【数学 】变化率问题（1）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1变化率问题5.1导数的概念及其意义

为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数.随着对函数的研究的不断深化，在十七世纪中叶产生了微积分，它是数学史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.序言

微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二、求曲线的切线；三、求函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等.

几百年中，科学家们对这些问题的兴趣与研究经久不衰.终于，在十七世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.（1646.7.1—1716.11.14）（1643.1.4—1727.3.31）

导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

本章，我们将利用丰富的背景与具体实例，学习导数的基本概念、基本运算与思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义。

在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题。新知引入5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题什么是变化率？

一个变量相对另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率选修第二册

《第五章一元函数的导数及其应用》5.1.1变化率问题教材P59探究：在一次跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系

h(t)=-4.9t2+2.8t+11.

如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?请计算hto问题1：跳水运动员的速度可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.问题2：你能否根据经验描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度？析：在上升阶段越来越慢

在下降阶段越来越快在上升阶段越来越慢

在下降阶段越来越快这段时间里的平均速度为0显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.运动员在这段时间里并不处于静止状态.

为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。探究2：问题5：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？

用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想

观察给出

更多的值,利用计算工具计算对应的平均速度的值，当

无限趋近于0,平均速度有什么变化趋势？

(3)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度？问题6：？思考(1)求运动员在t=0.5s时的瞬时速度.（2）你能否利用上述关系求运动员在t=2s时的瞬时速度？(1)求运动员在t=0.5s时的瞬时速度.问题6：？思考（2）你能否利用上述关系求运动员在t=2s时的瞬时速度？（3）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度？例1：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体的初速度和物体在t＝1s时的瞬时速度．思路：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：求运动物体瞬时速度的三个步骤(3)求瞬时速度v：求极限(2)求平均速度:(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)).方法归纳瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．课堂小结

升华素养瞬时速度平均速度逼近思想取极限本质：瞬时速度是平均速度的极限平均速度瞬时速度2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：平均变化率瞬时变化率1.物体运动的瞬时速度的本质是平均速度的极限.无限逼近取极限无