数字为x，则个位数字为（8﹣x），根据“把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后新的两位数”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入10x+8﹣x中，即可求出结论．【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为（8﹣x），根据题意得：10x+8﹣x+18＝10（8﹣x）+x，解得：x＝3，∴10x+8﹣x＝10×3+8﹣3＝35，∴这个两位数是35．故答案为：35．10．现有一段长为180米河道整治任务，由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已知列出一个方程为x+y＝180，则另一个方程是x12+【答案】x12【分析】根据列出的方程可以得出x是A工程队的工作量，y是B工程队的工作量，由两工程队共用时20天可列出方程．【解答】解：根据题意得，x是A工程队的工作量，y是B工程队的工作量，所以可得方程：x12故答案为：x1211．若方程组2x+y=1−3kx+2y=2的解满足x+y＝0，则k的值为1【答案】见试题解答内容【分析】将方程组中两个方程相加后，再将两边除以3可得x+y＝1﹣k，由x+y＝0得出关于k的方程，解之可得．【解答】解：2x+y=1−3k①①+②，得：3x+3y＝3﹣3k，则x+y＝1﹣k，∵x+y＝0，∴1﹣k＝0，解得：k＝1，故答案为：1．三．解答题（共3小题）12．解方程：（1）3（x﹣3）＝x+1；（2）x+24【答案】见试题解答内容【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1；（2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【解答】解：（1）去括号，得3x﹣9＝x+1，移项，得3x﹣x＝9+1，合并，得2x＝10，系数化为1，得x＝5；（2）去分母，得3（x+2）﹣2（2x﹣3）＝24，去括号，得3x+6﹣4x+6＝24，移项，得3x﹣4x＝24﹣6﹣6，合并，得﹣x＝12，系数化为1，得x＝﹣12．13．【阅读材料】在数轴上：若M表示的数是1，把M向左平移2个单位长度到达点N，则N表示的数为1﹣2＝﹣1．MN的长度为M、N两点表示的数的差的绝对值，即|﹣1﹣1|＝2；若M表示的数是1．把M向右平移2个单位长度到达点N，则N表示的数为1+2＝3，MN的长度为M、N两点表示的数的差的绝对值，即|3﹣1|＝2．【解决问题】如图，已知数轴上的三点A、B、C，点A表示的数为5，点B表示的数为﹣3，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（1）求出点C在数轴上表示的数；（2）求出点P在数轴上表示的数（用含字母t的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为1个单位长度时，求t的值．【答案】（1）1；（2）5﹣2t；（3）1.5s或2.5s．【分析】（1）根据点A表示的数为5，点B表示的数为﹣3，点C到点A、点B的距离相等，则C点表示的数为（5﹣3）÷2＝1，利用中点公式即可；（2）因为动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，则P表示的数5﹣2t；（3）由于P表示的数5﹣2t，C点表示的数为（5﹣3）÷2＝1，当PC＝1时，则=1，解方程即可．【解答】解：（1）∵点A表示的数为5，点B表示的数为﹣3，且点C到点A、点B的距离相等，则C为A、B的中点，∴C点表示的数为（5﹣3）÷2＝1；（2）∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，则P表示的数5﹣2t；（3）∵P表示的数5﹣2t，C点表示的数为：1，当PC＝1时，则=1，解得：t＝1.5或t＝2.5，答：t的值为1.5s或2.5s．14．解二元一次方程组：（1）x+2y=4x+3y=5（2）x−2y=31【答案】（1）x=2y=1（2）x=5y=1【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．【解答】解：（1）x+2y=4①x+3y=5②②﹣①，得y＝1，把y＝1代入①，得x＝2，故原方程组的解为x=2y=1（2）原方程组整理，得x−2y=3①2x+3y=13②②﹣①×2，得7y＝7，解得y＝1，把y＝1代入①，得x＝5．故原方程组的解为x=5y=1一．选择题（共6小题）1．下列变形中，正确的是（）A．2x+3＝2（x+3） B．x﹣y﹣1＝x﹣（y﹣1） C．﹣3m﹣3n＝﹣3（m﹣n） D．a﹣b﹣1＝a﹣（b+1）【答案】D【分析】根据添括号法则和有理数乘法运算律解答．【解答】解：A．2x+3=2(x+3B．x﹣y﹣1＝x﹣（y+1），故本选项错误，不符合题意；C．﹣3m﹣3n＝﹣3（m+n），故本选项错误，不符合题意；D．a﹣b﹣1＝a﹣（b+1），故本选项正确，符合题意；故选：D．2．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为20cm，这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为xcm可列方程为（）A．x+3＝（20﹣x）﹣2 B．x−2=(20C．x+3=(202−x)−2 D．x【答案】C【分析】由长方形的长=长方形的周长2−【解答】解：∵长方形的周长为20cm，且长方形的宽为xcm，∴长方形的长为（202根据题意得：x+3＝（202即x+3＝（202故选：C．3．如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（）A．m B．54m C．65【答案】C【分析】设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，表示出x、y、m、n之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．【解答】解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，由图（1）得4x＝n，由图（2）得2x+y＝m，y＝3x，∴5x＝m，∴x=m图（1）中阴影部分的周长为：2n+2y+(m−y)+(m−y−x)+x=2n+2m=8x+2m=18图（2）中阴影部分的周长为：2(n−3x)+2m=2(4x−3x)+2m=2x+2m=12∴阴影部分的周长之差为：185故选：C．4．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，内容十分丰富．其中表示数的算筹有纵、横两种方式，如要表示一个多位数，即把各位的数字从左到右横向排列，各位数的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示，在《九章算术》中，用算筹图来表示二元一次方程的方法，如“”表示方程x+10y＝26，则“”表示的方程是（）A．11x+20y＝17 B．11x+2y＝13 C．11x+20y＝13 D．11x+2y＝17【答案】D【分析】对照横、纵式表示的数字，前两个分别表示x、y的系数，剩下的表示右边的常数，据此列出关于x、y的方程即可．【解答】解：根据算筹图得：11x+2y＝17，故选：D．5．解方程组4x−3y=2(1)4x+y=10(2)A．2y＝8 B．4y＝8 C．﹣2y＝8 D．﹣4y＝8【答案】B【分析】应用加减消元法，解方程组4x−3y=2(1)4x+y=10(2)【解答】解：解方程组4x−3y=2(1)4x+y=10(2)故选：B．6．一次足球比赛共15轮（即每队均赛15场），胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某中学足球队获胜的场数是负场数的2倍，结果共得21分，则该中学平的场数是（）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】设所负场数为x场，则胜2x场，平（15﹣3x）场，等量关系为：胜的场数的得分+平的场数的得分＝21，依此列出方程求解即可．【解答】解：设所负场数为x场，则胜2x场，平（15﹣3x）场，由题意可得：3×2x+1×（15﹣3x）＝21，解得x＝2，∴15﹣3x＝9，故选：D．二．填空题（共4小题）7．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是﹣3．﹣5﹣719☆【答案】﹣3．【分析】先计算和：﹣7+1+9＝3；再计算﹣5+9+□＝3，﹣5+1+□＝3，最后根据☆+□+□＝3计算即可．【解答】解：根据题意，得这个和为：﹣7+1+9＝3；∴﹣5+9+□＝3，﹣5+1+□＝3，∴﹣5+9+□﹣5+1+□＝6，∴﹣5+9+□﹣5+1+□＝6，∴□+□＝6，∵☆+□+□＝3，∴☆＝﹣3，故答案为：﹣3．8．某校运会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时，甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙．那么，开始时乙每分钟比甲多跑16米，甲加速后，每分钟比原来多跑96米．【答案】16，96．【分析】根据在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，可知这5分钟甲比乙多跑400米，可求出甲比乙每分钟多跑80米，进而计算出前15分钟乙比甲多跑的路程，可得开始时乙每分钟比甲多跑16米，然后可得答案．【解答】解：因为在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，所以甲加快速度后，甲比乙每分钟多跑400÷（23﹣18）＝80米，因为在第15分钟时，甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙，所以前15分钟，乙比甲多跑80×（18﹣15）＝240米，所以开始时乙每分钟比甲多跑240÷15＝16米，所以甲加速后，每分钟比原来多跑80+16＝96米．故答案为：16，96．9．若x=1y=2是关于x，y的二元一次方程x+a＝3y﹣2的解，则a值为3【答案】3．【分析】将已知代入到方程中，解关于a的一元一次方程．【解答】解：将x=1y=21+a＝6﹣2，求得a＝3．故答案为：3．10．某公园的门票价格规定如表：购票人数1～50人51～100人100人以上每人门票价13元11元9元七年级（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，50多人，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1238元，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省302元．【答案】302．【分析】对照表格，计算两个班联合起来后共104人的总门票价格，即可解答．【解答】解：根据表格，当两个班联合起来，每人的门票价格为9元，故可节约的钱为：1238﹣9×104＝302（元），故答案为：302．三．解答题（共2小题）11．如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且（a+1）2+|b﹣3|＝0．（1）若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为1．（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？【答案】（1）1；（2）﹣2或4；（3）23【分析】（1）根据中点公式即可求解；（2）根据当P在A的左侧以及当P在A的右侧分别求出即可；（3）设经过y分钟点P到点A，点B的距离相等，分为当P点在AB之间时，当P点在AB右侧时，分别计算即可．【解答】解：（1）∵（a+1）2+|b﹣3|＝0，∴a＝﹣1，b＝3，故点A，B表示的数分别为﹣1、3，若点P到点A，点B的距离相等，则（﹣1+3）÷2＝2÷2＝1，故点P对应的数是1．（2）当P在AB之间，PA+PB＝4（不可能有）；当P在A的左侧，PA+PB＝﹣1﹣x+3﹣x＝6，得x＝﹣2；当P在A的右侧，PA+PB＝x﹣（﹣1）+x﹣3＝6，得x＝4．故点P对应的数为﹣2或4；（3）设经过y秒后点P到点A，点B的距离相等，此时点A，B，P表示的数分别为﹣1+4y，3+3y，5y，当P点在AB之间时，此时B到P点距离等于A点到P点距离，则5y﹣（﹣1+4y）＝3+3y﹣5y，解得：y=2当P点在AB右侧时，此时A、B重合，则﹣1+4y＝3+3y，解得：y＝4．故它们同时出发，2312．邓州市历史文化底蕴丰厚，拥有花洲书院、杏山地址公园、西清真寺、台湾村、八里岗遗址、汲滩陕山会馆、穰东陕西会馆、最美乡村习营等风景名胜，其中某景点的门票价格如下表：购票人数（人）1～5051～99100以上（含100）门票单价（元）504540（1）某校七年级1、2两个班共有100人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4740元，两个班各有多少名学生？（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费5520元；若合在一起作为一个团体购票，可以节省800元，问八年级、九年级各报名多少人？【答案】（1）七年级1班有48名学生，2班有52名学生；（2）八年级报名42人，九年级报名76人．【分析】（1）设七年级1班有x名学生，2班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若a+b＜100，②若a+b≥100，由题意分别列出方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）设七年级1班有x名学生，2班有y名学生，由题意得：x+y=10050x+45y=4740解得：x=48y=52答：七年级1班有48名学生，2班有52名学生；（2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若a+b＜100，由题意得：50a+45b=552045(a+b)=5520−800解得：a=160b=−②若a+b≥100，由题意得：50a+45b=552040(a+b)=5520−800解得：a=42b=76答：八年级报名42人，九年级报名76人．1．（2022秋•佛山期末）湿地公园具有湿地保护与利用、生态观光、休闲娱乐等多种功能．某湿地公园有一块边长为100米的正方形湿地如图所示．为保证游客安全，通过编程使两只带有摄像功能的电子蚂蚁甲、乙沿着这个正方形湿地按A→B→C→D→A的路线来回巡逻，甲从A点出发，速度是20米/分钟，同时乙从B点出发，速度是45米/分钟，这两只电子蚂蚁第2022次相遇时，是在这个湿地的（）A．AD边 B．CD边 C．AB边 D．BC边【答案】D【分析】第一次相遇时，乙的路程减去甲的路程为300米，以后每一次相遇乙的路程减去甲的路程为400米，设2022次相遇用时为t，根据题意列出方程，求出t，进而根据甲的速度得出甲的路程，除以400，即可求解．【解答】解：由题意可得，第一次相遇时，乙的路程减去甲的路程为300米，以后每一次相遇乙的路程减去甲的路程为400米，∴第2022次相遇时，乙的路程减去甲的路程为（2021×400+300）米，设第2022次相遇用时为t，∴2021×400+300＝（45﹣20）t解得：t＝32348，∵20×32348÷400＝1617.4，∴共跑了1617.4圈，∵每一条边为14∴相遇点在BC边上．故选：D．2．（2022•深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（）A．5y−11=7x7y−25=5x B．5x+11=7yC．5x−11=7y7x−25=5y D．【答案】C【分析】设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，利用已知“他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数”分别得出等量关系求出答案．【解答】解：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，根据题意可列方程组为：5x−11=7y7x−25=5y故选：C．3．（2023秋•越秀区校级）已知方程m•x|m﹣1|+4＝7是关于x的一元一次方程，则m＝2．【答案】2．【分析】根据一元一次方程的定义得出m≠0且|m﹣1|＝1，再求出m即可．【解答】解：∵方程m•x|m﹣1|+4＝7是关于x的一元一次方程，∴m≠0且|m﹣1|＝1，∴m＝2．故答案为：2．4．（2022秋•深圳校级）用代入法解二元一次方程组4x+3y=5①【答案】x=2y=−1【分析】利用加减消元法或代入消元法解方程组即可．【解答】解：4x+3y=5①x−2y=4②由②得x＝2y+4③，把③代入①得4（2y+4）+3y＝5，解得y＝﹣1．把y＝﹣1代入③得x＝﹣2+4＝2，∴x=2y=−15．（2023秋•深圳校级）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“友好点”．例如：点E（3，1），令m−1=33n+1=1得m=4n=0，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“友好点”，点P（4，﹣2），令m−1=43n+1=−2，得m=5n=−1，m﹣n（1）请判断点