人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》单元教案

人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》单元教案8.1基本几何图形第1课时棱柱、棱锥、棱台【教材分析】立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小、位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间，学习立体几何对我们更好地认识客观世界，更好地生存与发展具有重要意义。在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体观察入手、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。本节内容既是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续和提高，也是后续研究空间点、线、面位置关系的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。【教学目标与核心素养】课程目标1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．3．与平面几何体的有关概念、图形和性质进行适当类比，初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．数学学科素养1.数学抽象：多面体与旋转体等概念的理解；2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点；3.直观想象：判断空间几何体；4.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法.【教学重点和难点】重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征；难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.【教学过程】一、情景导入在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形.但我们知道在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本97-100页，思考并完成以下问题1、什么是空间几何体？什么是多面体与旋转体？2、多面体包含哪些图形？这些图形是怎样定义的？又有什么结构特点？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、空间几何体定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。2、多面体与旋转体多面体的定义：由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．旋转体的定义：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．3、、几种基本空间几何体的结构特征（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……用各顶点字母表示棱柱，如棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体。棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如棱锥S-ABCD。（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面区截棱锥，底面于截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……用各顶点字母表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。四、典例分析、举一反三题型一棱柱、棱锥、棱台的结构特点例1(1)下列命题中正确的是________．(填序号)①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；③三棱锥的任何一个面都可看作底面；④棱台各侧棱的延长线交于一点．(2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．①这是一个六面体.②这是一个四棱台.③这是一个四棱柱.④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．【答案】(1)③④(2)①③④⑤.【解析】(1)结合有关多面体的定义及性质判断．对于①，还可能是棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；对于③，显然是正确的；④显然符合定义．故填③④.(2)①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．④⑤都正确．如图所示．解题技巧（判断结构特点的注意事项）在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．跟踪训练一1、棱台不具备的特点是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点2、给出下列几个命题，其中错误的命题是()A．棱柱的侧面都是平行四边形B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点C．多面体至少有四个面D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】1、C.2、D.【解析】1.由棱台的定义及特征知，A、B、D是棱台的特点，故选C.2.根据各种几何体的概念与结构特征判断命题的真假．A、B均为真命题；对于C，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C也是真命题；对于D，只有当截面与底面平行时才对．题型二简单结合体的判断例2如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．【答案】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，祥见解析．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.【解析】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.解题技巧：(判断几何体的注意事项)解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．跟踪训练二1、如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几条棱？【答案】这个几何体有8个面；6个顶点；12条棱．【解析】这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．题型三空间几何体的侧面展开图例3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【答案】①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．【解析】①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．例4长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．【答案】最短路线长为eq\r(74).【解析】沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝eq\r(42＋5＋32)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝eq\r(32＋5＋42)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝eq\r(4＋32＋52)＝eq\r(74).相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为eq\r(74).解题技巧（多面体展开图的解题策略）(1)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．(2)求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.跟踪训练三1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．2C．快D．乐【答案】1、C.2、B.【解析】1、选C将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．2、选B由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.8.1基本几何图形第1课时棱柱、棱锥、棱台空间几何体例1例2例3例4多面体与旋转体多面体旋转体3.常见多面体棱柱棱锥棱台七、作业课本101页练习，105页习题8.1的1、2、6、7、8题.【教学反思】本节课作为立体几何的第一节，概念比较多，理解起来需要一定的空间想象力，但有一小部分学生缺乏空间想象能力，所以上课的时候提前准备一些模型会更好，借助模型学生对棱柱、棱锥、棱台结构特征的理解会更加透彻.8.1基本几何图形第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体【教材分析】立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小、位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间，学习立体几何对我们更好地认识客观世界，更好地生存与发展具有重要意义。在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体观察入手、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。本节内容既是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续和提高，也是后续研究空间点、线、面位置关系的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。【教学目标与核心素养】课程目标1．认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．2．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．数学学科素养1.数学抽象：简单组合体概念的理解；2.逻辑推理：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特点；3.直观想象：判断空间几何体；4.数学运算：球的相关计算、最短距离等；5.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法.【教学重点和难点】重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；难点：旋转体的相关计算.【教学过程】一、情景导入上节课学了常见的多面体：棱柱、棱锥、棱台，那么常见的旋转体有哪些？又有什么结构特点？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本101-104页，思考并完成以下问题1、旋转体包含哪些图形？2、圆柱、圆锥、圆台、球是怎样定义的？又有什么结构特点？3、什么是简单组合体，特点是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究一、常见的旋转体1、圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱O’O。2、圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体。圆锥也有轴、底面、侧面和母线。圆锥也用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台。圆台也有轴、底面、侧面、母线。圆台也用表示它的轴的字母表示，如圆台O’O。4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体。半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径，球常用球心字母O表示，如球O。小结：常见空间几何体有棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球。其中棱柱、圆柱统称为柱体，棱锥、圆锥统称为锥体，棱台、圆台统称为台体，所以简单空间几何体概括分类为：柱体、锥体、台体和球体。二、简单组合体1．简单组合体的定义由简单几何体组合而成的几何体叫作简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式(1)由简单几何体拼接而成，如课本P103（1）（2）；(2)由简单几何体截去或挖去一部分而成，如课本P103（3）（4）。四、典例分析、举一反三题型一旋转体的结构特点例1给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．【答案】（1）（2）.【解析】解析(1)正确，圆柱的底面是圆面．(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．解题技巧（判断旋转体结构特点的注意事项）1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练一1、判断下列各命题是否正确．(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．【答案】(1)错误．(2)正确．(3)错误．【解析】(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)正确．(3)错误．应为球面．题型二简单组合体例2观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：(1)几何体①是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，使得旋转该图形180°后得到几何体①.(2)几何体②的结构特点是什么？试画出几何图形，使得旋转该图形360°得到几何体②.(3)几何体③是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．【答案】(1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．图见解析.(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．图见解析.(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．该几何体共有9个面、9个顶点、16条棱.【解析】(1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转如下图(a)180°得到几何体①.(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转如图(b)360°得到几何体②.(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．该几何体共有9个面、9个顶点、16条棱.解题技巧(解决组合体问题的注意事项)1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数，如几何体③所示的组合体有9个面、9个顶点、16条棱．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“拆分”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．跟踪训练二1、下列组合体是由哪些几何体组成的？【答案】(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．.【解析】(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．题型三旋转体的有关计算例3已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积为36πcm2，则球心与截面圆圆心的距离是________cm.【答案】8.【解析】如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可．由已知，R＝10cm，由πr2＝36πcm2，得r＝6cm，所以d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(100－36)＝8(cm)．例4如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【答案】2eq\r(1＋π2).【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝eq\r(A′B′2＋AA′2)＝eq\r(4＋2π2)＝2eq\r(1＋π2)，∴蚂蚁爬行的最短距离为2eq\r(1＋π2).解题技巧（解决侧面展开图相关问题的解题策略）解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：跟踪训练三1、如图,圆台侧面的母线AB的长为20cm,上、下底面的半径分别为5cm,10cm,从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.【答案】50cm.【解析】作出圆台的侧面展开图,如图所示,由Rt△OPA与Rt△OQB相似,得=,即=,解得OA=20,所以OB=40.设∠BOB′=α,由弧BB′的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π=π·OB·,解得α=90°.所以在Rt△B′OM中,B′M2=OB′2+OM2=402+302=502,所以B′M=50.即所求绳长的最小值为50cm.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计基本几何图形第基本几何图形第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体常见旋转体例1例2例3例4圆柱圆锥圆台球2.简单组合体七、作业课本104页练习，105页习题8.1的剩余题.【教学反思】本节课作为立体几何的第一节，概念比较多，理解起来需要一定的空间想象力，但有一小部分学生缺乏空间想象能力，所以上课的时候提前准备一些模型会更好，借助模型学生对棱柱、棱锥、棱台结构特征的理解会更加透彻.8.2立体图形的直观图【教材分析】画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件.本节课主要介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.而水平放置的平面图形的直观图画法，是画空间几何体直观图的基础.教学的重点是斜二测画法.教材给出了正六边形、长方体、圆柱直观图画法.教学可以适当延伸，讨论正三角形、六棱柱、组合体等的直观图画法.【教学目标与核心素养】课程目标1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．数学学科素养1.数学抽象：斜二测画法的理解；2.数学运算：与直观图还原的有关计算；3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.【教学重点和难点】重点：用斜二测画法画空间几何值的直观图；难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图.【教学过程】一、情景导入前面已经学习了常见地7种空间几何体，那么如何画出他们地直观图呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本107-111页，思考并完成以下问题1．画平面图形的直观图的步骤是什么？2．画简单几何体的直观图的步骤是什么？3．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半.2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．四、典例分析、举一反三题型一水平放置的平面图形直观图的画法例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.【答案】见解析.【解析】（1）如图（1），在正六边形中，取所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图（2）中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使.（2）在图（2）中，以为中点，在x轴上取，在轴上取以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中点，画平行于轴，并且等于.（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图图（3）.解题技巧（画水平放置的平面图形的直观图的注意事项）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．跟踪训练一1.画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图.【答案】见解析【解析】(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.题型二几何体的直观图画法用斜二测画法画长、宽、高分别是3cm、2cm、1.5cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．【解析】(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝3cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．例3已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长为3cm的圆柱的直观图.【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画下底面.在x轴上取A,B两点,使OA=OB=1cm.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.(3)画上底面.在Oz上截取点O′,使OO′=3cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(4)成图.连接AA′，BB′,整理得到圆柱的直观图.解题技巧：(画空间几何体的直观图的注意事项)(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．跟踪训练二1．用斜二测画法画一个底面边长为4cm，高为6cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．【答案】见解析【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O，如图①所示．(2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4cm的正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它们都等于6cm.(4)成图：顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图②所示．2.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3cm,高为4cm,圆锥的高为3cm,画出此几何体的直观图.【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图,如图2所示.题型三与直观图还原有关的计算问题例4如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______cm.【答案】8．【解析】将直观图还原为原图形，如图所示，可知原图形为平行四边形，且AO⊥BO.又OA＝O′A′＝1cm，OB＝2O′B′＝2cm，所以AB＝＝3cm.故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．解题技巧（直观图还原注意事项）由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点．(1)直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍．(2)S直观图＝S原图．由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换．跟踪训练三1、已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 ()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2【答案】D.【解析】选D由于S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，且eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\f(\r(2),4)，所以S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.8.2立体图形的直观图用斜二测画法画平面图形的步骤例1例2例3例4用斜二测画法画空间几何体形的步骤七、作业课本109、111页练习，111页习题8.2.【教学反思】通过本节课感知，在引导学生进行技巧归纳时，教师不要着急告知学生.学生初始的回答可能不完善，甚至有错误的见解.教师应该对于正确的及时给与肯定和鼓励.通过教师的鼓励，能大幅度地调动其他学生的积极性.这样其他学生就能自主地给与修正补充.整节课地效果事半功倍.8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【教材分析】本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；难点：棱台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本114-115页，思考并完成以下问题1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq\f(1,3)Sh.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.四、典例分析、举一反三题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积例1已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积．【答案】【解析】因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．因为BC＝SB＝a，SD＝,所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.故四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.解题技巧（求多面体表面积注意事项）1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．跟踪训练一1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.46m，问：制造这个滚筒需要________m2铁板(精确到0.1m2)．【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m，所以底面正六边形的边长是0.46m.所以S侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4.416＋2×eq\f(\r(3),4)×0.462×6≈5.6(m2)．故制造这个滚筒约需要5.6m2铁板．题型二棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．【答案】eq\f(1,6).【解析】V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).例3如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？【答案】【解析】由题意知长方体的体积，棱锥的体积，所以这个漏斗的容积.解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)1．常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；【答案】8eq\r(3).【解析】由题意，设AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则BD＝C1D＝eq\r(a2＋\f(b2,4))，BC1＝eq\r(a2＋b2)，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).2、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．【答案】见解析【解析】如图，连接EB，EC.四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱锥C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱锥E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1、棱柱、棱锥、棱台的表面积例1例2例32、棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱棱锥棱台七、作业课本116页练习，119页习题8.3的1、6题.【教学反思】本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了;棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【教材分析】本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；难点：圆台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-119页，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3．球的表面积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2)侧面积S侧＝2πrlS侧＝πrlS侧＝π(r′＋r)l表面积S表＝2πr(r+l)S表＝πr(r+l)S表＝π(r′2＋r2)+π(r′＋r)l（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq\f(1,3)Sh.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.(三)球的体积公式与表面积公式1．球的体积公式V＝432．球的表面积公式S＝4πR四、典例分析、举一反三题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.【答案】8π12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4cm的等边三角形，∴OB＝2cm，PB＝4cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π(cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．解题技巧（求旋转体表面积注意事项）旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为()A．81π B．100πC．168π D．169π【答案】C【解析】选C先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二圆柱、圆锥、圆台的体积例2如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料.解题技巧(求几何体积的常用方法)(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．【答案】见解析【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为eq\r(3)a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V锥＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.题型三球的表面积与体积例3如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.【答案】【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.球的体积，圆柱的体积，.例4平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3).即球的半径为eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.解题技巧（与球有关问题的注意事项）1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a22．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝2a3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝a24．正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\r(3)a.5．正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝eq\f(\r(6),2)a.6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)【答案】A.【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V球＝eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D．5πa2【答案】B.【解析】选B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半径R＝OA满足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.3.2圆柱、圆锥、圆台8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1、圆柱、圆锥、圆台表面积公式例1例22、圆柱、圆锥、圆台体积公式例3例43、球的表面积与体积公式七、作业课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.【教学反思】本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.8.4.1平面【教材分析】平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个基本事实,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.【教学目标与核心素养】课程目标1.正确理解平面的概念；2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.数学学科素养1.数学抽象：平面概念的理解；2.逻辑推理：点线共面、多点共线，多线共点问题；3.直观想象：点、直线、平面之间的位置关系.【教学重点和难点】重点：1、平面的概念及表示；2、平面的三个基本事实和推论，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面的三个基本事实的掌握与运用.【教学过程】一、情景导入问题1：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？问题2:平面的含义是什么呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本124-127页，思考并完成以下问题1、平面的概念是什么？怎样表示一个平面？2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达？3、平面有哪些基本事实？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1).②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2).(3)平面的表示平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达点A在直线l上，则A∈l，点A在直线l外，则A∉l;点A在平面α内，则A∈α，点A在平面α外，则A∉α;直线l在平面α内，则l⊂α，直线l在平面α外，则l⊈α;平面α与平面β相交直线l，则α∩β=l.3、平面的基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α,使A,B,C∈α基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,P∈β⇒α∩β=l,且P∈l基本事实1的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.四、典例分析、举一反三题型一文字语言、图形语言、符号语言的转换例1根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α．【答案】见解析.【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1),(2),(3)所示.解题技巧（三种语言转换的注意事项）(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.跟踪训练一1、A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是()(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线AB(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合(D)l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l与n确定唯一平面2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.【答案】1、D.2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.【解析】1.选D，D选项的表述有问题.2.在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.题型二点线共面例2如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.【答案】见解析．【解析】因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.解题技巧(证明点线共面问题的常用方法)(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.跟踪训练二1、空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是()(A)1(B)2 (C)3 (D)1或3【答案】D．【解析】两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D．题型三多点共线、多线共点问题例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.【答案】见解析．【解析】连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EFA1B.又因为A1BD1C,所以EFD1C,所以E,F,D1,C四点共面,可设D1F∩CE=P.又D1F⊂平面A1D1DA,CE⊂平面ABCD,所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,所以据公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.解题技巧（证明多点共线、多线共点的常用方法）(1)证明三线共点常用的方法:先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.跟踪训练三1．如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面【答案】A.【解析】连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.所以A1,C1,C,A四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.故选A.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计平面1、平面平面1、平面例1例2例32、点、直线、平面的位置关系3.平面的三个基本事实基本事实1三个推论基本事实2基本事实3七、作业课本128页练习，131页习题8.5的1、5、6、7、8题.【教学反思】平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.而本节课对学生而言比较抽象，需要较强的空间想象力，主要抓住两点：①三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换，这是后续学习的基础；②利用三个基本事实解决点、线、面的问题，抓住基本事实1是确定一个平面的依据，基本事实2是判定直线在平面内的依据，基本事实3是两平面相交的依据.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系【教材分析】空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是本节的重点和难点.这些位置关系是根据交点个数来定义的，本节重点是结合图形判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.【教学目标与核心素养】课程目标1．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；2．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；3．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．数学学科素养1.数学抽象：异面直线的理解；2.逻辑推理：判断空间点、直线、平面之间的位置关系；3.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系.【教学重点和难点】重点：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；难点：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.【教学过程】一、情景导入我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面.观察如图所示的长方形，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本128-131页，思考并完成以下问题1、什么是异面直线？2、空间两条直线的位置关系？3、直线与平面的位置关系？4、平面与平面的位置关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法:位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点2.空间两条直线的位置关系3.直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内aa⊂α有无数个公共的直线a与平面α相交a∩α=Aa∩α=A有且只有一个公共的直线a与平面α平行aa∥α无公共点4.平面与平面的位置关系位置关系图形表示α∥α∥β公共点两平面平行α∩β=lα∩β=l无公共点两平面相交有无数个公共点,这些点在一条直线上四、典例分析、举一反三题型一直线与直线的位置关系例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC;(3)A1C与D1B.【答案】见解析.【解析】(1)因为C∈平面ABCD,AB⊂平面ABCD,又C∉AB,C1∉平面ABCD,所以AB与CC1异面.(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,则A1,B,C,D1在同一平面内.所以A1C与D1B相交.解题技巧（判定两直线异面的常用方法）(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.跟踪训练一1、正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面且垂直的棱有()(A)8条 (B)6条 (C)4条 (D)3条【答案】C【解析】如图所示,一共有12条棱,其中有三条与AB平行,有四条与AB相交,还剩四条,这四条是CC1,DD1,A1D1,B1C1都是与AB异面且垂直.故选C.题型二直线与平面的位置关系例2如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,试判定BC1与六个面的位置关系.【答案】见解析．【解析】因为B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,所以BC1⊂面BCC1B1.又因为BC1与面ADD1A1无公共点,所以BC1∥面ADD1A1.因为C1∈面CDD1C1,B∉面CDD1C1,所以BC1与面CDD1C1相交,同理BC1与面ABB1A相交,BC1与面ABCD相交,BC1与面A1B1C1D1相交.解题技巧(直线与平面位置关系的解题思路)解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.跟踪训练二下列说法中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和这个平面相交②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行③若直线a在平面α外,则a∥α.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B【解析】由直线与平面的位置关系可知①正确;这条直线可能在经过另一条直线的平面内,所以②不正确,对于③包括两种情形,直线a∥α或直线a与α相交,故③不正确.故选B.题型三平面与平面的位置关系例3α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是()(A)平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β(B)平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β(C)若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β(D)平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β【答案】D【解析】对于A,α与β可能相交或平行,错;对于Β,α与β可能相交或平行,错;对于C,α与β可能相交或平行,错;D符合面面平行的定义,正确.选D.解题技巧（平面与平面位置关系的解题思路）判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.跟踪训练三1、平面α与平面β平行且a⊂α,下列四种说法中,①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行,其中正确的个数是()(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C【解析】因为α∥β,a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β,故②正确,所以a与β内的所有直线都没有公共点,所以a与β内的直线平行或异面,故①不正确,③正确.故选C.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系1、8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系1、异面直线例1例2例32、直线与直线的位置关系3、直线与平面的位置关系4、平面与平面的位置关系七、作业课本131页练习，131页习题8.5的剩余题.【教学反思】就本节课位置关系学生容易理解，但在做题时容易进入误区，例：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?答案:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.所以要求学生做题时要将其所有情况考虑全面.8.5.1直线与直线平行【教材分析】直线与直线平行是所有平行关系的基础，在初中已经学过平行四边形，中位线与底边等平行关系，本节教材重点介绍了平面的基本事实4,等角定理，对平面中直线与直线的平行关系进一步深化.也为后续线面平行、面面平行打下基础.【教学目标与核心素养】课程目标1.正确理解基本事实4和等角定理；2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.数学学科素养1.直观想象：基本事实4及等角定理的理解；2.逻辑推理：基本事实4及等角定理的应用.【教学重点和难点】重点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.难点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.【教学过程】一、情景导入我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？举例说明.要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本133-135页，思考并完成以下问题1、平行于同一条直线的两条直线有什么关系？2、空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.平行线的传递性基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.四、典例分析、举一反三题型一基本事实4的应用例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【答案】证明见解析.【解析】证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=12同理，FG∥BD，且FG=12所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.解题技巧（证明两直线平行的常用方法）(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.跟踪训练一1、如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.【答案】证明见解析.【解析】如图所示,连接A′C′,因为M,N分别是A′D′,C′D′的中点,所以MN∥A′C′,且MN=A′C′.由正方体的性质可知A′C′∥AC,且A′C′=AC.所以MN∥AC,且MN=AC,所以四边形ACNM是梯形.题型二等角定理的应用例2如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,已知E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点,求证:∠BEC=∠B′E′C′.【答案】证明见解析．【解析】证明:如图所示,连接EE′.因为E,E′分别是AD,A′D′的中点,所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形.所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,所以EE′∥BB′,且EE′=BB′.所以四边形BEE′B′是平行四边形.所以BE∥B′E′.同理可证CE∥C′E′.又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同,所以∠BEC=∠B′E′C′.解题技巧(应用等角定理的注意事项)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若