《总体离散程度的估计》教学设计、导学案、同步练习

《9.2.4总体离散程度的估计》教学设计【教材分析】本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《9.2.4总体离散程度的估计》，本节课通过对反映样本数据离散程度的估计量；极差、方差与标准差的回顾，进一步研究和学习用样本的数字特征估计总体的数字特征以及初步应用，有利于进一步完善对统计学认识的系统性，加深对统计学思想方法的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.会用样本的极差、方差与标准差估计总体。B.通过用样本的数字特征估计总体的数字特征的研究，渗透统计学的思想和方法。C.培养学生收集数据、分析数据、归纳和整理数据，增强学习的积极性。1.数学建模：在具体情境中运用极差、方差与标准差2.逻辑推理：运用极差、方差与标准差进行推断3.数学运算：极差、方差与标准差的计算4.数据分析：运用极差、方差与标准差分析判断【教学重点】：方差、标准差的计算方法。【教学难点】：如何利用样本的方差、标准差对总体数据作出分析及判断数据的稳定性。【教学过程】教学过程教学设计意图一、温故知新(1)众数①定义:一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.②特征:一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了该组数据的集中趋势.(2)中位数①定义:一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.②特征:一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.(3)平均数①定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,x2,…,xn的平均数为xn②特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影响较大,使平均数在估计总体时的可靠性降低.1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。2、利用频率分布直方图（频率分布表），求样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.2、在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.频率直方图中每个小长方形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。三种数字特征的优缺点名称优点缺点众数①体现了样本数据的最大集中点;②容易得到①它只能表达样本数据中很少的一部分信息;②无法客观地反映总体特征中位数①不受少数几个极端数据,即排序靠前或靠后的几个数据的影响;②容易得到,便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数能反映出更多关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变,数据越“离群”,对平均数的影响越大二、情境与问题样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，很多时候还不能使我们做出有效决策.因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.方差、标准差1.思考(1)平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是,平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断,因为这个平均数掩盖了一些极端的情况,而这些极端情况显然是不能忽视的.因此,只用平均数还难以概括样本数据的实际状态.例如:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲:78795491074乙:9578768677如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?①甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?他们的平均成绩一样吗?提示:经计算得x甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7同理可得x乙=7.他们的平均成绩一样②难道这两个人的水平就没有什么差异了吗?你能作出这两人成绩的频率分布条形图来说明其水平差异在哪里吗?提示频率分布条形图如下:从图上可以直观地看出,他们的水平还是有差异的,甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.(2)现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?提示：通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.(3)考虑一个容量为2的样本:x1<x2,其样本的标准差为x2-x12,如果记a=x提示x和a的几何意义如图所示.显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大,数据较分散;标准差越小,则a越小,数据的离散程度越小,数据较集中在平均数x的周围.2.填空(1)假设一组数据是x1,x2,…,xn,用x表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|xi-x|(i=1,2,…,n)作为xi到x的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,…,xn到x的“平均距离”为1n∑i=1n|xi-x|.为了避免式中含有绝对值,通常改用平方来代替,即1n∑i=1n(xi由于方差的单位是原始数据的单位的平方,与原始数据不一致.为了使二者单位一致,我们对方差开平方,取它的算术平方根,即1n∑i(2)如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为Y,则称S2=1N∑i=1N(Yi-Y)2为总体方差,S=S2为总体标准差.与总体均值类似,总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=1N∑i=1(3)如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为y,则称s2=1n∑i=1n(yi-y)2对标准差和方差的理解(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均数周围的程度,标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的周围越分散.(2)若样本数据都相等,则s=0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度,就由标准差来衡量.(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感;方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述.(5)标准差的大小不会越过极差.(6)方差、标准差、极差的取值范围为[0,+∞).当标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.(7)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差.(8)在实际问题中,总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样,通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中,样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.做一做1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.()②若两组数据的方差一样大,则说明这两组数据都是相同的.()答案:①√②×2.对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试,测得他们每次的最大速度(单位:m/s)如下:甲:27,38,30,37,35,31乙:33,29,38,34,28,36根据以上数据,试判断他们谁更优秀.解:x甲=16×(27+38+30+37+35s甲2=16×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]=x乙=16×(33+29+38+34+28s乙2=16×[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]=1所以x甲这说明甲、乙两运动员的最大速度的平均值相同,但乙比甲更稳定,故乙比甲更优秀.有关平均数、方差的重要结论1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,则ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示：由方差的定义知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均数是,则mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是mx+a(2)数据x1,x2,…,xn与数据x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2.(4)方差的简化公式:s2=1n[(x12+x22+…+xn2)-nx2],或写成s2=2.已知样本数据x1,x2,…,xn的平均数x=5,s2=2,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数为,方差为答案:118解析:因为样本数据x1,x2,…,xn的平均数x=5,所以样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数为2x+1=2×5+1=11.方差为22×s2=4×2=例1在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？解：把男生样本记为x1,x2,…，x23,其平均数记为，方差记为;把女生样本记为y1,y2,...y27,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为，方差记为.根据方差的定义，总样本方差为男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59,女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入，可得分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为eq\x\to(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，则这个样本的方差为s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2]跟踪训练1．在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和方差．所以这名选手得分的平均数为52.68分，方差为107.6计算分层随机抽样的方差s2的步骤(1)确定eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，(2)确定eq\x\to(x)；(3)应用公式s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)1－eq\x\to(x))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(x)2－eq\x\to(x))2]．计算s2.9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6计算出样本平均数=8.79,样本标准差s≈6.20如图所示，可以发现，这100个数据中大部分落在区间内，在区间外的只有7个.也就是说，绝大部分数据落在内.样本标准差刻画了数据离平均数波动的浮动大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.由回顾知识出发，提出问题，让学生感受到对反映样本数字离散程度的估计量；极差、方差与标准差学习的重要性。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。通过具体问题，让学生感受反映样本数字离散程度的估计量；极差、方差与标准差学学习解决实际问题中的运用，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。通过实例分析，让学生掌握反映样本数字离散程度的估计量；极差、方差与标准差的计算方法，并熟悉的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。三、达标检测1.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别是x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1,x2,…,xn的平均值 B.x1,x2,…,xn的标准差C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数答案:B解析:在A中,平均数是表示一组数据集中趋势的量,它是反映数据集中趋势的一项指标,故A不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在B中,标准差能反映一组数据的离散程度,故B可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在C中,最大值是一组数据中最大的量,故C不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在D中,中位数将数据分成前半部分和后半部分,用来代表一组数据的“中等水平”,故D不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度,故选B.2.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本的方差为()A.65 B.65 C.解析:由平均值为1可得a+0+1+2+35解得a=-1,所以样本方差s2=(-1-1答案:D3.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则以下选项判断不正确的有()A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析:由题意可知,甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6,A错;甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B错;甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,15×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=12答案:ABD4.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)甲乙丙丁平均环数x8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4答案:丙解析:分析表格数据可知,乙与丙的平均环数最多,又丙的方差比乙小,说明丙成绩发挥得较为稳定,所以最佳人选为丙.5.计算数据54,55,53,56,57,58的方差.分析可以根据简化公式进行计算,也可以把每个数据减去一个数,用找齐法计算.解:(解法一)x2=542+552+532+562+572+5826≈3083.17,x(解法二)每个数据减去55得到新的数据组-1,0,-2,1,2,3,该组数据的方差与原数据组的方差相等,且x2=1+0+4+1+4+96≈3.17,x=-1+0-2+1+2+36=0.5,故s2=3.176.在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。四、小结1.极差的定义及特征：2.方差、标准差的定义及特征总体方差、总体标准差的定义样本方差、样本标准差的定义3.会求方差、标准差，并做出决策4.方差的运算性质：5.会求分层抽样的方差五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】本节课通过对反映样本数据离散程度的估计量；极差、方差与标准差的回顾，进一步研究和学习用样本的数字特征估计总体的数字特征以及初步应用，有利于进一步完善对统计学认识的系统性，加深对统计学思想方法的理解。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。《9.2.4总体离散程度的估计》导学案【学习目标】1.会用样本的极差、方差与标准差估计总体。2.通过用样本的数字特征估计总体的数字特征的研究，渗透统计学的思想和方法。3.培养学生收集数据、分析数据、归纳和整理数据，增强学习的积极性。【学习重点】：方差、标准差的计算方法。【学习难点】：如何利用样本的方差、标准差对总体数据作出分析及判断数据的稳定性。【知识梳理】一、温故知新(1)众数①定义:一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.②特征:一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了该组数据的集中趋势.(2)中位数①定义:一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.②特征:一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.(3)平均数①定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,x2,…,xn的平均数为xn②特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影响较大,使平均数在估计总体时的可靠性降低.1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。2、利用频率分布直方图（频率分布表），求样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.2、在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.频率直方图中每个小长方形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。三种数字特征的优缺点名称优点缺点众数①体现了样本数据的最大集中点;②容易得到①它只能表达样本数据中很少的一部分信息;②无法客观地反映总体特征中位数①不受少数几个极端数据,即排序靠前或靠后的几个数据的影响;②容易得到,便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数能反映出更多关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变,数据越“离群”,对平均数的影响越大【学习过程】一、情境与问题样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，很多时候还不能使我们做出有效决策.因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.方差、标准差1.思考(1)平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是,平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断,因为这个平均数掩盖了一些极端的情况,而这些极端情况显然是不能忽视的.因此,只用平均数还难以概括样本数据的实际状态.例如:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲:78795491074乙:9578768677如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?①甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?他们的平均成绩一样吗?提示:经计算得x甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7同理可得x乙=7.他们的平均成绩一样②难道这两个人的水平就没有什么差异了吗?你能作出这两人成绩的频率分布条形图来说明其水平差异在哪里吗?提示频率分布条形图如下:从图上可以直观地看出,他们的水平还是有差异的,甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.(2)现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?提示：通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.(3)考虑一个容量为2的样本:x1<x2,其样本的标准差为x2-x12,如果记a=x提示x和a的几何意义如图所示.显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大,数据较分散;标准差越小,则a越小,数据的离散程度越小,数据较集中在平均数x的周围.2.填空(1)假设一组数据是x1,x2,…,xn,用x表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|xi-x|(i=1,2,…,n)作为xi到x的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,…,xn到x的“平均距离”为1n∑i=1n|xi-x|.为了避免式中含有绝对值,通常改用平方来代替,即1n∑i=1n(xi由于方差的单位是原始数据的单位的平方,与原始数据不一致.为了使二者单位一致,我们对方差开平方,取它的算术平方根,即1n∑i(2)如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为Y,则称S2=1N∑i=1N(Yi-Y)2为总体方差,S=S2为总体标准差.与总体均值类似,总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=1N∑i=1(3)如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为y,则称s2=1n∑i=1n(yi-y)2对标准差和方差的理解(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均数周围的程度,标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的周围越分散.(2)若样本数据都相等,则s=0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度,就由标准差来衡量.(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感;方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述.(5)标准差的大小不会越过极差.(6)方差、标准差、极差的取值范围为[0,+∞).当标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.(7)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差.(8)在实际问题中,总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样,通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中,样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.做一做1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.()②若两组数据的方差一样大,则说明这两组数据都是相同的.()2.对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试,测得他们每次的最大速度(单位:m/s)如下:甲:27,38,30,37,35,31乙:33,29,38,34,28,36根据以上数据,试判断他们谁更优秀.有关平均数、方差的重要结论1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,则ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示：由方差的定义知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均数是,则mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是mx+a(2)数据x1,x2,…,xn与数据x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2.(4)方差的简化公式:s2=1n[(x12+x22+…+xn2)-nx2],或写成s2=跟踪训练2.已知样本数据x1,x2,…,xn的平均数x=5,s2=2,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数为,方差为例1在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为eq\x\to(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，则这个样本的方差为s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2]1．在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和方差．所以这名选手得分的平均数为52.68分，方差为107.6计算分层随机抽样的方差s2的步骤(1)确定eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，(2)确定eq\x\to(x)；(3)应用公式s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)1－eq\x\to(x))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(x)2－eq\x\to(x))2]．计算s2.9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6计算出样本平均数=8.79,样本标准差s≈6.20如图所示，可以发现，这100个数据中大部分落在区间内，在区间外的只有7个.也就是说，绝大部分数据落在内.样本标准差刻画了数据离平均数波动的浮动大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.【达标检测】1.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别是x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1,x2,…,xn的平均值 B.x1,x2,…,xn的标准差C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数2.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本的方差为()A.65 B.65 C.3.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则以下选项判断不正确的有()A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差4.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)

甲乙丙丁平均环数x8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.45.计算数据54,55,53,56,57,58的方差.6.在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．【课堂小结】1.极差的定义及特征：2.方差、标准差的定义及特征总体方差、总体标准差的定义样本方差、样本标准差的定义3.会求方差、标准差，并做出决策4.方差的运算性质：5.会求分层抽样的方差参考答案：学习过程做一做1.答案:①√②×2.解:x甲=16×(27+38+30+37+35s甲2=16×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]=x乙=16×(33+29+38+34+28s乙2=16×[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]=1所以x甲这说明甲、乙两运动员的最大速度的平均值相同,但乙比甲更稳定,故乙比甲更优秀.跟踪训练2.答案:118解析:因为样本数据x1,x2,…,xn的平均数x=5,所以样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数为2x+1=2×5+1=11.方差为22×s2=4×2=例1解：把男生样本记为x1,x2,…，x23,其平均数记为，方差记为;把女生样本记为y1,y2,...y27,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为，方差记为.根据方差的定义，总样本方差为男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59,女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入，可得1．所以这名选手得分的平均数为52.68分，方差为107.6达标检测1.答案:B解析:在A中,平均数是表示一组数据集中趋势的量,它是反映数据集中趋势的一项指标,故A不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在B中,标准差能反映一组数据的离散程度,故B可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在C中,最大值是一组数据中最大的量,故C不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在D中,中位数将数据分成前半部分和后半部分,用来代表一组数据的“中等水平”,故D不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度,故选B.2解析:由平均值为1可得a+0+1+2+35解得a=-1,所以样本方差s2=(-1-1答案:D3.(多选)解析:由题意可知,甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6,A错;甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B错;甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,15×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=12答案:ABD4.答案:丙解析:分析表格数据可知,乙与丙的平均环数最多,又丙的方差比乙小,说明丙成绩发挥得较为稳定,所以最佳人选为丙.5.分析可以根据简化公式进行计算,也可以把每个数据减去一个数,用找齐法计算.解:(解法一)x2=542+552+532+562+572+5826≈3083.17,(解法二)每个数据减去55得到新的数据组-1,0,-2,1,2,3,该组数据的方差与原数据组的方差相等,且x2=1+0+4+1+4+96≈3.17,x=-1+0-2+1+2+36=0.5,故s2=3.176.解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．9.3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析【学习目标】1.了解统计报告的组成部分．2.可对统计案例进行初步分析.【学习重点】：①了解统计报告的组成部分；②对统计案例进行初步分析.【学习难点】：对统计案例进行初步分析.【学习过程】一、预习导入阅读课本218-219页，填写。1.统计报告的主要组成部分（1）标题．（2）前言.简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况.（3）主题展示数据分析的全过程；首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息；根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图标描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，用于比较男、女员工在肥胖状况上的差异；通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体.（4）结尾对主题部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法，提出控制公司员工体重的建议.【牛刀小试】1.一组数据的方差一定是（）A．正数B．复数C．任意实数D．非负数2.对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有下列结论：这组数据的众数是3；这组数据的众数与中位数的数值不相等；这组数据的中位数与平均数的数值相等；这组数据的平均数与众数的数值相等.其中正确的结论的个数为（）A．1B．2C．3D．43．已知样本数据x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均数为a,x4,x5,x6,…,x10的平均数为b,则样本数据的平均数为()A． B． C． D．4．某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是________.【自主探究】题型一由统计信息解决实际问题例1甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据统计学估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8例2为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.跟踪训练一1．样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是()A．第一组 B．第二组C．第三组 D．第四组2．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.的分组企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：.【达标检测】1．已知一组数据的平均数是2，方差是，那么数据的平均数和方差分别是（）A．2, B．2,3 C．4, D．4,32．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．140 D．1203．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；134．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本平均数为1，则样本方差为________．5．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．答案小试牛刀1.D.2．A.3．B.4.自主探究例1【答案】甲种水稻的产量比较稳定【解析】甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2)＋(9.8－10)2]÷5＝0.24.因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．例2【答案】(1)，；(2)，.【解析】(1)由题得，解得，由，解得.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，乙离子残留百分比的平均值为跟踪训练一1．【答案】D.【解析】选D.法一：第一组中，样本数据都为5，标准差为0；第二组中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差为eq\f(\r(6),3)；第三组中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7，标准差为eq\f(2\r(5),3)；第四组中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，标准差为2eq\r(2)，故标准差最大的一组是第四组．法二：从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．2．【答案】(1)增长率超过的企业比例为，产值负增长的企业比例为；（2）平均数；标准差.【解析】(1)由题意可知，随机调查的个企业中增长率超过40%的企业有个，产值负增长的企业有个，所以增长率超过40%的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2(2)由题意可知，平均值y=标准差的平方：s2所以标准差s=0.0296当堂检测 1-3.DCD4.2.5．【答案】见解析【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是＝17.5.因为n＝＝0.6，所以样本中位数是15＋≈17.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.《9.2.4总体离散程度的估计》同步练习一、选择题1．对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是()A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变化2．如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（）A．B．C．D．3．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差4．某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（）A．， B．， C．， D．，5．（多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数6．（多选题）4．王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如下表所示：小区绿化率（%）20253032小区个数2431则关于这10个小区绿化率情况，下列说法正确的是()A．方差是13% B．众数是25% C．中位数是25% D．平均数是26.2%二、填空题7．国家禁毒办于年月日至月日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是、、、、，则这五位同学答对题数的方差是____.8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____．9．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示，若以上两组数据的方差中较小的一个为，则______.学号1号2号3号4号5号甲班67787乙班6767910．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.①这种抽样方法是一种分层随机抽样；②这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差；③该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数.则以上说法一定正确的是______.三、解答题11．甲、乙两人在相同条件下各射击次，每次中靶环数情况如图所示：（1）请填写下表（先写出计算过程再填表）：平均数方差命中环及环以上的次数甲乙（2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；②从平均数和命中环及环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.参考公式：.12．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？《9.2.4总体离散程度的估计》同步练习答案解析一、选择题1．对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是()A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变化【答案】B【解析】由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变．故选B.2．如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，.故选B.3．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．4．某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（）A．，B．，C．， D．，【答案】B【解析】某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为s2，则，．故选：B．5．（多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数【答案】BD【解析】对于A，甲同学的成绩的平均数种，乙同学的成绩的平均数，故A错误；由题图甲知，B正确；对于C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于之间，乙同学的成绩的极差介于之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，故C错误；对于D，甲同学的成绩的中位数在115~120之间，乙同学的成绩的中位数在125~130之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故D正确.6．（多选题）4．王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如下表所示：小区绿化率（%）20253032小区个数2431则关于这10个小区绿化率情况，下列说法正确的是()A．方差是13% B．众数是25% C．中位数是25% D．平均数是26.2%【答案】BCD【解析】根据表格数据，众数为25%，选项正确；中位数为25%，选项正确；平均数为，选项正确；方差为；选项错误.二、填空题7．国家禁毒办于年月日至月日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是、、、、，则这五位同学答对题数的方差是____.【答案】【解析】由这五位同学答对的题数分别是、、、、，得该组数据的平均数，则方差.8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____．【答案】4【解析】由题意可得：，设，，则，解得，∴9．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示，若以上两组数据的方差中较小的一个为，则______.学号1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679【答案】【解析】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小.则甲班的方差为所求方差，其平均值为7，方差.10．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.①这种抽样方法是一种分层随机抽样；②这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差；③该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数.则以上说法一定正确的是______.【答案】②.【解析】若抽样方法是分层随机抽样，男生、女生分别抽取人、人，故①错误；这名男生成绩的平均数：这名女生成绩的平均数：这名男生成绩的方差：这名女生成绩的方差：，故②正确；由题所给的条件只能得出这名男生成绩的平均数小于这名女生成绩的平均数，不能说明班级总体情况，故③错误.故答案为：②三、解答题11．甲、乙两人在相同条件下各射击次，每次中靶环数情况如图所示：（1）请填写下表（先写出计算过程再填表）：平均数方差命中环及环以上的次数甲乙（2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；②从平均数和命中环及环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.参考公式：.【答案】（1）详见解析；（2）①甲成绩比乙稳定；②乙成绩比甲好些；③乙更有潜力.【解析】（1）由列联表中数据，计算由题图，知：甲射击10次中靶环数分别为、、、、、、、、、.将它们由小到大排列为、、、、、、、、、.乙射击次中靶环数分别为、、、、、、、、、.将它们由小到大排列为、、、、、、、、、；（1）（环），.填表如下：平均数方差命中环及环以上的次数甲乙（2）①平均数相同，，甲成绩比乙稳定；②平均数相同，命中环及环以上的次数甲比乙少，乙成绩比甲好些；③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力.12．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.《9.3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析》同步练习基础巩固1．一组数据的方差为，平均数为，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数分别为（）A．， B．， C．， D．，2．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为A．10万元 B．12万元C．15万元 D．30万元3．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A． B． C． D．5．AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日,空气质量越来越好6．甲､乙两套设备生产的同类型产品共48000件,采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.7．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为.8．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下；分别求这17名运动员的成绩的众数、中位数、平均数（保留到小数点后两位），并分析这些数据的含义.成绩/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111能力提升9．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩（均为整数），其成绩的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数，众数和平均数分别是（）A．73.3，75，72 B．73.3，80，73C．70，70，76 D．70，75，7510．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为_____________.11．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)中的计算结果，对两人的训练成绩作出评价．素养达成12．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档第二档第三档每户每月用电量(单位：度)[0，200](200，400](400，＋∞)电价(单位：元/度)0.610.660.91例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.组别月用电量频数统计频数频率①[0，100]②(100，200]③(200，300]④(300，400]⑤(400，500]⑥(500，600]合计(1)完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；(2)根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？《9.3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析》同步练习答案解析基础巩固1．一组数据的方差为，平均数为，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数分别为（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】设该组数据为，将这组数据中的每一个数都乘以2，则有，平均数为.又，则新数据的方差为，故选：C.2．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．