【数学 】余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

§6.4.3-1余弦定理6.4平面向量的应用探究新知

问题1

已知三角形的两边a，b及它们的夹角C，如何求第三边c？设，那么∴

①把几何元素用向量表示：②进行恰当的向量运算：③向量式化成几何式：同理可得于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余弦定理.探索新知

在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c怎样用a、b和C表示c？解析法（建系法）探究新知探究2：还有其他的方法证明上述关系式的成立吗？

法3：几何法（作高法）

学习新知余弦定理余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即思考：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？已知两边及其夹角求第三边（SAS型）符号语言：

a

c学习新知2、余弦定理的推论

余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题.怎么确定呢？已知三边求任意一个角（SSS型）从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.思考：利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？归纳总结：已知三条边求任意角（SSS）余弦定理：推论：已知两边夹一角求第三边【对边】（SAS）问题1公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）

a

c学习新知

应用一：已知两边及其夹角，解三角形（SAS）例2在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足

求cosB.学习新知

应用一：已知两边及其夹角，解三角形（SAS）例2在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足

求cosB.(内)C=π-A-B.学习新知应用一：已知两边及其夹角，解三角形（SAS）例2在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足

求cosB.学习新知应用一：已知两边及其夹角，解三角形（SAS）例2在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足

求cosB.解：学习新知应用二：已知三条边求任意角（SSS）例3在△ABC中，a=，b=2，c=，解这个三角形.学习新知应用二：已知三条边求任意角（SSS）例3在△ABC中，a=，b=2，c=，解这个三角形.解：由余弦定理得“知三边”：(余)求cosA,cosB得A,B→(内)C=π-A-B.典型例题题型一：已知三边解三角形求第一个角——先利用余弦定理的推论求一个角的余弦值，再判定此角的取值，求得第一个角(一般先求最小角)求第二个角——继续用余弦定理求另一个角求第三个角——最后用三角形内角和定理求出第三个角技巧总结：已知三角形的三边求角的基本步骤学习新知应用二：已知三条边求任意角（SSS）学习新知应用二：已知三条边求任意角（SSS）解：由余弦定理，得学习新知应用三：已知两边及一边对角，解三角形（SSA）例4

在△ABC中，若c＝，b＝5，且cosC＝

，求a.学习新知应用三：已知两边及一边对角，解三角形（SSA）例4

在△ABC中，若c＝，b＝5，且cosC＝

，求a.方法总结：关键是利用含有已知角的余弦定理，得到一个一元二次方程.若c＝1，b＝5，且cosC＝

呢？

（不一定有解）a2-9a+24＝0

典型例题(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三

边的一元二次方程求解.(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一

边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.技巧总结：已知两边及一角解三角形的两种情况从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式！理解新知探究3：勾股定理与余弦定理有什么关系？

余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例

是否可以利用余弦定理判定三角形形状？典型例题题型三：三角形形状的判断

由acosB＋acosC＝b＋c并结合余弦定理，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.典型例题题型三：三角形形状的判断例1解析（1）在△ABC中，若

则△ABC的形状为A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形借助向量的运算例1（1）在△ABC中，若

则△ABC的形状为A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形设AB＝c，AC＝b，BC＝a，综上所述，△ABC的形状为等边三角形.故选C.√利用余弦定理统一边解析例1解（2）在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，试判断该三角形的形状.

由acosB＋acosC＝b＋c并结合余弦定理，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因为b＋c≠0，所以a2－b2－c2＝0，即a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.利用余弦定理，统一成边反思感悟先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，从“统一”入手判断三角形的形状时，常用结论④若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝

跟踪训练1A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形√所以accos(π－B)＋c2＝0，所以accosB＝c2，所以b2＋c2＝a2，所以△ABC是直角三角形.跟踪训练1解析

在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.√

例2解析∵在△ABC中，a2＝b2＋bc，又由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋bc＝b2＋c2－2bccosA，整理可得c＝b(1＋2cosA)，∴a2＝b2＋b2(1＋2cosA)＝b2(2＋2cosA)，可得2＋2cosA∈(2,3).替换代入，转换到角依据结构，选用余弦定理函数思想，由角求值(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b(b－c)＝(a－c)(a＋c).①求角A的大小；例2解因为b(b－c)＝(a－c)(a＋c)，所以b2－bc＝a2－c2，即b2＋c2－a2＝bc，因为A为三角形的内角，故A＝60°.利用余弦定理，转换到角(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b(b－c)＝(a－c)(a＋c).例2解由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，因为b>0，c>0，

根据结构凑配利用基本不等式求范围反思感悟利用余弦定理解决最值或范围问题的常用方法①转化为三角函数利用三角函数的有界性求解②利用基本不等式求解③利用二次函数的性质求解跟踪训练2(1)若2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围是______.解析

因为2a＋1，a，2a－1是三角形的三边长，此时2a＋1最大.要使2a＋1，a，2a－1是三角形的三边长，还需a＋2a－1>2a＋1，解得a>2.设最长边2a＋1所对的角为θ，则θ>90°，(2,8)跟踪训练2

又因为sin2B＋cos2B＝1，跟踪训练2解

由a＋c＝2，可得c＝2－a，由余弦定理，得

例3解析∴BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cos∠BAD＝16＋9－21＝4.∴BD＝2，12把条件集中在一个三角形例3解

由a∶b＝6∶5，可设a＝6m，b＝5m.例3解由①及余弦定理的推论得，

反思感悟利用余弦定理解决综合问题基本公式1.余弦定理2.变形公式相关公式1.同角三角函数的基本关系2.三角恒等变换公式跟踪训练3(1)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1，若AB＝2BC，则cos∠BDC的值为________.由AB∥CD，得∠DBA＝θ，所以∠ADB＝π－2θ，由余弦定理得，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos(π－2θ)＝2＋2cos2θ，BC2＝DC2＋DB