2023年中考数学探究性试题复习3 新定义【含答案】

2023年中考数学探究性试题复习3新定义一、单选题1．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（-1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2-2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．-1≤a＜0 B．-2≤a＜-1 C．-1≤a＜−122．对于任意实数m，n，如果满足m2+n4=m+n2+4A．2 B．3 C．−4 D．−63．对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{-1，2，3}＝−1+2+33=4下列判断：①P{−2，0，18}=22；②max{−3，−5，A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤4．若10x=N，则称x是以10为底N的对数.记作：x=lgN.例如：102=100，则2=lg100；100=1A．5 B．2 C．1 D．05．对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n，……，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题6．华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线y=−x2+2x−1的图象与f的图象关于直线y=x对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为x=−y2+2y−1．若抛物线7．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算222…333…新运算lololo…lololo…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log其中正确的是．8．若a是不为2的有理数我们把22−a称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是22−3=−2；−2的“哈利数”是22−(−2)=12，已知a1=3，a2是9．对数的定义：一般地，若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式23=8可以转化为对数式3=10．平面直角坐标系中，若点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(mx+y，x+my)，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点P(1，2)的3级派生点是(3×1+2，1+3×2)，即Q(5，7)．如图点Q(3，−1)是点P(x，y)的−3级派生点，点A在x轴上，且S△APQ=3，则点A的坐标为11．我们规定：使得a−b=ab成立的一对数a，b为“差积等数对”，记为(a，b)．例如，因为3−0.75=3×0.75，(−2)−2＝(−2)×2，所以数对(3，12．我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为α，我们把sinα的值叫做这个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为5，其变形后的平行四边形的面积为4，那么这个平行四边形的“变形系数”是13．定义：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，对于任意两点P(x1，y1)、Q(x2，三、综合题14．定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如，三位正整数234，因为3=1（1）判断147是否为“半和数”，并说明理由；（2）小林列举了几个“半和数”：111、123、234、840…，并且她发现：111÷3=37，123÷3=41，234÷3=78，840÷3=280…，所以她猜测任意一个“半和数”都能被3整除．小林的猜想正确吗？若正确，请你帮小林说明该猜想的正确性；若错误，说明理由．15．对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线l1、l2，l1、l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=1尝试应用：（1）已知：如图2，点A(−5，3)、B(4，0)、C(0，6)，则△ABC的水平宽为，铅垂高为（2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，BD为△ABC的铅垂高，延长BD交x轴于点F，则顶点B坐标为，铅垂高BD=，△ABC16．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点(1，1)是函数（1）分别判断函数y=x+1，y=x（2）设函数y=3x(x>0)，y=−x+b的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.当△ABC（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图像记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图像记为W2，当W17．【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率(scop)．如图11-1，在△XYZ中，XY＝XZ，顶角X的张率记作scop∠X=底边腰=如图11-2，P是线段AB上的一动点(不与点A，B重合)，点C，D分别是线段AP，BP的中点，以AC，CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE，△CDF，△DBG，连接PE和PG.（1）【理解应用】①若等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，则a，b，c三者之间的关系为；②scop∠EPG＝；（2）【猜想证明】如图11-3，连接EF，FG，猜想scop∠EFG的值是多少，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图11-4，连接EF，EG，若AB＝12，EF=2718．阅读下列材料，按要求解答问题：阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整数解c，则将c代入方程得：c3+p上述过程说明：整数系数方程x3例如：方程x3+4x解决问题：①根据上面的学习，请你确定方程x3②方程x319．阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.对数的定义：一般地，若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式24=16我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M⋅N）=logaM+logaN设logaM=m，loga∴M⋅N=am又∵m+n=log∴log请解决以下问题：（1）将指数式34=81转化为对数式（2）求证：logaMN=logaM−log（3）拓展运用：计算log620．在平面直角坐标系中，P(a，b)是第一象限内一点，给出如下定义：k1=a（1）求点P(6，2)的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P(a，b)的“倾斜系数”k=2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P(a，b)的“倾斜系数”k=2，且a+b=3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y=x运动，P(a，b)是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k<321．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷(2+4+7)=247÷13=19，∴247是13的“和倍数”.又如：∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”.（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a>b>c在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F(A)，最小的两位数记为G(A)，若F(A)+G(A)1622．【问题】探究一次函数y＝kx+k+1（k≠0）图象特点．【探究】可做如下尝试：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，当x＝﹣1时，可以消去k，求出y＝1．【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是▲；【应用】一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P．①点P的坐标是▲；②已知一次函数y＝（k+2）x+k的图象与y轴相交于点A，若△OAP的面积为3，求k的值．23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.材料一：把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=y例如：化简3+2解：∵3+2∴3+2材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y'=y，(x≥0)−y，(x<0)，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（−2，5）的“横负纵变点”为（−2，请选择合适的材料解决下面的问题：（1）点（2，−3）的“横负纵变点”为（2）化简：7+210（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且m=

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】x=7．【答案】①③8．【答案】129．【答案】010．【答案】(5，0)或(−7，0)11．【答案】−12．【答案】313．【答案】514．【答案】（1）解：∵147的百位数字为1，十位数字为4，个位数字为7，且4=1+7∴147是“半和数”；（2）解：小林的猜想正确．理由：设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为整数，且m不为0），则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为：100m+10×m+n∵m，n均为整数，∴35m+2n为整数，∴3(35m+2n)是3的倍数，∴任意一个“半和数”都能被3整除．故小林的猜想正确．15．【答案】（1）9；143（2）(1，4)；2；316．【答案】（1）解：在y=x+1中，令x=x+1，得0=1不成立，∴函数y=x+1的图像上不存在“等值点”；在y=x2−x解得：x1=0，∴函数y=x2−x的图像上有两个“等值点”(0综上所述，y=x+1不存在“等值点”，y=x2−x存在“等值点”，有两个“等值点”(0（2）解：在函数y=3x(x>0)中，令x=∴A(3在函数y=−x+b中，令x=−x+b，解得：x=1∴B(1∵BC⊥x轴，∴C(1∴BC=1∵△ABC的面积为3，∴12当<0时，b2−23当0≤b<23时，b∵Δ=(−2∴方程b2当b≥23时，b2−2综上所述，b的值为−23或4（3）解：m<−9817．【答案】（1）b=a+c；3（2）解：scop∠EPG=3理由如下：如图6，连结FP.∵点C是AP的中点，△ACE，△CDF都是等边三角形，∴CP=EC，∠ECF=∠PCF=60°，又CF=CF，∴△ECF≌△PCF.∴∠EFC=∠PFC，同理，∠GFD=∠PFD，∴∠EFG=2∠CFD=120°，∴scop∠EPG=scop120°=3（3）解：△EPG的周长是22118．【答案】解：①由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数．②该方程有整数解．方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0进行验证得：x=3是该方程的整数解．19．【答案】（1）4=lo（2）证明：设logaM=m，loga∴M∴log∴log（3）220．【答案】（1）解：由题意，得62=3，∵3>13∴点P(6，2)的“倾斜系数”k=3；（2）解：①a=2b或b=2a，∵点P(a，b)的“倾斜系数”k=2，当ab当ba∴a=2b或b=2a；②∵P(a，b)的“倾斜系数”k=2，当ab∵a+b=3，∴2b+b=3，∴b=1，∴a=2，∴P(2，1)，∴OP=22当ba∵a+b=3，∴a+2a=3，∴a=1，∴b=2，∴P(1，2)∴OP=12综上，OP=5；（3）解：3+1<a<3+321．【答案】（1）解：∵357÷（3+5+7）=23.8，

∴357不是15的“和倍数”，

∵441÷（4+4+1）=49，

∴441是9的“和倍数”；（2）解：设三位数A=abc，∵A是12的“和倍数”

∴a+b+c=12，∵a＞b＞c，

∴F（A）=ab，G（A）=cb，

∴F（A）+（GA）16=ab+cb16=10a+10c+2b16，

∴10a+10c+2b16为整数，

∵a+c=12-b，

∴10a+10c+2b16